Как определить что функция непрерывна
Непрерывность функции и точки разрыва
п.1. Приращение аргумента и приращение функции
 | Пусть \(y=3x-1\) \(x_0=1,\ x=1,1 \) |
п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке
На «языке ε-δ» определение непрерывности будет следующим:
ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль \(|x-x_0|\) может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка \(x_0\) входит в δ-окрестность.
Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.
п.3. Непрерывность функции на промежутке
Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).
График непрерывной функции – это непрерывная линия.
Кроме непрерывности, эта линия еще и «плавная», без «заломов».
При наличии заломов функция называется кусочно-непрерывной.
 Непрерывная функция |
 Кусочно-непрерывная функция |
п.4. Односторонние пределы
Рассмотрим гиперболу \(y=\frac<1>
Теперь рассмотрим параболу \(y=x^2-2\)
Областью определения параболы является вся числовая прямая \(x\in\mathbb
Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.
п.5. Классификация точек разрыва
| Точки разрыва | 1-го рода Односторонние пределы существуют и конечны | Устранимые Односторонние пределы равны между собой, но не равны \(f(x_0)\) |
| Неустранимые (скачок) Односторонние пределы не равны между собой | ||
| 2-го рода Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует |
п.6. Точки разрыва первого рода
 | \(y= \begin Односторонние пределы: \begin |
п.7. Точки разрыва второго рода
В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.
 | \(y=e^\frac1x, x_0=0\) |
Точка \(x_0=0\) – точка разрыва второго рода.
На практике, при моделировании реальных процессов, разрывы 2-го рода в функциональных зависимостях встречаются довольно часто. Их положено заботливо анализировать и тщательно обходить, выбирая рабочие участки характеристических кривых, – чтобы «система не пошла в разнос».
п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность
На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.
п.9. Примеры
Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения
Содержание:
Непрерывность функций и точки разрыва
Непрерывность функции
Определение: Функция 
— предел функции в точке 
равен значению функции в исследуемой точке, т.е. 
Пример:
Найти область непрерывности функции 
Решение:
Данная функция непрерывна 
так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.
Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.
Точки разрыва
Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.
Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.
Пример:
Доказать, что функция 
в точке 
имеет разрыв первого рода.
Решение:
Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): 
Рис. 64. График функции 
Область определения функции: 
т.е. точка 
является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: 
Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.
Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).
Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.
Пример:
Доказать, что функция 
имеет в точке 
устранимый разрыв.
Решение:
В точке 
функция имеет неопределенность 
поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы 
убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.
Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.
Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы
один из односторонних пределов равен 
т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
Найдем область определения этой функции: 
т.е. точка
является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: 
Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
Найдем область определения этой функции: 
т.е. точка 
является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: 
Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.
Операции над непрерывными функциями
Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.
Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций 
которые определены в некоторой 
-окрестности точки 
в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции 
непрерывны в некоторой -окрестности точки 
то выполняются равенства: 
В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что 
Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.
Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.
Теорема: Частное двух непрерывных функций 
при условии, что во всех точках общей области определения функция 
, есть непрерывная функция.
Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.
Схема исследования функции на непрерывность
Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:
Рис. 65. Поведение графика функции 
в малой окрестности точки разрыва второго рода 
Из рисунка видно, что график функции 
—неограниченно приближается к вертикальной прямой 
нигде не пересекая эту прямую.
Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)
Свойства непрерывных функций на отрезке 
.
Определение: Замкнутый интервал 
будем называть сегментом.
Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте 
.
Теорема: Если функция 
непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего (
) и наибольшего (
) значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.
Пример:
Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).
Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.
Решение:
На графике а) функция достигает своего наименьшего 
и наибольшего 
значений на концах сегмента 
На графике б) функция достигает своего наименьшего 
и наибольшего значения 
во внутренних точках сегмента 
На графике в) функция достигает своего наименьшего значения 
на левом конце сегмента 
а наибольшего значения 
во внутренней точке сегмента 
Тб. Если функция 
непрерывна на сегменте 
и достигает своего наименьшего (
) и наибольшего (
) значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству 
, найдется хотя бы одна точка 
такая, что 
.
Пример:
Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67). 
Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.
Теорема: Если функция 
непрерывна на сегменте 
и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка 
такая, что
.
Пример:
Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).
Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.
На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Непрерывность функций с примерами решения и образцами выполнения
Непрерывность функции:
Непрерывные функции, точки разрыва и их классификация, действия над непрерывными функциями, свойства функций, непрерывных на сегменте.
Определение:
Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:
Если в точке x₀ функция непрерывна, то точка x₀ называется точкой непрерывности функции.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
в точке х = 1.
Решение:
Чтобы доказать, что функция непрерывна в точке х = 1, необходимо проверить выполнение трех следующих условий (определение непрерывности):
Таким образом, доказано, что функция непрерывна в точке х = 1.
Замечание:
Формулу (10.1) можно записать в виде
(10.2) 
так как 
. Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.
Введем понятие непрерывности функции в точке х₀ справа и слева.
Если, существует 
f(x) = f(x₀), то функция называется непрерывной в точке x₀ слева. Аналогично определяется непрерывность функции справа.
Так как ∆x = x-x₀, a ∆y = f(x)-(x₀), то условие (10.1) равносильно следующему:
Определение:
Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
(10.3) 
Пример:
Показать, что функция у = х³ непрерывна для любого значения аргумента х.
Решение:
Найдем приращение функции ∆y.
Используя теоремы о пределе суммы и произведения функции, получим
(3x²∆x 4- 3x∆x² + ∆x³) = 0.
Следовательно, функция у = х³ непрерывна при — ∞ Точки разрыва функции и их классификация
Определение:
Точка х₀ называется точкой разрыва функции у = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.
Так, например, функция 
(рис. 89) терпит разрыв при х = 1. Эта функция не определена в точке х = 1, и не существует предела функции в этой точке.
Рис. 89. График функции
Определение:
Точка разрыва x₀ функции у = f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существуют оба односторонних предела в точке x₀ и они равны, т. е. 
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию
Решение:
В точке x=-1 функция не определена, так как, выполнив подстановку, получаем неопределенность 
. В других точках дробь можно сократить на (1 + х), так как в них 1 + х ≠ 0. Легко видеть, что односторонние пределы слева и справа в точке х = — 1 равны между собой и их можно вычислить:
Определение:
Если в точке x₀ односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны, точка x₀ называется точкой разрыва I рода.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию
(рис. 90).
Рис. 90. График функции
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке ее разрыва х = 4.
Предел слева —
.
Предел справа — 
.
Пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка x = 4 для данной функции — точка разрыва I рода (точка скачка).
Определение:
Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.
В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Функция 
, представленная на рис. 89, не имеет ни левого, ни правого конечного предела в точке х = 1. Следовательно, для данной функции x = 1 является точкой разрыва II рода.
Действия над непрерывными функциями
Теорема:
Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Если функции ϕ(x) и ψ(x) непрерывны в точке Хо, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x₀. Если, кроме того, знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю, то частное непрерывных функций есть функция непрерывная.
Докажем непрерывность произведения.
Дано: непрерывность функций в точке x₀:
и 
Доказать, что f(x) — ϕ(x) ∙ ψ(x) есть функция непрерывная в точке x₀, т. е. 
f(x) — f(x₀).
Доказательство:
f(x) = [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x) = ϕ(x₀) ∙ ψ(x₀) = f(x₀).
Можно строго доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.
Например, степенная у = xⁿ, показательная у = 
, тригонометрические у = sin х и у = cos х функции непрерывны на всей числовой оси (х ∈ R), логарифмическая функция 
непрерывна при х > 0, а тригонометрическая у = tg x непрерывна в каждом из интервалов 
и терпит разрыв II рода в точках 
(k = 0; ±1; ±2;…).
Теорема:
Непрерывность сложной функции. Если функция и = ϕ(x) непрерывна в точке x₀, а функция у = f(u) непрерывна в точке и₀ = ϕ(x₀), то сложная функция у = f [ϕ(x)] непрерывна в точке x₀.
В заключение этого раздела рассмотрим два предела, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Пример:
Вычислить 
Решение:
Заметим, что при х → 0 числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Выполним преобразование
Так как данная логарифмическая функция непрерывна в окрестности точки х = 0, то можно перейти к пределу под знаком функции ( f(x)= f (x)).
но 
— второй замечательный предел.
Следовательно,
(10.4) 
В частности, при а = е
(10.5) 
Таким образом, у = ln( 1 + х) и у = х — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.
Пример:
Вычислить 
Решение:
Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив — 1 = t. Тогда 
. При х → 0 также и t → 0.
Так как на основании результата, полученного в предыдущем примере, 
то
(10.6) 
В частности, если а = е, имеем
т.е. у = 
— 1 и y = x — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.
Свойства функций, непрерывных на сегменте
Определение:
Функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], если она непрерывна во всех внутренних точках Этого сегмента, а на концах сегмента (в точках a и b) непрерывна соответственно справа и слева.
Теорема:
Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она достигает на этом сегменте своего наибольшего и(или) наименьшего значения.
Простым доказательством этой теоремы, является геометрическая иллюстрация функции у = f(x) на рисунке 91. Непрерывная на сегменте [α, b] функция достигает наименьшего своего значения в точке х = x₁= а, а наибольшего значения в точке х₂.
Рис. 91. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.3
Следствие:
Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.
Действительно, если по теореме 10.3 функция достигает на сегменте наибольшего M и наименьшего т значений, то имеет место неравенство m ≤ f(x) ≤ M для всех значений функции на рассматриваемом сегменте. Т. е. |f(x)| ≤ M и, следовательно, функция у = f(x) ограничена на сегменте [а, b].
Теорема:
Теорема Больцано-Коши. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] и на ее концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется, по крайней мере, одна тонка С, в которой функция равна нулю.
Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции у = f(x), соответствующие концам сегмента [a, b], лежат по разные стороны от оси ОХ, то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось OX. На данном рисунке 92 это три точки x₁, x₂, x₃.
Рис. 92. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.4
Теорема:
О промежуточных значениях функции. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [α, b] и f(α) = A и f(b) = В, то для любого числа С, заключенного между A и B, найдется внутри этого сегмента такая точка с, что f(c) = С.
Из графика на рисунке 93 видно, что непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.
Рис. 93. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.5
Теорема:
О непрерывности обратной функции.) Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] в возрастает (убывает) на этом сегменте, то обратная функция х = f⁻¹(y) на соответствующем сегменте оси OY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.
Эту теорему мы принимаем без доказательства.
Решение на тему: Непрерывная функция
Пример:
Показать, что функция у = 4x² непрерывна в точке х = 2.
Решение:
Для этого необходимо показать, что в точке х = 2 выполняется все три условия непрерывности функции:
1) функция у = 4х² определена в точке х = 2 ⇒ f(2) = 16;
2) существует 
f(x) = 4x²= 16;
3) этот предел равен значению функции в точке х = 2
f(x) = f(2) = 16.
Пример:
Показать, что функция у = sin x непрерывна для любого значения аргумента х.
Решение:
Найдем приращение функции ∆y, используя формулы тригонометрических тождеств
Так как 
то при любом х имеем
Эта функция (рис. 94) определена во всех точках сегмента [0,4] и ее значение при х = 3 ⇒ у = 2. Функция терпит разрыв, так как она не имеет предела при х → 3 :
Следовательно, точка х = 3, точка разрыва первого рода. При этом в граничных точках исследуемого сегмента [0,4], функция f(x) непрерывна справа (х = 0) и непрерывна слева (х = 4).
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
В точке х = 5 функция не определена, т.к., выполнив подстановку, получаем неопределенность вида 0/0. Легко доказать, что
Следовательно, точка х = 5 точка устранимого разрыва.
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
В точке х = 0 функция (рис. 95) терпит разрыв, так как она не определена в этой точке. Пределы функции слева и справа от точки х = 0 равны ∞. Следовательно, точка х = 0 для данной функции является точкой разрыва второго
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
В точке х = 0 функция терпит разрыв 1-го рода, так как односторонние пределы существуют в этой точке, но не равны:
предел слева 
предел справа 
Рис. 95. График функции
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
.
Решение:
Рис. 96. График функции
Пример:
Исследовать на непрерывность функцию 
Решение:
Функция 
не определена в точке х = 0. Точка х = 0 является точкой разрыва I рода, так как при х → 0 существуют пределы справа и слева:
Если доопределить функцию в точке х = 0, полагая f(0) = 1, то получим уже непрерывную функцию, определенную так:
f(х) =, если х ≠ 0; f(0) = 1.
Доопределив функцию в точке х = 0, мы устранили разрыв.
Непрерывность функций
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института