неопределенный и определенный интеграл приложения

Тема 1.3. Интеграл и его приложения

В рекомендуемых учебных пособиях необходимо ознакомиться со следующими краткими сведениями справочного характера по интегральному исчислению.

-понятие первообразной данной функции;

— определение неопределенного интеграла;

— основные свойства неопределенного интеграла;

— таблица основных неопределённых интегралов;

— применение основных свойств и таблицы неопределенных интегралов, непосредственное интегрирование;

— определение и свойства определенного интеграла;

— определённый интеграл как площадь криволинейной трапеции, его принципиальное отличие от неопределенного интеграла;

— вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

— замена переменной в определенном интеграле;

— вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения;

— использование определенного интеграла при решении задач прикладного характера.

В результате изучения темы студент должен:

Уметь:

— находить неопределённые интегралы, сводящиеся к табличным, с помощью основных свойств и простых преобразований;

— восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количество электричества по силе тока и др.;

— вычислять определённый интеграл с помощью основных его свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

— находить площади криволинейных трапеций;

— решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к составлению и вычислению интеграла.

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизнидля:

— решения прикладных задач на вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

Приведём основные свойствами неопределенного интеграла:

1) постоянный множитель (к¹0) можно выносить за знак интеграла:

.

2) интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций

.

3) или .

4) или .

5) .

Основные формулы интегрирования

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Справедливость этих формул можно проверить путем дифференцирования, т.е. легко убедиться в том, что производные от правых частей формул

будут равны соответствующим подынтегральным функциям. Интегралы таблицы называются табличными.

Основные методы интегрирования.

Непосредственное интегрирование – это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Интегрирование методом подстановки (замены переменной).

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае используют метод подстановки. Для интегрирования методом постановки будем использовать следующую схему:

1. Часть подынтегральной функции заменим новой переменной;

2. Найдем дифференциал от обеих частей замены;

3. Выразим подынтегральное выражение через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4. Найдем полученный табличный интеграл;

5. Сделаем обратную замену, вернемся к старой переменной.

Определение. Если -первообразная функция для , то приращение первообразных функций при изменении аргумента от до называется определенным интегралом и обозначается

т.е.

Непосредственное вычисление определенного интеграла

В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой совокупность всех первообразных от данной функции, определенный интеграл есть число. Для его вычисления применяют формулу Ньютона- Лейбница

где — нижний, а — верхний пределы определенного интеграла.

Т. е. значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции при нижнем и верхнем пределах интегрирования. Все методы интегрирования, используемые при нахождении неопределенных интегралов, применяются и при вычислении определенных интегралов.

Если функция положительна, то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной функции , , прямыми и отрезком оси Ox). В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла. Таким образом, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле: .

Основные свойства определенного интеграла

Вопросы для самоконтроля

1. Какая связь существует между операциями дифференцирования и интегрирования?

2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

3. Дайте определение неопределенного интеграла.

4. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.

5. Перечислите основные табличные интегралы.

6. Запишите формулу Ньютона- Лейбница.

7. Объясните, почему она называется формулой, выражающей связь определённого интеграла с неопределённым? Где в ней неопределённый интеграл?

8. В чём принципиальное различие неопределённого и определённого интегралов?

9. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?

10. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

11. В чем заключается геометрический смысл определённого интеграла?

12. Запишите основные свойства определенного интеграла.

13. Какие методы вычисления определенного интеграла Вам известны?

14. Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.

Источник

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Свойства определенного интеграла

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Первообразная

Определение. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на промежутке X, если для каждого .

Операция нахождения первообразной функции f(x), называется интегрированием.

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл-это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.

Дифференциал-произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

В виде

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования.

Определённый интеграл

Определенный интеграл— Приращение одной из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b].

Общий вид определённого интеграла:

где f(x)–подынтегральная функция, a и b-пределы интегрирования, dx-дифференциал

Свойства определённого интеграла: см. св-ва определённого интеграла.

Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:

Применение определённого интеграла:

1. Нахождение площади криволинейной трапеции

2. Нахождение величины скорости v по заданному закону ускорения a(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е

Пример: Точка движется по закону ускорения a(t)=t+1. Найти величину ее скорости за промежуток времени [2;4] секунд.

Решение:

3. Нахождение пути S по закону изменения скорости v(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е.

Пример: Найти путь, который проделала материальная точка за промежуток времени [2;4], двигаясь со скоростью, которая изменялась по закону: v(t)=2t+2.

Решение:

Стоит отметить, что, на сегодняшний день, интегральное и дифференциальное исчисление занимают лидирующие позиции в математике. Советую вам ознакомиться, более подробно, с широким применением интегралов в естествознании.

Источник

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

(и в программировании)

Недавно мы разобрали, что такое знаки Σ и П в математике — это операции, которые, по сути, похожи на циклы в программировании. В одном случае мы складывали много чисел по определённому принципу, а в другом — умножали.

Сегодня посмотрим на интеграл ∫ — что это такое и какой цикл можно сделать из него.

Но сначала: что такое функция

Интегралы в математике всегда связаны с функциями, поэтому сначала поговорим про них.

Функцию можно представить как «коробку с математикой». У тебя есть какая-то масса математических операций, ты их «запаковываешь» в функцию. Теперь ты можешь эту массу операций вызывать в своих математических выражениях одним действием.

У функции есть один или несколько аргументов — это те числа, к которым нужно применить массу математических операций. Можно представим, что мы засунули это число в коробку с математикой, потрясли и получили на выходе другое число.

Если посчитать f(x) для одного числа, получится другое число. Если посчитать f(x) от 100 чисел, получится 100 других чисел. А если непрерывно считать f(x) для бесконечного количества чисел, то получится бесконечное количество других чисел.

Что такое интеграл

Итак, у нас есть некая функция, у неё есть числа на входе и числа на выходе. Эти пары чисел можно использовать для построения графика функции.

Теперь берём этот график функции и проводим две линии, которые ограничивают график. Получается фигура, которая сверху зависит от нашей функции, а с остальных сторон ограничена прямыми линиями и осью:

А теперь то, ради чего всё это затевалось:

✅ Площадь этой фигуры и есть интеграл функции f(x) = sin(x) + cos(x) на отрезке от a до b

В нашем случае мы считаем интеграл от нуля до числа пи — 3,1415926.

Это называется определённый интеграл. Определённый — это когда у нас определены начало и конец фигуры — в математике это называют пределами интегрирования. Записывается этот интеграл так:

В математике есть ещё неопределённые интегралы, у которых нет пределов интегрирования. Ими мы заниматься не будем, потому что ответом к неопределённому интегралу будет не конкретное число, а формула.

Зачем нужны интегралы в народном хозяйстве

Вы удивитесь, но в первую очередь интегралы нужны, чтобы находить площади и объёмы. В буквальном смысле: вот фигура, вот её описание в виде функции, проинтегрировали — узнали площадь. Будете, например, заливать бетоном красивую кривую дорожку — узнаете, сколько вам нужно бетона.

Интегралы нужны в математике и физике, это один из инструментов вычислений.

Если вы астрофизик, интеграл поможет вам рассчитать какие-нибудь свойства звёзд с течением времени. А математики говорят, что в интегралах не нужно искать практический смысл; их нужно любить, как мать, и почитать, как отца.

Как посчитать интеграл (то есть найти площадь)

Если бы у нас был прямоугольник, то всё просто: перемножаем высоту на ширину. Если бы была трапеция, тоже ещё как-то что-то можно. Но сверху у нас кривая, поэтому так сделать не получится. Решение придумали такое:

Минус такого подхода в том, что, как бы мы ни старались, прямоугольники не могут повторить все изгибы, и появится погрешность. С другой стороны, чем тоньше будут эти прямоугольники, тем точнее будет ответ. Получается, что наша задача — нарезать фигуру как можно тоньше.

Теперь задача становится намного проще: мы просто считаем площадь каждого прямоугольника и складываем их вместе. В таком виде задачу уже можно решить простым алгоритмом.

Пишем код

Раз нам нужно разбить интервал на много частей а потом с каждой из них сделать одно и то же, то это точно задача для цикла. Для этого нам понадобится шаг цикла — какой ширины будут наши прямоугольники, чтобы бы могли их одинаково перебирать.

Чтобы посчитать шаг, находим расстояние между конечной и начальной точкой и делим на желаемое количество прямоугольников (это будет нашей точностью интегрирования).

Общая логика работы будет такая:

На картинке — все исходные данные, а ниже — код, который считает интеграл. Смотрите на картинку и читайте комментарии: так будет ещё проще разобраться в коде:

Что дальше

Теперь этот код можно изменить так, чтобы он считал интеграл в любых пределах у любой функции. С точки зрения математики это не самый точный результат, но всё зависит от того, сколько точных знаков после запятой нам нужно.

В следующей серии продолжим разбираться со страшной математикой. Если есть пожелания для разбора — напишите в комментариях.

Источник