Как понять что система совместна

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

Ответ: система несовместна.

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Источник

Как понять что система совместна

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Как понять что система совместна. l14image002. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image002. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image002.

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы Как понять что система совместна. l14image004. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image004. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image004., которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Как понять что система совместна. l14image012. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image012. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image012.

Рассмотрим матрицу системы Как понять что система совместна. l14image014. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image014. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image014.и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Как понять что система совместна. l14image016. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image016. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image016.

Как понять что система совместна. l14image018. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image018. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image018.

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

Как понять что система совместна. l14image020. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image020. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image020.или короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Примеры. Решить системы уравнений.

Найдем матрицу обратную матрице A.

Как понять что система совместна. l14image026. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image026. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image026., Как понять что система совместна. l14image028. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image028. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image028.

Таким образом, x = 3, y = – 1.

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Как понять что система совместна. l14image034. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image034. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image034.

Как понять что система совместна. l14image036. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image036. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image036.

Как понять что система совместна. l14image038. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image038. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image038.

Из уравнения получаем Как понять что система совместна. l14image042. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image042. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image042..

Как понять что система совместна. l14image044. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image044. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image044.

Следовательно,Как понять что система совместна. l14image046. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image046. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image046.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Как понять что система совместна. l14image012. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image012. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image012.

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

Как понять что система совместна. l14image048. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image048. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image048.

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Как понять что система совместна. l14image050. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image050. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image050.

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Как понять что система совместна. l14image052. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image052. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image052.

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Как понять что система совместна. l14image054. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image054. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image054.

Сложим эти уравнения:

Как понять что система совместна. l14image056. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image056. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image056.

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Как понять что система совместна. l14image058. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image058. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image058..

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Как понять что система совместна. l14image060. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image060. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image060.

Аналогично можно показать, что и Как понять что система совместна. l14image062. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image062. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image062..

Наконец несложно заметить, что Как понять что система совместна. l14image064. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image064. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image064.

Таким образом, получаем равенство: Как понять что система совместна. l14image066. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image066. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image066..

Следовательно, Как понять что система совместна. l14image068. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image068. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image068..

Аналогично выводятся равенства Как понять что система совместна. l14image070. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image070. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image070.и Как понять что система совместна. l14image072. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image072. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image072., откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

Как понять что система совместна. l14image078. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image078. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image078.. Поэтому Как понять что система совместна. l14image080. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image080. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image080..

Как понять что система совместна. l14image082. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image082. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image082.

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Как понять что система совместна. l14image090. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image090. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image090..

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Как понять что система совместна. l14image096. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image096. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image096.

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на Как понять что система совместна. l14image098. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image098. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image098., умножим на Как понять что система совместна. l14image100. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image100. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image100.и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Как понять что система совместна. l14image102. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image102. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image102.

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

Как понять что система совместна. l14image104. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image104. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image104.

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Как понять что система совместна. l14image108. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image108. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image108.

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Как понять что система совместна. l14image112. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image112. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image112.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Как понять что система совместна. l14image116. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image116. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image116.

Вернемся к системе уравнений. Как понять что система совместна. l14image118. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image118. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image118.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Как понять что система совместна. l14image120. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-l14image120. картинка Как понять что система совместна. картинка l14image120.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Источник

Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Установить, совместна ли система линейных уравнений, с помощью теоремы Кронекера-Капелли часто можно быстрее, чем с помощью метода Гаусса, когда требуется последовательно исключать неизвестные. Основана эта теорема на использовании ранга матрицы.

Как понять что система совместна. kk002. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk002. картинка Как понять что система совместна. картинка kk002.

Как понять что система совместна. kk003. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk003. картинка Как понять что система совместна. картинка kk003.

Ранги этих матриц связаны неравенством Как понять что система совместна. kk004. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk004. картинка Как понять что система совместна. картинка kk004., при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы A.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли о числе решений. Пусть для системы m линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда верно следующее.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений, то есть Как понять что система совместна. kk007. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk007. картинка Как понять что система совместна. картинка kk007., то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга Как понять что система совместна. kk008. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk008. картинка Как понять что система совместна. картинка kk008.отличный от нуля минор Как понять что система совместна. kk009. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk009. картинка Как понять что система совместна. картинка kk009.порядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор Как понять что система совместна. kk009. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk009. картинка Как понять что система совместна. картинка kk009.;

3) члены с коэффициентами, не входящими в Как понять что система совместна. kk009. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk009. картинка Как понять что система совместна. картинка kk009., перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем Как понять что система совместна. kk009. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk009. картинка Как понять что система совместна. картинка kk009..

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Как понять что система совместна. kk010. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk010. картинка Как понять что система совместна. картинка kk010.

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

Как понять что система совместна. kk011. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk011. картинка Как понять что система совместна. картинка kk011.

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и неизвестному Как понять что система совместна. kk012. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk012. картинка Как понять что система совместна. картинка kk012.придаём произвольное значение Как понять что система совместна. kk013. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk013. картинка Как понять что система совместна. картинка kk013..

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Как понять что система совместна. kk014. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk014. картинка Как понять что система совместна. картинка kk014.

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим

Как понять что система совместна. kk015. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk015. картинка Как понять что система совместна. картинка kk015.,

Как понять что система совместна. kk016. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk016. картинка Как понять что система совместна. картинка kk016.,

Как понять что система совместна. kk017. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk017. картинка Как понять что система совместна. картинка kk017..

Присоединяя сюда Как понять что система совместна. kk018. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk018. картинка Как понять что система совместна. картинка kk018., получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Как понять что система совместна. kk019. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk019. картинка Как понять что система совместна. картинка kk019.

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

Как понять что система совместна. kk020. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk020. картинка Как понять что система совместна. картинка kk020..

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

Как понять что система совместна. kk021. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk021. картинка Как понять что система совместна. картинка kk021..

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:

Как понять что система совместна. kk022. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk022. картинка Как понять что система совместна. картинка kk022.

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

Как понять что система совместна. kk023. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk023. картинка Как понять что система совместна. картинка kk023.,

Как понять что система совместна. kk024. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk024. картинка Как понять что система совместна. картинка kk024.,

Как понять что система совместна. kk025. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-kk025. картинка Как понять что система совместна. картинка kk025..

Источник

Совместная, несовместная СЛАУ.

Система называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Определённая, неопределённая СЛАУ.

Если СЛАУ имеет решение и при том единственное, то её называют определённой а если решение неединственное – то неопределённой.

МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Как понять что система совместна. image1023. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1023. картинка Как понять что система совместна. картинка image1023.Рассмотрим матрицу системы Как понять что система совместна. image1024. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1024. картинка Как понять что система совместна. картинка image1024.и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Как понять что система совместна. image1026. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1026. картинка Как понять что система совместна. картинка image1026.

Найдем произведение Как понять что система совместна. image1028. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1028. картинка Как понять что система совместна. картинка image1028.

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

Как понять что система совместна. image1030. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1030. картинка Как понять что система совместна. картинка image1030.или короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы, т.е. определитель матрицы А : D = det (ai j) и n вспомогательных определителей D i (i= Как понять что система совместна. image830. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image830. картинка Как понять что система совместна. картинка image830.), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид: D × x i = D i (i = Как понять что система совместна. image830. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image830. картинка Как понять что система совместна. картинка image830.).

Из этого следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: x i = D i / D.

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= Как понять что система совместна. image830. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image830. картинка Как понять что система совместна. картинка image830.), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Теорема (правило Крамера): Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём Как понять что система совместна. image1034. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1034. картинка Как понять что система совместна. картинка image1034.

Доказательство: Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Как понять что система совместна. image1036. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1036. картинка Как понять что система совместна. картинка image1036.

Сложим эти уравнения: Как понять что система совместна. image1038. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1038. картинка Как понять что система совместна. картинка image1038.

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца Как понять что система совместна. image1039. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1039. картинка Как понять что система совместна. картинка image1039..

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Как понять что система совместна. image1040. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1040. картинка Как понять что система совместна. картинка image1040.

Аналогично можно показать, что и Как понять что система совместна. image1042. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1042. картинка Как понять что система совместна. картинка image1042..

Наконец несложно заметить, что Как понять что система совместна. image1043. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1043. картинка Как понять что система совместна. картинка image1043.

Таким образом, получаем равенство: Как понять что система совместна. image1045. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1045. картинка Как понять что система совместна. картинка image1045.. Следовательно, Как понять что система совместна. image1046. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1046. картинка Как понять что система совместна. картинка image1046..

Аналогично выводятся равенства Как понять что система совместна. image1048. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1048. картинка Как понять что система совместна. картинка image1048.и Как понять что система совместна. image1050. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1050. картинка Как понять что система совместна. картинка image1050., откуда и следует утверждение теоремы.

Система линейных уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы Как понять что система совместна. image783. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image783. картинка Как понять что система совместна. картинка image783.равен рангу расширенной матрицы Как понять что система совместна. image1051. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1051. картинка Как понять что система совместна. картинка image1051..

Доказательство: Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что Как понять что система совместна. image1052. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1052. картинка Как понять что система совместна. картинка image1052..

Пусть набор чисел Как понять что система совместна. image1053. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1053. картинка Как понять что система совместна. картинка image1053.является решением системы. Обозначим через Как понять что система совместна. image1054. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1054. картинка Как понять что система совместна. картинка image1054. Как понять что система совместна. image836. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image836. картинка Как понять что система совместна. картинка image836.-ый столбец матрицы Как понять что система совместна. image783. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image783. картинка Как понять что система совместна. картинка image783., Как понять что система совместна. image1056. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1056. картинка Как понять что система совместна. картинка image1056.. Тогда Как понять что система совместна. image1058. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1058. картинка Как понять что система совместна. картинка image1058., то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы Как понять что система совместна. image783. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image783. картинка Как понять что система совместна. картинка image783.. Пусть Как понять что система совместна. image1059. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1059. картинка Как понять что система совместна. картинка image1059.. Предположим, что Как понять что система совместна. image1061. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1061. картинка Как понять что система совместна. картинка image1061.. Тогда по Как понять что система совместна. image1062. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1062. картинка Как понять что система совместна. картинка image1062.. Выберем в Как понять что система совместна. image1051. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1051. картинка Как понять что система совместна. картинка image1051.базисный минор Как понять что система совместна. image620. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image620. картинка Как понять что система совместна. картинка image620.. Он имеет порядок Как понять что система совместна. image918. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image918. картинка Как понять что система совместна. картинка image918.. Столбец Как понять что система совместна. image1019. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1019. картинка Как понять что система совместна. картинка image1019.свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы Как понять что система совместна. image783. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image783. картинка Как понять что система совместна. картинка image783.. Столбец свободных членов в миноре Как понять что система совместна. image620. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image620. картинка Как понять что система совместна. картинка image620.является линейной комбинацией столбцов матрицы Как понять что система совместна. image783. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image783. картинка Как понять что система совместна. картинка image783.. В силу свойств определителя Как понять что система совместна. image1064. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1064. картинка Как понять что система совместна. картинка image1064., где Как понять что система совместна. image1066. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1066. картинка Как понять что система совместна. картинка image1066.— определитель, который получается из минора Как понять что система совместна. image620. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image620. картинка Как понять что система совместна. картинка image620.заменой столбца свободных членов на столбец Как понять что система совместна. image1067. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1067. картинка Как понять что система совместна. картинка image1067.. Если столбец Как понять что система совместна. image1068. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1068. картинка Как понять что система совместна. картинка image1068.проходил через минор M, то в Как понять что система совместна. image1069. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1069. картинка Как понять что система совместна. картинка image1069., будет два одинаковых столбца и, следовательно, Как понять что система совместна. image1071. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1071. картинка Как понять что система совместна. картинка image1071.. Если столбец Как понять что система совместна. image1072. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1072. картинка Как понять что система совместна. картинка image1072.не проходил через минор Как понять что система совместна. image620. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image620. картинка Как понять что система совместна. картинка image620., то Как понять что система совместна. image1069. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1069. картинка Как понять что система совместна. картинка image1069.будет отличаться от минора порядка r+1 матрицы Как понять что система совместна. image783. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image783. картинка Как понять что система совместна. картинка image783.только порядком столбцов. Так как Как понять что система совместна. image1073. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1073. картинка Как понять что система совместна. картинка image1073., то Как понять что система совместна. image1074. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1074. картинка Как понять что система совместна. картинка image1074.. Таким образом, Как понять что система совместна. image1076. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1076. картинка Как понять что система совместна. картинка image1076., что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что Как понять что система совместна. image1077. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1077. картинка Как понять что система совместна. картинка image1077., неверно.

2. Пусть Как понять что система совместна. image1052. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1052. картинка Как понять что система совместна. картинка image1052.. Покажем, что система имеет решение. Так как Как понять что система совместна. image1052. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1052. картинка Как понять что система совместна. картинка image1052., то базисный минор Как понять что система совместна. image620. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image620. картинка Как понять что система совместна. картинка image620.матрицы Как понять что система совместна. image783. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image783. картинка Как понять что система совместна. картинка image783.является базисным минором матрицы Как понять что система совместна. image1051. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1051. картинка Как понять что система совместна. картинка image1051.. Пусть через минор Как понять что система совместна. image620. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image620. картинка Как понять что система совместна. картинка image620.проходят столбцы Как понять что система совместна. image1079. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1079. картинка Как понять что система совместна. картинка image1079.. Тогда по теореме о базисном миноре в матрице Как понять что система совместна. image1051. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1051. картинка Как понять что система совместна. картинка image1051.столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

Как понять что система совместна. image1081. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1081. картинка Как понять что система совместна. картинка image1081.(1)

Положим Как понять что система совместна. image1083. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1083. картинка Как понять что система совместна. картинка image1083., Как понять что система совместна. image1085. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1085. картинка Как понять что система совместна. картинка image1085., Как понять что система совместна. image1086. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1086. картинка Как понять что система совместна. картинка image1086., Как понять что система совместна. image1088. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1088. картинка Как понять что система совместна. картинка image1088., остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях Как понять что система совместна. image1089. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1089. картинка Как понять что система совместна. картинка image1089.получим

Как понять что система совместна. image1091. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1091. картинка Как понять что система совместна. картинка image1091.

В силу равенства (1) Как понять что система совместна. image1093. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1093. картинка Как понять что система совместна. картинка image1093.. Последнее равенство означает, что набор чисел Как понять что система совместна. image1094. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1094. картинка Как понять что система совместна. картинка image1094.является решением системы. Существование решения доказано.

В рассмотренной выше системе Как понять что система совместна. image1096. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1096. картинка Как понять что система совместна. картинка image1096., и система является совместной. В системе Как понять что система совместна. image1097. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1097. картинка Как понять что система совместна. картинка image1097., Как понять что система совместна. image1098. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1098. картинка Как понять что система совместна. картинка image1098., и система является несовместной.

Замечание:Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить Как понять что система совместна. image1100. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1100. картинка Как понять что система совместна. картинка image1100.и Как понять что система совместна. image1102. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1102. картинка Как понять что система совместна. картинка image1102., ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Пусть дана система Как понять что система совместна. image906. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image906. картинка Как понять что система совместна. картинка image906.линейных уравнений с Как понять что система совместна. image164. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image164. картинка Как понять что система совместна. картинка image164.неизвестными Как понять что система совместна. image1103. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1103. картинка Как понять что система совместна. картинка image1103.. Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя и к методу нахождения ранга матрицы. Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Выпишем расширенную матрицу системы

Как понять что система совместна. image1105. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1105. картинка Как понять что система совместна. картинка image1105.

Назовем элементарными операциями следующие действия с матрицами:

1. перестановка строк;

2. умножение строки на число, отличное от нуля;

3. сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Отметим, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами. Если по матрице, полученной из Как понять что система совместна. image1051. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1051. картинка Как понять что система совместна. картинка image1051.выполнением элементарной операции, восстановить систему уравнений, то новая система будет равносильна исходной.

Шаг алгоритма заключается в следующем. Находим первый ненулевой столбец в матрице Как понять что система совместна. image1051. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1051. картинка Как понять что система совместна. картинка image1051.. Пусть это будет столбец с номером Как понять что система совместна. image836. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image836. картинка Как понять что система совместна. картинка image836.. Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрице Как понять что система совместна. image1051. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1051. картинка Как понять что система совместна. картинка image1051.уже произведена, то есть Как понять что система совместна. image1106. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1106. картинка Как понять что система совместна. картинка image1106.. Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число Как понять что система совместна. image1107. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1107. картинка Как понять что система совместна. картинка image1107., к третьей строке прибавим первую, умноженную на число Как понять что система совместна. image1109. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1109. картинка Как понять что система совместна. картинка image1109., и т.д. В результате получим матрицу

Как понять что система совместна. image1110. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1110. картинка Как понять что система совместна. картинка image1110.

(Первые нулевые столбцы, как правило, отсутствуют.)

Если в матрице Как понять что система совместна. image1112. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1112. картинка Как понять что система совместна. картинка image1112.встретилась строка с номером k, в которой все элементы Как понять что система совместна. image1114. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1114. картинка Как понять что система совместна. картинка image1114.равны нулю, а Как понять что система совместна. image1116. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1116. картинка Как понять что система совместна. картинка image1116., то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что Как понять что система совместна. image828. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image828. картинка Как понять что система совместна. картинка image828.-ое уравнение будет иметь вид Как понять что система совместна. image1118. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1118. картинка Как понять что система совместна. картинка image1118.

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел Как понять что система совместна. image1120. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1120. картинка Как понять что система совместна. картинка image1120..

Матрицу Как понять что система совместна. image1121. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1121. картинка Как понять что система совместна. картинка image1121.можно записать в виде Как понять что система совместна. image1122. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1122. картинка Как понять что система совместна. картинка image1122.

Как понять что система совместна. image1124. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1124. картинка Как понять что система совместна. картинка image1124.

По отношению к матрице Как понять что система совместна. image1125. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1125. картинка Как понять что система совместна. картинка image1125.выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу

Как понять что система совместна. image1126. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1126. картинка Как понять что система совместна. картинка image1126.

где Как понять что система совместна. image1128. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1128. картинка Как понять что система совместна. картинка image1128., Как понять что система совместна. image1129. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1129. картинка Как понять что система совместна. картинка image1129.. Эту матрицу снова можно записать в виде

Как понять что система совместна. image1130. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1130. картинка Как понять что система совместна. картинка image1130.

и к матрице Как понять что система совместна. image1131. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1131. картинка Как понять что система совместна. картинка image1131.снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее.

Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Как понять что система совместна. image1132. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1132. картинка Как понять что система совместна. картинка image1132.

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице Как понять что система совместна. image1133. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1133. картинка Как понять что система совместна. картинка image1133.составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть Как понять что система совместна. image1134. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1134. картинка Как понять что система совместна. картинка image1134.. Заметим, что Как понять что система совместна. image1135. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1135. картинка Как понять что система совместна. картинка image1135.. Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части.

Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы Ax=b. Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами Как понять что система совместна. image1137. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1137. картинка Как понять что система совместна. картинка image1137., включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин Как понять что система совместна. image1138. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1138. картинка Как понять что система совместна. картинка image1138.(в частности, просто произвольной величиной Как понять что система совместна. image1140. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1140. картинка Как понять что система совместна. картинка image1140.). Эта запись и будет общим решением системы.

Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при Как понять что система совместна. image1141. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1141. картинка Как понять что система совместна. картинка image1141., взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при Как понять что система совместна. image1143. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1143. картинка Как понять что система совместна. картинка image1143.— второе решение и т.д.

Как понять что система совместна. image1145. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1145. картинка Как понять что система совместна. картинка image1145.

имеет решение Как понять что система совместна. image1147. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1147. картинка Как понять что система совместна. картинка image1147., Как понять что система совместна. image1149. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1149. картинка Как понять что система совместна. картинка image1149.и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными

Как понять что система совместна. image1151. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1151. картинка Как понять что система совместна. картинка image1151.

решений не имеет, то есть является несовместной.

Определение: Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется матрица Как понять что система совместна. image1051. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1051. картинка Как понять что система совместна. картинка image1051., отличающаяся от матрицы Как понять что система совместна. image783. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image783. картинка Как понять что система совместна. картинка image783.системы наличием дополнительного столбца из свободных членов:

Как понять что система совместна. image1152. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1152. картинка Как понять что система совместна. картинка image1152.

Следствие: Ранг расширенной матрицы Как понять что система совместна. image1051. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1051. картинка Как понять что система совместна. картинка image1051.либо равен рангу матрицы системы A, либо больше его на единицу.

Доказательство: Так как любая линейно независимая система столбцов матрицы A является линейно независимой системой столбцов матрицы Как понять что система совместна. image1153. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1153. картинка Как понять что система совместна. картинка image1153., то в силу предложения 14.26 (Ранг матрицы равен максимальному числу ее столбцов, образующих линейно независимую систему) Как понять что система совместна. image1155. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1155. картинка Как понять что система совместна. картинка image1155..

Квадратные системы с невырожденной матрицей.

Решение СЛАУ:Пусть дана СЛАУ

Как понять что система совместна. image1159. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1159. картинка Как понять что система совместна. картинка image1159. Как понять что система совместна. image1160. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1160. картинка Как понять что система совместна. картинка image1160.A11x1 + … + a1nxn = 0

Данная система всегда совместна так как имеет тривиальное решение х1=…=хn=0

Для существования нетривиальных решений необходимо и достаточно выполнение

Любая совокупность (n-r) линейно независимых решений СЛАУ (являющаяся базисом в пространстве решений) называется фундаментальной совокупностью решений(ФСР).

Как понять что система совместна. image1161. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1161. картинка Как понять что система совместна. картинка image1161. Как понять что система совместна. image1161. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1161. картинка Как понять что система совместна. картинка image1161. Как понять что система совместна. image1161. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1161. картинка Как понять что система совместна. картинка image1161.хr+1=1 Как понять что система совместна. image1161. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1161. картинка Как понять что система совместна. картинка image1161.хr+1=0 хr+1=0

Определив значения базисных переменных, соответствующие каждому набору значений свободных переменных, получим решения:

Х (1) = Как понять что система совместна. image1162. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1162. картинка Как понять что система совместна. картинка image1162.Хr (1) , Х (2) = Как понять что система совместна. image1162. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1162. картинка Как понять что система совместна. картинка image1162.Хr (2) ,…,Х ( n- r) = Как понять что система совместна. image1162. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1162. картинка Как понять что система совместна. картинка image1162.Хr ( n- r)

Построенная таким образом система решений системы уравнений называется нормальнойфундаментальной совокупностью решений.

Теорема. Множество всех решений однородной системы уравнений

Как понять что система совместна. image1163. Как понять что система совместна фото. Как понять что система совместна-image1163. картинка Как понять что система совместна. картинка image1163.A11x1 + … + a1nxn = 0

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *