Как определить что число делится на 3

Признак делимости на 3, примеры, доказательство.

Навигация по странице.

Признак делимости на 3, примеры

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Доказательство признака делимости на 3

Свойства сложения натуральных чисел и свойства умножения натуральных чисел позволяют полученное равенство переписать так:

Для a=0 теорема очевидна.

Другие случаи делимости на 3

Иногда реализовать такой подход позволяет бином Ньютона. Рассмотрим решение примера.

Очевидно равенство . Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Во многих случаях доказать делимость на 3 позволяет метод математической индукции. Разберем его применение при решении примера.

Для доказательства применим метод математической индукции.

Проведем некоторые преобразования:

В заключение приведем решение еще одного примера.

Источник

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

Источник

Признак делимости на 3: примеры, доказательство

Решение

Существуют задачи, для решения которых прибегать в признаку делимости на 3 необходимо несколько раз.

Решение

Решение

Доказательство признака делимости на 3

Так мы пришли к равенству:

А теперь применим свойства сложения и свойства умножения натуральных чисел для того, чтобы переписать полученное равенство следующим образом:

Теперь вспомним следующие свойства делимости:

Другие случаи делимости на 3

Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:

В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.

Решение

Ответ: Да.

Также мы можем применить метод математической индукции.

Решение

k + 1 · k + 1 2 + 5 = = ( k + 1 ) · ( k 2 + 2 k + 6 ) = = k · ( k 2 + 2 k + 6 ) + k 2 + 2 k + 6 = = k · ( k 2 + 5 + 2 k + 1 ) + k 2 + 2 k + 6 = = k · ( k 2 + 5 ) + k · 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k · ( k 2 + 5 ) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k · ( k 2 + 5 ) + 3 · k 2 + k + 2

Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера.

Решение

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = ( 3 m + 1 ) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · ( 2 m 2 + 2 m + 2 )

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

Решение

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Источник

Урок 3 Бесплатно Признаки делимости на 9 и на 3

В этом уроке мы познакомимся с признаками делимости на 3 и на 9, узнаем, как по внешнему виду определить, делится ли ваше число на каждое из них.

Признаки делимости на 3 и на 9 облегчают решение задач, особенно на олимпиадах и при решении экзаменационных задач в 9 и 11 классах.

Такие полезные факты сокращают время решения заданий и легко запоминаются.

Признак делимости на 3

Пусть у нас есть 153 конфеты. Нужно раздать их троим детям поровну, используя только признак делимости.

Число 153 можно разложить на 1 сотню, 5 десятков и 3 единицы.

Разделим сначала нашу сотню конфет. Каждый ребенок получит по 33 конфеты, и в остатке одна.

Теперь разделим один десяток конфет на троих. Имеем по 3 конфеты у каждого, и одна в остатке. Значит, для наших пяти десятков каждому ребёнку по 15 (3•5) конфет, и в остатке 5 (1•5) конфет.

Мы не смогли разделить 1 конфету из сотен, 5 конфет из десятков. То есть в сумме получим 1 + 5 = 6 конфет, которые можно разделить по 2 конфеты каждому.

В итоге каждому ребёнку получится по 33 + 15 + 1 + 2 = 51 конфете.

Мы на примере посмотрели, как используется признак делимости на 3.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Пример 1

Выберите среди чисел 75432, 2772825, 5402070 те, которые делятся на 3.

Решение:

По признаку делимости на 3 нужно найти сумму цифр каждого числа и дальше работать с нею.

Для первого: 7 + 5+ 4+ 3+ 2 = 21,а 21 : 3 = 7, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Для второго: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33, а 33 : 3 = 11, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Для третьего: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 18, а 18 : 3 = 6, то есть сумма цифр делится на 3, значит, и наше число делится на 3

Пример 2

Замените звёздочки в числах 2*5, 31*, *15, на необходимые цифры, чтобы эти числа стали делиться на 3.

Решение:

Возьмем первое число 2*5. Из признака делимости мы знаем, что нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Значит, 2 + 5 + * должно делиться на 3.

Сумма известных цифр равна 8, значит, вместо звездочки можно взять, например, 1.

Тогда сумма станет 9, и она делится на 3, значит, и получившееся число 215 будет делиться на 3.

Кроме единицы подходят цифры: 4, 7, так как они отличаются от 1 на 3 и 6 каждая.

Возьмем второе число 31*. Сумма первых цифр равна 4, значит, вместо звездочки минимум надо брать 2, чтоб в сумме было 6.

Тогда сумма цифр будет делиться на 3 и само число, 312, будет делиться тоже.

Кроме двойки брать можно и другие цифры, прибавляя по 3: 5 или 8.

Получившиеся числа 315 или 318 будут делиться на 3.

Получившиеся числа 315, 615, 915 будут делиться на 3 без остатка.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Из признака делимости на 3 можно получить интересный признак делимости на 6

Чтобы ваше число делилось на 6, нужно чтоб оно делилось на 2 и на 3 одновременно.

Пример

Делится ли 216 на 6?

Решение:

216— это чётное число, значит, оно делится на 2.

Сумма цифр числа 216 равна 2 + 1+ 6 = 9, значит, оно делится на 3.

Отсюда, делаем вывод, что 216 делится на 6.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Признак делимости на 9

Разделим 729 ручек поровну на 9 учеников, не вычисляя, а только применяя признаки делимости суммы и произведения.

В числе 729 содержится 7 сотен, 2 десятка и 9 единиц.

Если делить поровну на 9 учеников одну сотню ручек, то каждый получит по 11 ручек и 1 ручка останется. Значит, на семь сотен по 77 ручек каждому, и 7 останется.

Если делить поровну на 9 учеников один десяток ручек, то каждый получит по 1 ручке и 1 ручка останется. А от 2 десятков каждый получит по 2 (1•2) ручки, и останется 2 ручки.

Если делить поровну на 9 учеников количество ручек в единицах, то все получат по одной ручке.

Неразделёнными останутся 7 ручек от сотен, 2 ручки от десятков. Всего неразделёнными остались 7 + 2 = 9 ручек, которые делятся поровну на 9 детей.

Ещё по 1 ручке каждому, поэтому каждый получит по 77 + 2 + 1 + 1 = 81 ручке.

Значит, число 729 делится без остатка на 9, а 7 + 2— это сумма, делящаяся на сумму цифр этого числа, без остатка.

Мы рассмотрели пример того, как работает признак делимости на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Пример 1

В каждом стойле коровника 9 коров. Может ли быть, что всего в коровнике 136 коров? 873 коровы?

Решение:

Используем признак делимости на 9 при решении задачи.

Для первого числа сумма цифр 1 + 3 + 6 = 10, значит, число не делится на 9, так как сумма цифр не делится на 9.

136 коров не может быть в коровнике.

Для второго числа сумма цифр 8 + 7 + 3 = 18, делится на 9. Значит, и 873 делится на 9.

873 коровы могут быть в коровнике.

Пример 2

Какие цифры вместо звездочек нужно поставить в числа 34*, *75, чтобы получившиеся числа делилась на 9?

Решение:

Для первого числа 34* сумма первых двух цифр равна 3 + 4 = 7

Нужно взять такую цифру, чтобы сумма делилась на 9, например, возьмём 2

7 + 2 = 9, значит, получившееся число 342 делится на 9 без остатка

Кроме двойки другие цифры взять не получится, ведь нужно либо прибавлять к двойке 9, либо отнимать от нее 9. Всегда будет получаться число, а не цифра.

Для второго числа *75 сумма последних двух цифр равна 7 + 5 = 12

Аналогично предыдущему, подбираем цифру, чтобы получившаяся сумма делилась на 9

Такой цифрой будет 6, число получится 675

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Из признака делимости на 9 можно получить признак делимости на 99.

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, число 12573 делится на 99, так как на 99 делится сумма 73 + 25 + 1 = 99

Мы брали с конца по две цифры, а для единицы пары не нашлось, поэтому прибавляем ее как есть.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Существует множество признаков делимости, которые изучают в школе или не изучают вообще.

Некоторые из них сложны, некоторые очень просты.

Мы разберем с вами еще пару признаков, которые часто нужны, чтобы решать задачки на олимпиадах по математике. Это признаки делимости на 7 и на 11

Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7.

Например, 154.

В нём 15 десятков и 4 единицы. 154 делится на 7, так как на 7 делится \(\mathbf<15\cdot3+4=49>\)

Или, 1001.

В нем 100 десятков и 1 единица. 1001 делится на 7, так как на 7 делятся

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10 + 37 + 85 = 132 и 01 + 32 = 33

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Признаки делимости чисел

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Источник