Как понять что треугольник тупоугольный по сторонам

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.

Тупоугольный треугольник (понятие и определение):

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

Рис. 1. Тупоугольный треугольник

∠ BАC– тупой угол треугольника,

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника,

Рис. 3. Прямоугольный треугольник

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,

Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.

Элементы тупоугольного треугольника:

Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.

Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол

Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.

Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника

MA – медиана тупоугольного треугольника

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника

MС – высота тупоугольного треугольника

Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.

Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.

Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника

MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника

Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Свойства тупоугольного треугольника:

Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Рис. 9. Тупоугольный треугольник

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами

3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.

4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

Источник

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

По величине углов

Остроугольный треугольник

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний (правильный) треугольник

— все три стороны равны.

Вершины, углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника

Угол между l c и l c ‘ = 90°

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

l a = 2 b c cos α 2 b + c

l b = 2 a c cos β 2 a + c

l c = 2 a b cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол

h a = b sin γ = c sin β

h b = c sin α = a sin γ

h c = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность описанная вокруг треугольника

Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Признаки

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a, b, c — стороны треугольника,
h_a, h_b, h_c — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Равенство треугольников

Определение

Если два треугольника АВС и А₁В₁С₁ можно совместить наложением, то они равны.

Свойства

У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

где k — коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Свойства прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Источник

Математика. 3 класс

Конспект урока

Виды треугольников по видам углов. Закрепление изученного материала

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Какие виды треугольников различают по видам углов?

Как различать треугольники: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный?

Геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.
Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Виды треугольников по величине углов

Остроугольный треугольник – это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой, т.е. 90º.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

Основная и дополнительная литература:

1. Моро М. И. Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. М. «Просвещение» — 2017. С. 85-87.

2. Волкова С. И. математика. Тесты. 3 кл. – М.: Просвещение, 2018. С. 60-67.

3. Рудницкая В. Н. Математика. Дидактические материалы. ч.1 3 кл. – М. «Вентана- Граф», 2016, с. 47-53.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что вы уже знаете о видах треугольников.

По длине сторон различают: разносторонние, равнобедренные и равносторонние треугольники.

Но было бы несправедливо разделить все треугольники на 3 вида по длине сторон. Ведь у каждого есть ещё и по три угла.

У вас уже появились идеи?

Острые – меньше прямого

Прямые – угол 90 градусов

Тупые – больше прямого

Оказывается, по величине углов все треугольники тоже можно разделить на 3 вида:

те, у которых все углы острые, – остроугольные,

те, у которых есть прямой угол, – прямоугольные,

те, у которых есть тупой угол, – тупоугольные.

Для того чтобы безошибочно определить вид треугольника по величине углов, необходимо измерить все три угла при помощи транспортира.

Обычно вид треугольника можно определить на глаз.

Попробуйте определить виды треугольников по величине углов без измерений.

тупоугольный– 2, 4, 7, 5

По величине углов различают 3 вида треугольников:

Остроугольные, прямоугольные и тупоугольные

Определить вид треугольника можно тремя способами:

с помощью измерений, на глаз и по условным обозначениям.

Теперь вы можете различать виды треугольников по сторонам и по углам. Эти знания необходимы в геометрии.

Задания тренировочного модуля

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого ……………………

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть ……………………

Тупоугольный треугольник – треугольник, все стороны которого есть ……………………

Правильные варианты ответов:

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы острые.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол.

Тупоугольный треугольник — треугольник, все стороны которого есть тупой угол.

Определите вид треугольника по величине углов и выпишите номера треугольников по порядку:

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник