Как определить что треугольник тупоугольный

Тупоугольный треугольник

Как определить что треугольник тупоугольный. tupougolnyy treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-tupougolnyy treugolnik. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка tupougolnyy treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный. tupougolnyy treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-tupougolnyy treugolnik. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка tupougolnyy treugolnik.

Всего получено оценок: 104.

Всего получено оценок: 104.

Тупоугольный треугольник мало чем отличается от обычных произвольных остроугольных треугольников, но тупой угол делает треугольник непривычным для восприятия. Это зачастую приводит в недоумение, поэтому стоит рассмотреть различные варианты решения задач на нахождение параметров тупоугольного треугольника.

Как определить что треугольник тупоугольный. haritonenko natalya vladimirovna 100. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-haritonenko natalya vladimirovna 100. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка haritonenko natalya vladimirovna 100.

Определения

Тупоугольным треугольником будет называться любой треугольник, содержащий тупой угол. Тупоугольный треугольник может быть равнобедренным, но при этом не может быть равносторонним или прямоугольным. Собственно на этом свойства этой фигуры заканчиваются. В остальном, это обычный треугольник и подход к решению таких фигур ничем не отличается.

Как определить что треугольник тупоугольный. geometriya 54564 tupougolnyy treugolnik url. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-geometriya 54564 tupougolnyy treugolnik url. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка geometriya 54564 tupougolnyy treugolnik url.Рис. 1. Тупоугольный треугольник.

В треугольнике сумма углов равна 180 градусам, поэтому только один угол треугольника может быть тупым, два других при этом всегда острые. Площадь тупоугольного треугольника находится так же, как площадь произвольного треугольника.

Только в тупоугольном треугольнике высота может лежать за пределами треугольника.

Рассмотрим несколько интересных задач на нахождение данных в тупоугольном треугольнике.

Пример решения задачи

Для решения любой задачи можно найти несколько способов. В данной ситуации можно пойти через площадь треугольников, достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного или воспользоваться теоремой косинусов. Каждый из способов дает представление о том, как можно решать задачи с тупоугольным треугольником. Воспользуемся каждым из них.

Ответ в каждом случае должен быть одинаков. Но если округлять неточные ответы, то в одной задаче при одинаковых решениях можно получить разные величины. Будьте внимательны, результат не должен отличаться больше, чем на 1.

Теперь запишем две формулы площади, выразим через них высоту и найдем ее значение.

Тогда синус, как и в первом способе, выразим через основное тригонометрическое тождество.

$$\sqrt<13+4+8>=\sqrt<25>=5$$ – по теореме косинусов.

Значение синуса угла АВС определим по основному тригонометрическому тождеству.

Выразим искомый синус угла АСВ.

Выразим из треугольника АМС и найденного значения синуса сторону АМ.

Ответы всех трех способов совпали, а, значит, задача решена верно.

Как определить что треугольник тупоугольный. lazyimg. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-lazyimg. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка lazyimg.

Что мы узнали?

Источник

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.

Как определить что треугольник тупоугольный. tablitsa mendeleeva. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-tablitsa mendeleeva. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка tablitsa mendeleeva.Как определить что треугольник тупоугольный. e%60konomika. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-e%60konomika. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка e%60konomika.Как определить что треугольник тупоугольный. zoloto. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-zoloto. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка zoloto.Как определить что треугольник тупоугольный. serebro. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-serebro. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка serebro.Как определить что треугольник тупоугольный. USDAUD. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-USDAUD. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка USDAUD.Как определить что треугольник тупоугольный. USDCHF. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-USDCHF. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка USDCHF.Как определить что треугольник тупоугольный. USDGBP. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-USDGBP. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка USDGBP.Как определить что треугольник тупоугольный. USDCAD. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-USDCAD. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка USDCAD.Как определить что треугольник тупоугольный. USDJPY. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-USDJPY. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка USDJPY.Как определить что треугольник тупоугольный. Brent i WTI. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Brent i WTI. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Brent i WTI.Как определить что треугольник тупоугольный. zakazat statyu 1. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-zakazat statyu 1. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка zakazat statyu 1.Как определить что треугольник тупоугольный. razmestit statyu 1. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-razmestit statyu 1. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка razmestit statyu 1.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.

Тупоугольный треугольник (понятие и определение):

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

Как определить что треугольник тупоугольный. Ris 1 2. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Ris 1 2. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Ris 1 2.

Рис. 1. Тупоугольный треугольник

BАC– тупой угол треугольника,

Как определить что треугольник тупоугольный. Ris 2. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Ris 2. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Ris 2.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника,

Как определить что треугольник тупоугольный. Risunok 7. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Risunok 7. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Risunok 7.

Рис. 3. Прямоугольный треугольник

Как определить что треугольник тупоугольный. Ris 14. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Ris 14. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Ris 14.

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,

Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.

Элементы тупоугольного треугольника:

Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.

Как определить что треугольник тупоугольный. Ris 15. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Ris 15. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Ris 15.

Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол

Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.

Как определить что треугольник тупоугольный. Ris 16. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Ris 16. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Ris 16.

Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника

MA – медиана тупоугольного треугольника

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Как определить что треугольник тупоугольный. Ris 17. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Ris 17. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Ris 17.

Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника

MС – высота тупоугольного треугольника

Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.

Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.

Как определить что треугольник тупоугольный. Ris 18. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Ris 18. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Ris 18.

Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника

MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника

Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Свойства тупоугольного треугольника:

Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Как определить что треугольник тупоугольный. Ris 19. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Ris 19. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Ris 19.

Рис. 9. Тупоугольный треугольник

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Как определить что треугольник тупоугольный. Ris 14. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-Ris 14. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка Ris 14.

Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами

3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.

4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

Источник

Математика. 3 класс

Конспект урока

Виды треугольников по видам углов. Закрепление изученного материала

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Какие виды треугольников различают по видам углов?

Как различать треугольники: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный?

Геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.
Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Виды треугольников по величине углов

Как определить что треугольник тупоугольный. 731454ef 5d29 43fd 97d1 45afbf181fe4. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-731454ef 5d29 43fd 97d1 45afbf181fe4. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка 731454ef 5d29 43fd 97d1 45afbf181fe4.

Остроугольный треугольник – это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

Как определить что треугольник тупоугольный. d2a17024 40e8 4753 b0f4 928ebcdb51d8. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-d2a17024 40e8 4753 b0f4 928ebcdb51d8. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка d2a17024 40e8 4753 b0f4 928ebcdb51d8.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой, т.е. 90º.

Как определить что треугольник тупоугольный. ba0d3de2 16a6 472b b1eb 9fa3375bbb78. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-ba0d3de2 16a6 472b b1eb 9fa3375bbb78. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка ba0d3de2 16a6 472b b1eb 9fa3375bbb78.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

Основная и дополнительная литература:

1. Моро М. И. Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. М. «Просвещение» — 2017. С. 85-87.

2. Волкова С. И. математика. Тесты. 3 кл. – М.: Просвещение, 2018. С. 60-67.

3. Рудницкая В. Н. Математика. Дидактические материалы. ч.1 3 кл. – М. «Вентана- Граф», 2016, с. 47-53.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как определить что треугольник тупоугольный. 38c41289 64c2 4d55 aa80 9186de2fb5f0. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-38c41289 64c2 4d55 aa80 9186de2fb5f0. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка 38c41289 64c2 4d55 aa80 9186de2fb5f0.

Давайте вспомним, что вы уже знаете о видах треугольников.

По длине сторон различают: разносторонние, равнобедренные и равносторонние треугольники.

Но было бы несправедливо разделить все треугольники на 3 вида по длине сторон. Ведь у каждого есть ещё и по три угла.

У вас уже появились идеи?

Острые – меньше прямого

Прямые – угол 90 градусов

Тупые – больше прямого

Как определить что треугольник тупоугольный. 5961aaf0 0dc0 4cc6 b0bb 7b1c7dcce935. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-5961aaf0 0dc0 4cc6 b0bb 7b1c7dcce935. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка 5961aaf0 0dc0 4cc6 b0bb 7b1c7dcce935.

Оказывается, по величине углов все треугольники тоже можно разделить на 3 вида:

те, у которых все углы острые, – остроугольные,

те, у которых есть прямой угол, – прямоугольные,

те, у которых есть тупой угол, – тупоугольные.

Для того чтобы безошибочно определить вид треугольника по величине углов, необходимо измерить все три угла при помощи транспортира.

Обычно вид треугольника можно определить на глаз.

Попробуйте определить виды треугольников по величине углов без измерений.

Как определить что треугольник тупоугольный. cca7c700 cd31 4cfc 8dcd 59a405293574. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-cca7c700 cd31 4cfc 8dcd 59a405293574. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка cca7c700 cd31 4cfc 8dcd 59a405293574.

тупоугольный– 2, 4, 7, 5

По величине углов различают 3 вида треугольников:

Остроугольные, прямоугольные и тупоугольные

Как определить что треугольник тупоугольный. 8133d924 ae85 4b5b a42e ed01e13e0f55. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-8133d924 ae85 4b5b a42e ed01e13e0f55. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка 8133d924 ae85 4b5b a42e ed01e13e0f55.

Определить вид треугольника можно тремя способами:

с помощью измерений, на глаз и по условным обозначениям.

Как определить что треугольник тупоугольный. f15c44f9 ea88 444f 9a12 074a1600dcd0. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-f15c44f9 ea88 444f 9a12 074a1600dcd0. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка f15c44f9 ea88 444f 9a12 074a1600dcd0.Теперь вы можете различать виды треугольников по сторонам и по углам. Эти знания необходимы в геометрии.

Задания тренировочного модуля

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого ……………………

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть ……………………

Тупоугольный треугольник – треугольник, все стороны которого есть ……………………

Правильные варианты ответов:

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы острые.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол.

Тупоугольный треугольник — треугольник, все стороны которого есть тупой угол.

Определите вид треугольника по величине углов и выпишите номера треугольников по порядку:

Источник

Треугольник

Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Типы треугольников

Как определить что треугольник тупоугольный. tipy treugolnikov. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-tipy treugolnikov. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка tipy treugolnikov.

По величине углов

Остроугольный треугольник

Как определить что треугольник тупоугольный. ostrougolny treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-ostrougolny treugolnik. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка ostrougolny treugolnik.

— все углы треугольника острые.

Тупоугольный треугольник

Как определить что треугольник тупоугольный. tupougolny treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-tupougolny treugolnik. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка tupougolny treugolnik.

— один из углов треугольника тупой (больше 90°).

Прямоугольный треугольник

Как определить что треугольник тупоугольный. pryamougolny treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-pryamougolny treugolnik. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка pryamougolny treugolnik.

— один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

Разносторонний треугольник

Как определить что треугольник тупоугольный. raznostoronny treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-raznostoronny treugolnik. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка raznostoronny treugolnik.

— все три стороны не равны.

Равнобедренный треугольник

Как определить что треугольник тупоугольный. ravnobedrenny treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-ravnobedrenny treugolnik. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка ravnobedrenny treugolnik.

Равносторонний (правильный) треугольник

Как определить что треугольник тупоугольный. ravnostoronny treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-ravnostoronny treugolnik. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка ravnostoronny treugolnik.

— все три стороны равны.

Вершины, углы и стороны треугольника

Как определить что треугольник тупоугольный. vershiny ugly i storony treugolnika. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-vershiny ugly i storony treugolnika. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка vershiny ugly i storony treugolnika.

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin α = b sin β = c sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α;
c = a cos β + b cos α;

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

Медианы треугольника

Медиана треугольника — отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Как определить что треугольник тупоугольный. mediany treugolnika. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-mediany treugolnika. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка mediany treugolnika.

Свойства медиан треугольника

S ∆AOF = S ∆AOE = S ∆BOF = S ∆BOD = S ∆COD = S ∆COE

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Как определить что треугольник тупоугольный. bissektrisy treugolnika. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-bissektrisy treugolnika. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка bissektrisy treugolnika.

Свойства биссектрис треугольника

Угол между l c и l c ‘ = 90°

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника.

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол

l a = 2 b c cos α 2 b + c

l b = 2 a c cos β 2 a + c

l c = 2 a b cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Как определить что треугольник тупоугольный. vysoty treugolnika. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-vysoty treugolnika. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка vysoty treugolnika.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться:

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол

h a = b sin γ = c sin β

h b = c sin α = a sin γ

h c = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Как определить что треугольник тупоугольный. okruzhnost vpisannaya v treugolnik. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-okruzhnost vpisannaya v treugolnik. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка okruzhnost vpisannaya v treugolnik.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности

Окружность описанная вокруг треугольника

Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Как определить что треугольник тупоугольный. okruzhnost opisannaya vokrug treugolnika. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-okruzhnost opisannaya vokrug treugolnika. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка okruzhnost opisannaya vokrug treugolnika.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов)

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Как определить что треугольник тупоугольный. svyaz mezhdu vpisannoy i opisannoy okruzhnostyami treugolnika. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-svyaz mezhdu vpisannoy i opisannoy okruzhnostyami treugolnika. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка svyaz mezhdu vpisannoy i opisannoy okruzhnostyami treugolnika.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то

Радиус описанной окружности через площадь и три угла

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Как определить что треугольник тупоугольный. srednyaya liniya treugolnika. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-srednyaya liniya treugolnika. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка srednyaya liniya treugolnika.

Свойства средней линии треугольника

Признаки

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Как определить что треугольник тупоугольный. perimetr treugolnika 2. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-perimetr treugolnika 2. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка perimetr treugolnika 2.

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

Формулы площади треугольника

Как определить что треугольник тупоугольный. formuly ploshchadi treugolnika. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-formuly ploshchadi treugolnika. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка formuly ploshchadi treugolnika.

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Как определить что треугольник тупоугольный. formula ploshchadi treugolnika po storone i vysote. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-formula ploshchadi treugolnika po storone i vysote. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка formula ploshchadi treugolnika po storone i vysote.

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a, b, c — стороны треугольника,
ha, hb, hc — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Как определить что треугольник тупоугольный. formula ploshchadi treugolnika po trem storonam. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-formula ploshchadi treugolnika po trem storonam. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка formula ploshchadi treugolnika po trem storonam.

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Как определить что треугольник тупоугольный. formula ploshchadi treugolnika po dvum storonam i uglu mezhdu nimi. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-formula ploshchadi treugolnika po dvum storonam i uglu mezhdu nimi. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка formula ploshchadi treugolnika po dvum storonam i uglu mezhdu nimi.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Как определить что треугольник тупоугольный. formula ploshchadi treugolnika po trem storonam i radiusu vpisannoy okruzhnosti. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-formula ploshchadi treugolnika po trem storonam i radiusu vpisannoy okruzhnosti. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка formula ploshchadi treugolnika po trem storonam i radiusu vpisannoy okruzhnosti.

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Равенство треугольников

Как определить что треугольник тупоугольный. ravenstvo treugolnikov. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-ravenstvo treugolnikov. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка ravenstvo treugolnikov.

Определение

Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства

У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Как определить что треугольник тупоугольный. podobiye treugolnikov. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-podobiye treugolnikov. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка podobiye treugolnikov.

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

где k — коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Свойства прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∡A — прямой, ∡B = 30°, и значит, что ∡C = 60°.

Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Источник

Виды треугольников

Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, разносторонними, равносторонними, равнобедренными.

Определение 1. Треугольник называется остроугольным, если все ее углы острые, т.е. меньше 90° (Рис.1).

Как определить что треугольник тупоугольный. img1. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-img1. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка img1.

Определение 2. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, т.е. больше 90° (Рис.2).

Как определить что треугольник тупоугольный. img2. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-img2. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка img2.

Если треугольник тупоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.

Определение 3. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, т.е. равен 90° (Рис.3).

Как определить что треугольник тупоугольный. img3. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-img3. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка img3.

Если треугольник прямоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.

Определение 4. Треугольник называется разносторонним, если длины всех сторон треугольника разные (Рис.4).

Как определить что треугольник тупоугольный. img4. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-img4. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка img4.

Определение 5. Треугольник называется равносторонним или правильным, если длины всех сторон равны (Рис.5).

Как определить что треугольник тупоугольный. img5. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-img5. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка img5.

Определение 6. Треугольник называется равнобедренным, если длины двух сторон равны (Рис.6).

Как определить что треугольник тупоугольный. img6. Как определить что треугольник тупоугольный фото. Как определить что треугольник тупоугольный-img6. картинка Как определить что треугольник тупоугольный. картинка img6.

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона называется основанием.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *