Как показать что точка принадлежит прямой

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

Как показать что точка принадлежит прямой. straight line and points. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-straight line and points. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка straight line and points.

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

Как показать что точка принадлежит прямой. straight line. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-straight line. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка straight line.

Как показать что точка принадлежит прямой. straight line named a. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-straight line named a. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка straight line named a.

Как показать что точка принадлежит прямой. straight line named a with points. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-straight line named a with points. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка straight line named a with points.

Как показать что точка принадлежит прямой. points outside line. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-points outside line. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка points outside line.

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

Как показать что точка принадлежит прямой. lines do not intersect. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-lines do not intersect. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка lines do not intersect.

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Как показать что точка принадлежит прямой. relative position lines no points. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-relative position lines no points. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка relative position lines no points.

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Как показать что точка принадлежит прямой. line through point. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-line through point. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка line through point.

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

Как показать что точка принадлежит прямой. relative position lines no points. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-relative position lines no points. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка relative position lines no points.

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Как показать что точка принадлежит прямой. relative position lines one common point. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-relative position lines one common point. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка relative position lines one common point.

Третий случай расположения прямых

Как показать что точка принадлежит прямой. one line through 2 points. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-one line through 2 points. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка one line through 2 points.

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как показать что точка принадлежит прямой. intersect two lines. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-intersect two lines. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка intersect two lines.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Как показать что точка принадлежит прямой. intersect three lines. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-intersect three lines. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка intersect three lines.

Как показать что точка принадлежит прямой. intersect three lines more points. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-intersect three lines more points. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка intersect three lines more points.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

Как показать что точка принадлежит прямой. line segment. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-line segment. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка line segment.

Как показать что точка принадлежит прямой. line segment without tails. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-line segment without tails. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка line segment without tails.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник

Проверка принадлежности точки прямой

Проверка принадлежности точки прямой (Паскаль)

Пример. Составить программу для определения лежит ли точка (x3;y3), на прямой проходящей через точки (x1;y1),C(x2;y2) >

program z20;
uses crt;
var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real;
begin
clrscr;
write(‘x1=’);readln(x1);
write(‘y1=’);readln(y1);
write(‘x2=’);readln(x2);
write(‘y2=’);readln(y2);
write(‘x3=’);readln(x3);
write(‘y3=’);readln(y3);
if (x3-x1)*(y2-y1)-(y3-y1)*(x2-x1)=0
then write(‘лежит’)
else write(‘не лежит’);
readln;
end.

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель!

Сегодня мы рассмотрим еще одну типовую задачу из серии геометрические алгоритмы. Напишем функцию, которая будет проверять принадлежность произвольной точки отрезку, заданному координатами своего начала и конца.

Задача. Проверить, принадлежит ли точка отрезку.

Пусть точки Как показать что точка принадлежит прямой. 31 2. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-31 2. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 31 2.— начальная и конечные точки отрезка. Как показать что точка принадлежит прямой. clip image004 thumb2. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-clip image004 thumb2. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка clip image004 thumb2.— произвольная точка на плоскости.

Вектор с началом в точке Как показать что точка принадлежит прямой. clip image006 thumb2. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-clip image006 thumb2. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка clip image006 thumb2.и концом в точке Как показать что точка принадлежит прямой. clip image008 thumb2. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-clip image008 thumb2. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка clip image008 thumb2.будет иметь координаты (x2-x1, y2-y1).

Если P(x, y) – произвольная точка, то координаты вектора Как показать что точка принадлежит прямой. clip image010 thumb2. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-clip image010 thumb2. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка clip image010 thumb2.равны: (x-x1, y – y1).

Точка Р будет принадлежать отрезку если:

Результаты выполнения программы.

Введите координаты точек: x1, y1, x2, y2, x,y
0.5 1 2.5 2.8 1.203 1.633
Да.

Результаты тестирования в программе GeoGebra:

Ввели еще две функции: EqPoint() и RealMoreEq() для реализации операций сравнения над вещественными данными. Первая проверяет, совпадают ли две точки на плоскости, вторая — используется для проверки отношения «>=».

На следующем уроке, на основе ранее написанных процедур, напишем процедуру определения координат точки пересечения двух отрезков.

На этом я с вами прощаюсь. До встречи на следующем уроке.

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.

Как показать что точка принадлежит прямой. ceee996653a1e1a581f2b4c256e9c259. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-ceee996653a1e1a581f2b4c256e9c259. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка ceee996653a1e1a581f2b4c256e9c259.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Как показать что точка принадлежит прямой. 9358dc0db049e52873397e4da09c0d13. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-9358dc0db049e52873397e4da09c0d13. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 9358dc0db049e52873397e4da09c0d13.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Как показать что точка принадлежит прямой. bfcc9d3fb6911771eddb730299f6d13f. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-bfcc9d3fb6911771eddb730299f6d13f. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка bfcc9d3fb6911771eddb730299f6d13f.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Как показать что точка принадлежит прямой. e5fbde6d1ed9a3bcbc6c2a6ea4d89ce5. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-e5fbde6d1ed9a3bcbc6c2a6ea4d89ce5. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка e5fbde6d1ed9a3bcbc6c2a6ea4d89ce5.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

Как показать что точка принадлежит прямой. 83c8b1927c0df4dd757e4ba263c12a16. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-83c8b1927c0df4dd757e4ba263c12a16. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 83c8b1927c0df4dd757e4ba263c12a16.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Как показать что точка принадлежит прямой. a035b4ffa74057e35428196b55a4154b. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-a035b4ffa74057e35428196b55a4154b. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка a035b4ffa74057e35428196b55a4154b.

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

Как показать что точка принадлежит прямой. 774a5c98baa023fdcc6da74ce11ff78b. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-774a5c98baa023fdcc6da74ce11ff78b. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 774a5c98baa023fdcc6da74ce11ff78b.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.
Как показать что точка принадлежит прямой. 207504772ba6bea952742983e70c4c92. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-207504772ba6bea952742983e70c4c92. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 207504772ba6bea952742983e70c4c92.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Источник

Точка и прямая

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Определение точки и прямой в геометрии не вводят, эти понятия рассматриваются на интуитивно-понятийном уровне.

Точки обозначают прописными (заглавными, большими) латинскими буквами: A, B, C, D, …

Прямые обозначают одной строчной (маленькой) латинской буквой, например,

Как показать что точка принадлежит прямой. 0 14c3d9 18bb5458 orig. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-0 14c3d9 18bb5458 orig. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 0 14c3d9 18bb5458 orig.

Прямая состоит из бесконечного множества точек и не имеет ни начала, ни конца. На рисунке изображают только часть прямой, но понимают, что она простирается в пространстве бесконечно далеко, неограниченно продолжаясь в обе стороны.

О точках, которые лежат на прямой, говорят, что они принадлежат этой прямой. Принадлежность отмечают знаком ∈. О точках вне прямой говорят, что они не принадлежат этой прямой. Знак «не принадлежит» — ∉.

Как показать что точка принадлежит прямой. 0 14c3da 66bca1fd orig. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-0 14c3da 66bca1fd orig. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 0 14c3da 66bca1fd orig.

Например, точка B принадлежит прямой a (пишут: B∈a),

точка F не принадлежит прямой a, (пишут: F∉a).

Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости:

Каковы бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Прямые также обозначают двумя большими латинскими буквами, по названию точек, которые лежат на прямой.

Как показать что точка принадлежит прямой. 0 14c3d5 f6107fb9 orig. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-0 14c3d5 f6107fb9 orig. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 0 14c3d5 f6107fb9 orig.

Как показать что точка принадлежит прямой. 0 14c3d4 7c3bc522 orig. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-0 14c3d4 7c3bc522 orig. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 0 14c3d4 7c3bc522 orig.

— эту прямую можно назвать MK или MN или NK.

Две прямые могут пересекаться и не пересекаться. Если прямые не пересекаются, они не имеют общих точек. Если прямые пересекаются, они имеют одну общую точку. Знак пересечения — .

Как показать что точка принадлежит прямой. 0 14c3d8 f69be29d orig. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-0 14c3d8 f69be29d orig. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 0 14c3d8 f69be29d orig.Например, прямые a и b пересекаются в точке O

(пишут: a b=O).

Как показать что точка принадлежит прямой. 0 14c3d6 d914467 orig. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-0 14c3d6 d914467 orig. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 0 14c3d6 d914467 orig.Прямые c и d также пересекающиеся, хотя на рисунке нет их точки пересечения.

Как показать что точка принадлежит прямой. 0 14c3d7 3ca91254 orig. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-0 14c3d7 3ca91254 orig. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка 0 14c3d7 3ca91254 orig.Прямые m и n не имеют общих точек.

Источник

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.

Как показать что точка принадлежит прямой. image loader. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-image loader. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка image loader.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Как показать что точка принадлежит прямой. image loader. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-image loader. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка image loader.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Как показать что точка принадлежит прямой. image loader. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-image loader. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка image loader.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Как показать что точка принадлежит прямой. image loader. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-image loader. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка image loader.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

Как показать что точка принадлежит прямой. image loader. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-image loader. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка image loader.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Как показать что точка принадлежит прямой. image loader. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-image loader. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка image loader.

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

Как показать что точка принадлежит прямой. image loader. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-image loader. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка image loader.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.
Как показать что точка принадлежит прямой. image loader. Как показать что точка принадлежит прямой фото. Как показать что точка принадлежит прямой-image loader. картинка Как показать что точка принадлежит прямой. картинка image loader.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *