Бесконечность не предел что значит

Как объяснить пословицу » Бесконечность не предел «?

В первые услышал эту пословицу в мультфильме «История игрушек». Я так понимаю что это как девиз о том что надо стремиться к большему и в наших силах даже заглянуть за бесконечность. Ну а если воспринимать как только пословицу то я бы сказал что это о том что, всегда есть что то что находиться за гранью нашего понимания и наших возможностей осознать и понять.

Так бы я сказала по поводу первой половины пословицы.

Прежде, чем решиться на что-то, нужно просчитать все возможные варианты решения.

Если принято решение, то сомнений, ему препятствующих, уже быть не должно.

Теперь все силы должны быть брошены на осуществление задуманного, на решение проблем, ему мешающих.

Правда, потому что когда есть здоровье, это считается в порядке вещей, ничего не болит и я все могу, но стоит только заболеть, человек сразу ощущает свою беспомощность и зависимость от других людей. Конечно после болезни, мы уже по иному относимся к своему здоровью и начинаем больше его ценить.

Обед приходится на жаркое время дня. Поэтому, логичнее всего устоить для себя сиесту. А ужин приходится на вечер. Солнце заходит, жара спадает. Самое время устроить себе легкую аэробику. Все нормальные люди выходят на прогулку.

Допустим такая ситуация: человек потерял работу, пошёл и встал на учёт на Биржу труда, стал получать там пособие по безработице, которое намного меньше, чем была его зарплата. Но это лучше, чем ничего, правда?

Так и в пословице. Если дома кушать нечего, а рыба не клюёт, но поймал рака, голодным всё равно не останешься)

Думаю, что приведённую пословицу надо понимать так, что не стоит спешить с обвинениями в воровстве, если сам внимательно не разберёшься в сложившийся ситуации. А в подобной ситуации я сама побывала пару лет назад. Получилось так, что продала одно из двух стоящих рядом своих домовладений. После переезда многие вещи долго были упакованы и сложены просто в гараже. К переезду присовокупила ещё и реконструкцию хозяйственных построек, которую взялся делать сосед-строитель со своей бригадой. Работы затянулись, было не до разбора перевезённого и когда строители ушли, то я стала обнаруживать, что то одно не могу найти, то другое. И вот прокралась же такая мысль-змея- точно, украл сосед. Всё, буквально всё со временем «нашлось» в других местах, а не там, где вроде бы я их ставила. Просто, действительно, в суматохе так бывает, что поставишь в одно место, а потом ищешь в другом, но при этом ещё и обдумываешь варианты воровства. Так что, лучше, действительно, быть внимательней к себе и тому, что и как делаешь сам, чтобы потом не стыдиться своих мыслей.

Источник

Бесконечность — не предел

Эта статья представляет собой попытку дать первичное описание порядковых чисел (ординалов). Похожий предмет в «Кванте» уже обсуждался в статье А. Кириллова, И. Клумовой и А. Сосинского «Сюрреальные числа» (№ 11 за 1979 г.), однако тогда ординалы были упомянуты вскользь, отмечалась лишь их связь с бесконечными последовательностями. Примерно этой связью руководствовались и мы, и Кантор, когда их, собственно, открыл.

Среди комиксов известного в интернете автора под псевдонимом Дюран стоит отметить «Бесконечную шутку». Этот комикс великолепный; в частности, в нем главный герой рассказывает бесконечному числу математиков анекдот про, собственно, рассказчика анекдота. Это порождает некую цикличность, но суть не в этом. Суть в анекдоте про бесконечное число математиков, заходящих в бар. Вот он:

Заходит бесконечное число математиков в бар. Первый говорит бармену: «Мне кружку пива». Второй говорит: «Мне полкружки». Третий: «Мне четверть». И так далее. «Ну вас к черту», — восклицает бармен и наливает две кружки.

Пусть бармен обслужил бесконечное число математиков за 2 секунды. А именно, нулевой математик (а в дискретной математике принято отсчитывать от нуля) обслуживается за 1 секунду, первый — за полсекунды, второй — за четверть и так далее, n-й обслуживается за \( \frac<1> <2^n>\) секунды. Итак, все математики будут обслужены за 2 секунды. После этого в бар заходит еще один математик.

Каждому из предыдущих математиков мы могли присвоить номер. Нет вопросов в том, какого математика считать вторым, какого — нулевым, а какого — стотысячным. Но вот каким числом занумеровать этого нового математика, который зашел в бар? Присвоим ему номер ω, и количество математиков перед ним также будем обозначать ω. Да, это бесконечное число, но ничего страшного в этом нет. Следующего за ним математика назовем (ω + 1)-м, следующего за этим — (ω + 2)-м и так далее. Пусть и эти математики пройдут бар за 2 секунды так же, как это сделали первые ω математиков. Сколько же всего математиков прошло бар? Ответ прост: ω + ω = ω · 2. А пусть зайдут еще ω математиков! Теперь сколько их? ω · 3.

Более интересным является введение умножения. Чтобы умножить 2 на 3, надо вместо каждого из трех математиков подставить двух и получить шесть математиков. Обобщим этот принцип на наш случай.

Скажем, мы хотим умножить ω на 2. Рассмотрим ситуацию: стояли два математика. А мы вместо каждого поставили ω математиков, и вышло ω · 2 математиков (рис. 2). В другом случае мы хотим умножить ω на ω: стояли ω математиков, мы вместо каждого математика поставили ω математиков. Таким образом, если мы хотим умножить α на β, мы просто вместо каждого математика из β математиков подставляем α математиков.

Есть ли тут что-нибудь интересное? Оказывается, да: что будет, если мы 2 умножим на ω? Подставим вместо каждого математика из ω математиков двух математиков (рис. 3). Снова получим ω математиков. Получается, ω · 2 не равно 2 · ω, т.е. α · β не равно β · α в общем случае.

В качестве упражнения хочется предложить читателям доказать на математиках для произвольных α, β, γ такое соотношение: α · (β + γ) = α · β + α · γ, т.е. возможность раскрытия скобок слева. Еще интереснее обосновать некорректность раскрытия скобок справа, т.е. найти примеры, когда (β + γ) · α ≠ β · α + γ · α. (Подсказка. Рассмотрите выражение (ω + 1) · 2.)

Представим сотворение нового, идеального мира. Жил на земле только один математик. Однажды на облаках в поднебесье собираются ω богов на совет. Говорит бог номер 0: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И стало ω математиков. Бог номер 1 говорит: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И появилось на земле ω 2 математиков. Бог номер 2 сказал: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И стало математиков на земле ω 3 . И каждый следующий бог говорил: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И стало на земле ω ω математиков. И поняли боги, что это хорошо.

Что же сделали боги? Они ω раз умножили ω на само себя (чуть более детальное обоснование происходящего дано ниже мелким шрифтом). И получили ω ω математиков.

Теперь представим новую ситуацию. Жил на земле только один математик. В поднебесье собрался пантеон из ω ω богов. И сказал нулевой бог: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» А первый бог сказал: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И второй бог это сказал, и бог номер ω + 1 это сказал, и бог номер ω 2 + ω · 2 + 4 это сказал, так все боги, кроме нулевого, это сказали. И появилось на земле \( ω^ <ω^ω>\) математиков. И поняли боги, что это хорошо.

Итак, как нам получить α в степени β математиков? Надо, чтобы на небесах сидели β богов, на земле жил только один математик и каждый бог сказал: «Да будет на земле вместо каждого математика α математиков!» Что делают боги? Они β раз умножают α на само себя. Делают то же, что обычно делаем в таких случаях мы, когда 2 возводим в куб.

Ключевым свойством ординалов (т.е. всех этих чисел, которыми мы считаем бесконечное число математиков) является возможность индукции по ним. Такая индукция называется трансфинитной. Рассмотрим подробнее одну из формулировок принципа математической индукции. Пусть φ(n) — некоторое утверждение относительно натурального числа n (к примеру, \( \sum\limits_^i = \frac <2>\)), тогда принцип можно сформулировать так:

Если из того, что для любых m меньших, чем n, выполняется φ(m), следует, что выполняется φ(n), то для любого натурального n выполняется φ(n).

В действительности не очевидно, отчего мы сможем посчитать a n для любого натурального n и произвольного a в результате такого определения. Возможность рекурсии следует из справедливости самого принципа индукции. Таким образом, в нашем примере с богами мы «дали» индуктивное определение возведения в степень, заметя под ковер один важный момент. Рассмотрим три случая:

В результате такой операции должна получиться наименьшая последовательность, содержащая все конечные последовательности математиков в качестве своих начальных подпоследовательностей. Таким образом мы хотим сказать, что ω = sup<γ | γ — конечный ординал>.

Похожим образом определяется степень в случае ординала, не имеющего предыдущего, т.е. δ α = sup<δ γ | γ

Источник

myatsikc

myatsikc

Сегодня, перед зданием, в котором я работаю, я увидел небольшой вихрь осенней листвы. И этот вихрь, напомнил мне о теме, только размышления о которой доставляют мне удовольствие. Я постараюсь этой темой поделиться. Речь пойдет о бесконечности мира. Мне очень хочется забежать вперед, или сразу начать кричать. Но говорить я буду о таких вещах, которые нельзя рассказать или доказать, такие вещи можно только почувствовать и попытаться передать это интуитивное знание. При должном восприятии с обратной стороны, если сильно повезет, твой собеседник тоже почувствует, о чем ты говоришь. Поэтому говорить я постараюсь медленно и аккуратно.

Представьте себе величину вселенной. Вот вы сейчас сидите за компьютером, на самом деле вы находитесь на огромном шаре, который мчится сквозь пустое пространство с огромной скоростью. Представьте себе это, всю эту массу, всю эту толщу под вами. В детстве я любил ложиться ночью посреди поля и представлять, что земля летит именно в том направлении, в котором я смотрю, представлять, как она меня раздавит, если врежется во что-нибудь такое же большое. Я был маленькой букашкой на огромном шаре. А ведь земля мала как крупинка, по сравнению с размерами солнечной системы. Представьте высохшее море, встав посреди которого не увидишь ничего кроме ровного горизонта, и лежащую на его дне косточку винограда. Примерно так соотносятся наша земля и солнечная система. А ведь от солнечной системы можно улететь. Можно улететь так далеко, чтобы она превратилась в точку. Насколько это далеко? У вас большой дом? Представьте себе, что вы обходите вокруг вашего дома, а насколько больше нужно сделать шагов в сторону, чтобы ваш дом стал для вас точкой? А ведь вселенная там не кончается, она только-только началась. И, что самое главное, находясь на таком расстоянии, я могу сделать шаг. Один маленький шаг, и я буду уже на другом расстоянии. Это самое важное, о чем я хотел сказать.

На самом деле я вас потерял, уже. К черту аккуратность, я и сам себя потеряли еще когда описывал море с косточкой винограда. А вас, наверное, еще раньше. Суть в том, что человеческий мозг не в силах представить себе бесконечность, осознать её. Это как пытаться поднять 20 тонный грузовик. Вам, собственно, неважно 20 тонн весит грузовик или 21. Вы будете одинаково тужится и, одинаково. не сдвинете его с места. А вес, в это время, разный.

Вернемся к упомянутому мною вихрю листвы. Он крутился, и в каждое мельчайший отрезок времени листва составляла собою уникальный узор, и крутись этот вихрь сотню лет – ни один из узоров не повторился бы. А ведь это всего лишь 40-60 листков из миллионов уникальных листьев, которые опадают в каждом, из тысячи городов, в каждый из сотен миллионов лет. Бесконечность различных рисунков листвы, и в каждом рисунке, можно заменить любой листок на один из бесконечности разных других. Бесконечность? Да, бесконечность бесконечностей, но не предел! Потому, что то этот вихрь расположен в конкретном месте, а я могу расположить его в любой точке планеты. И я получаю новую меру, по которой могу мерить количество своих вихрей, и в этой мере, у меня опять бесконечное кол-во вариантов. И я так же могу добавлять и добавлять. Я добавлю различное освещение рисунка в вихре, я добавлю различные точки обзора рисунка. Предела никогда не будет. Предел это миф, это фикция.

Человек не в силах понять, осознать бесконечность. Это легко доказать мысленным экспериментом. Сколько человека стоя прямо, ногами на полу, не прикасаясь друг-к-другу, уместятся в вашей ванной? В моей 3-4 человека. А сколько уместятся в комнате, в которой вы сейчас находитесь? Ну я возьмусь оценить за пол часа хождений по моей комнате взад-вперед. Оценка будет точной процентов на 10-15. А сколько человек уместятся на красной площади? А в какой-нибудь пустыне? Я даже с ошибкой в 2-3 порядка не возьмусь назвать. Конечно, сейчас можно включить математику и посчитать, даже очень хорошо посчитать, но ведь фокус не в этом. Это большая разница между тем, что бы осознать и сосчитать. Если я считаю – то при небольшом усложнении правил игры, например, каждый человек прикасаться плечом к другому человеку, моя математическая модель рушится. Если бы я осознавал, то при усложнении правил, я бы дал ответ сразу, как сразу говорю, что не могу стоя прямо дотянутся рукой до пола.

Я сказал уже очень много, половину я говорить не хотел. Но мне кажется, что я все равно ничего не успел сказать. И крайне мало сказал по делу. Это так прекрасно осознавать, что мир бесконечен. Выбери любую меру, и в ней мир будет бесконечен, и самих мер – бесконечность и способов проводить измерения каждой мерой – тоже бесконечность. Как не измеряй мир – он везде бесконечный, в каждую сторону, каждой своей частью. Подумать только, например, о однообразных будних вечерах, ведь каждый из них имел что-то особенное. Двух идентичных вечеров не найдешь. В каждый вечер были какие-то свои мысли, какой-то свой эмоциональный окрас отношений с близкими, немножко другие предметы вокруг и немножко другая череда событий. А сколько в мире домов. И сколько различных «возможных» вечеров существует. Об этом просто приятно думать.

Источник

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Виды бесконечностей и вынос мозга

Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.

Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые

Известные факты

Малоизвестные факты

В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, «множество всех множеств» не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.

Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество <> и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью <<>>, двойку как <<<>>> итд. <5,2>есть <<<<<<<>>>>>>, <<<>>>>. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.

Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.

Единственная операция, которая определена в теории множеств, это — символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:

То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты

Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это <

,>. Неэлегантно с точки зрения программиста, но достаточно для математика. Теперь множество всех пар param-value задает функцию, которая теперь тоже множество! Et voila! весь математический анализ, который работает на уровне языков второго порядка, так как говорит не о существовании чисел, а существовании функций — коллапсирует в язык 1 порядка!

Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.

Гипотеза континуума — CH

Существует ли мощность между и ? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.

Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между и есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!

Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:

Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет

Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель

Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.

Все выше и выше.

Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до — бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому не может быть последней!

Чтобы получить надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до , после чего, естественно, идет

Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс . Как вам такая мощность, например: ? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:

но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем

Сразу большой шаг

Далее мы пойдем быстрее:

У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?

Недостижимые мощности

Что если есть мощность настолько большая, , что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.

Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.

Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)

И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.

И да, это «множество всех множеств» теории ZFC. В этом видео в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.

Еще дальше.

Разумеется, мы можем пойти дальше, итерируя . Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.

Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:

Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?

Иерархия больших мощностей.

Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но есть и другие способы определять мощности, не только через недостижимость:

За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно. Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.

Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:

Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы доказать факт о табличках.

Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован тут.

Источник