Как используя теоретико множественный подход к числу объяснить что 4 равно 4

Задания для самостоятельного выполнения

Практическое занятие 2

Теоретико-множественный смысл целых неотрицательных чисел

Ознакомиться с решениями типовых задач.

Решить задания для самостоятельного решения.

Документ word прикрепить в moodle

Типовые задачи

1. Поясните, почему задача решается сложением.

Катя нашла 3 гриба, а Саша – 4. Сколько всего грибов нашли девочки?

Решение. В задаче рассматриваются три множества. Множество А – множество грибов, которые нашла Катя, n( A) = 3. Множество В – множество грибов, которые нашла Саша, n( B) = 4. Множество С = A È B – множество грибов, которые нашли девочки. Мощность множества С, n( A È B) = 3+4 по определению. Поэтому задача решается сложением.

2. Объясните тремя способами, почему 3

а) В магазине было 36 мешков картофеля. Продали 21 мешок картофеля. Сколько мешков картофеля осталось?

Решение. В задаче рассматриваются три множества. А – множество мешков картофеля, которые были в магазине, n( A) = 36. В – множество мешков картофеля, которые продали, n( B) = 21. С – множество мешков картофеля, которые остались, то есть С = A\ B, n (A\B) = 36 – 21, по определению. Значит, задача решается вычитанием.

б) На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?

Решение. В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. п(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что во множестве В элементов столько же, сколько их в А и еще 2 элемента. Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: п(В) = п(В) + п(В\В ₁) = 5 + 2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек.

в) На столе 5 чашек, а ложек на 2 меньше. Сколько на столе ложек

Решение. В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, n (А)= 5. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, но без двух. Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, но без двух. Таким образом, п(В) = n( A₁) = n( A) – п(А\А ₁) = 5 – 2. Так как 5 – 2 = 3, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 3 ложки.

4. Поясните, почему задача решается умножением.

На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Сколько берез растет на участке?

5. Поясните, почему задача решается делением.

1. В коробке 12 карандашей, их надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится?

Решение. Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. По определению частного его можно найти при помощи деления – 12:3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи – понадобится 4 коробки.

2. 12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?

Решение. В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равномощных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. По определению частного это число можно найти при помощи деления – 12 : 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: в каждой коробке по 4 карандаша.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Почему на уроке, где изучается число «четыре», можно использовать картинку с изображением четырех яблок, четырех тетрадей, а можно воспользоваться и другими примерами четырехэлементных множеств?

2. Какой подход к определению отношения «меньше» используется при ознакомлении младших школьников с неравенством 3

Дата добавления: 2021-03-18 ; просмотров: 771 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Задача №1

Определение суммы, ее существование и единственность. Законы сложения

Объясните с теоретико-множественных позиций смысл равенств 2+4=6, 0+4=4.

1.Теоретико-множественный смысл натурального числа:

Натуральное число а как характеристика количества – это:

1) число элементов в множестве А, получаемое при счете, т. е. а = п (А), причем А равномощно отрезку натурального ряда чисел Nа;

2) общее свойство класса конечных равномощных множеств.

2.Теоретико-множественный смысл нуля:

Нуль с теоретико-множественных позиций – это число элементов пустого множества, т. е

3.Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел:

Суммой натуральных чисел a и b (с теоретико-множественных позиций) называют число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств A и B таких, что

а + b = n (A) +n(B) = n (AB), если АВ = ∅

4. Теоретико-множественный смысл суммы нуля и натурального числа:

Определение разности, ее существование и единственность. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа

Вариант 2. Составьте два простейших уравнения, в которых неизвестны слагаемое, уменьшаемое или вычитаемое. Причем первое уравнение должно иметь решение во множестве целых неотрицательных чисел, а второе – нет.

Число а – в называется разностью, а – уменьшаемым, в – вычитаемым.

2. Условие существования разности. Разность натуральных чисел а – в существует тогда и только тогда, когда в ˂ а.

1) Уравнения, в которых неизвестны слагаемые:

х + 12 = 20. Корень уравнения: х = 8.

2) Уравнения, в которых неизвестно уменьшаемое:

х – 5 = 7. Корень уравнения: х = 12.

х – 3 = 45. Корень уравнения: х = 48.

Уравнения такого вида будут иметь решение всегда, т. к. неизвестный компонент находится сложением, которое во множестве Z0 выполнимо всегда.

3) Уравнения, в которых неизвестно вычитаемое:

12 – х = 4.Корень уравнения: х = 8.

Определение произведения, его существование и единственность. Законы умножения. Определение произведения через сумму.

Вариант 3. Может ли произведение двух целых неотрицательных чисел быть равным одному из них; каждому из них; нулю; единице?

1.Множество целых неотрицательных чисел Z0 – это множество, полученное

объединением множества натуральных чисел N с множеством, состоящим из одного элемента 0: N <0>= Z0

Z0 =

2.Определение произведения: Если a и b – целые неотрицательные числа, то произведением а∙b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) Произведение двух целых неотрицательных чисел может быть равным одному из них в двух случаях:

§ если один из множителей равен 1. Согласно второму условию определения произведения целых неотрицательных чисел, а∙b = а, если b= 1.

Примеры: 7 ∙ 1 = 7, 4563 ∙ 1 = 4563.

§ если один из множителей равен 0. Согласно второму условию определения произведения целых неотрицательных чисел, а∙b = 0, если b= 0.

Примеры: 7 ∙ 0 = 0, 4563 ∙ 0 = 0.

2) Произведение двух целых неотрицательных чисел может быть равным каждому из них в двух случаях, когда оба множителя равны 1 или оба множителя равны 0: Примеры. 1 ∙ 1 = 1 и 0 ∙ 0 = 0.

3) Произведение двух целых неотрицательных чисел может быть равным нулю, если один из множителей равен 0. Согласно третьему условию определения произведения целых неотрицательных чисел, а∙b = 0, если b= 0.

Примеры: 7 ∙ 0 = 0, 4563 ∙ 0 = 0.

4) Произведение двух целых неотрицательных чисел может быть равным единице, если оба множителя равны 1: 1 ∙ 1 = 1.

Определение частного целого неотрицательного числа на на­туральное, его существование и единственность. Теоретико-мно­жественный смысл правил деления суммы и произведения на число.

Вариант 4. Объясните выбор операции при решении задач. «Шесть кусков сахара разложили в стаканы с чаем, по 2 куска в каждый. На сколько стаканов хватило сахара?» «10 тетрадей раздали пяти ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик?»

Данные задачи решаются с помощью деления. Различают деление по содержанию и деление на равные части.

Если a = п (А) и множество разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b – число элементов в каждом подмножестве, то частное а:b – число таких подмножеств (деление по содержанию);

1. Задача. Шесть кусков сахара разложили в стаканы с чаем, по 2 куска в каждый. На сколько стаканов хватило сахара?

Это задача на деление по содержанию. В ней рассматривается множество, в котором 6 элементов. Оно разбивается на подмножества по 2 элемента в каждом. Требуется узнать число таких подмножеств. Это число находится при помощи деления. 6 кусков разделим по 2 куска. Математической моделью задачи является частное 6:2. Вычислив значение выражения, найдем ответ: сахара хватило на 3 стакана.

2. Задача. 10 тетрадей раздали пяти ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик?

Это задача на деление на равные части. В ней рассматривается множество, в котором 10 элементов. Множество разбивается на 5 равночисленных подмножеств. Требуется узнать число элементов в каждом подмножестве. Это число находится при помощи деления. 10 тетрадей разделим поровну на 5 частей. Математической моделью задачи является выражение 10:5. Вычислив значение частного, найдем ответ: каждый ученик получил 2 тетради.

Отношения «больше», «меньше», «меньше или равно» и их свойства

Вариант 5. Докажите, что для целых неотрицательных чисел а и с справедливо неравенство а + с ³ а.

1. Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел:

Суммой натуральных чисел a и b (с теоретико-множественных позиций) называют число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств A и B таких, что

а + b = n (A) +n(B) = n (AB), если АВ = ∅ (пустому множеству).

2. Теоретико-множественный смысл суммы нуля и натурального числа:

3. Определение отношения «меньше». Число а меньше числа b (а ˂ b) тогда и только тогда, когда существует натуральное число с, такое что а + с = b. Эти же условия говорят, что число b больше а, т. е. b ˃ а.

Пусть а, с.

Рассмотрим два случая: с = 0 и с ≠ 0.

1) с = 0. Тогда по определению суммы натурального числа и нуля: а + 0 = а.

Если а = 0, то 0 + 0 = 0.

Получили, при с = 0 выполняется равенство: а + с = а.

2) с ≠ 0, тогда с и а + с = b.

Согласно определению отношения «больше», если а + с = b, то b ˃ а или а + с ˃ а.

Получили, при с ≠ 0 выполняется неравенство: а + с ˃ а.

Из полученных выводов: а + с = а и а + с ˃ а заключаем: а + с ³ а. Что и требовалось доказать.

Аксиомы Пеано. Определение целого неотрицательного чис­ла.

Вариант 6. Дано множество А=<◘, ◙, ☺, ☻, ☼, ♀, ♂, ♠, ♣, ♥, ♦, ♪,…>, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Сравните следующие натуральные числа

1. Определение отношения «больше» («меньше»). Число а больше числа b (а ˃ b) тогда и только тогда, когда существует натуральное число с, такое что а = b + с. При этих же условиях говорят, что b меньше а (b ˂ а).

2. Система аксиом Пеано.

1) В качестве основного понятия в системе аксиом Пеано взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на N.

2) Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а’.

3) Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрыта в аксиомах:

А.1. Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Его называю единицей и обозначают 1.

А.2. Для каждого элемента а из множества N существует единственный элемент а’, непосредственно следующий за а.

А.3. Для каждого элемента а из множества N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

А.4. Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами:

1) 1 М

2) из того, что а содержится в М, следует, что и а’ содержится в М, совпадает с множеством N.

1) ☺ ˂ ☻, т. к. ☺ является предшествующим для ☻, т. е. ☻ = ☺+ 1. Нашлось натуральное число 1, что равенство ☻ = ☺+ 1 верно, тогда ☺ ˂ ☻.

Определение целого неотрицательного чис­ла, сложение и вычитание целых неотрицательных чисел с точки зрения аксиоматического подхода.

Вариант 7. Докажите, что для любого целого неотрицательного числа а верны равенства:

1) Определение сложения:

Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

1)

2)

2) Теоремы о сложении в аксиоматической теории натуральных чисел:

1) Сложение натуральных чисел существует и единственно.

2) Свойство ассоциативности сложения:

3) Свойство коммутативности сложения:

4) Об отсутствии нейтрального элемента (нуля) для операции сложения во множестве натуральных чисел: b

1. Объединим множество натуральных чисел с множеством, состоящим из одного элемента 0: N <0>= Z0 (целых неотрицательных чисел).

Запишем полученное множество: Z0 =

2. Рассмотрим, выполняются ли аксиомы Пеано на этом множестве.

1) Элементом, непосредственно не следующим ни за каким элементом этого множества является число 0. Аксиома 1 выполняется. Роль 1 выполняет 0.

2) Для элемента 0 существует единственный элемент 1, следующий за ним. Для элемента 1 – единственный следующий за ним элемент 2, для 2 – 3 и т. д. Аксиома 2 выполняется.

3) Для каждого элемента существует не более 1 элемента, за которым он непосредственно следует. Предшествующим для элемента 3 является единственный элемент 2, для 2 – единственный элемент 1, для 1 – единственный элемент 0. Для элемента 0 предшествующих элементов нет, что соответствует условию не более 1, (1 элемент или 0 элементов). Аксиома 3 выполняется.

4) Составим подмножество М из данного с выполнением условий: 1) 1 М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а’ содержится в М:

Включаем в подмножество элемент 1, т. е. 0, следовательно, по условию 2 в это подмножество входит элемент 1, как следующий за ним. Наличие элемента 1 влечет, по условию 2, включение в подмножество элемента 2. И т. д. Получили подмножество М, состоящее из элементов 0, 1, 2, 3, …, т. е М совпадает с данным Z0. Аксиома 4 выполняется.

Вывод. Множество Z0 является моделью множества чисел, удовлетворяющей аксиомам Пеано.

При а для множества Z0 выполняется в силу того, что для натуральных чисел выполняется свойство коммутативности N является подмножеством Z0.

При а = 0 в равенство 0 + 1 =1 +0 входят конкретные числа Z0, в котором закон коммутативности выполняется, т. к. Z0 по доказанному выше является моделью множества чисел, удовлетворяющей аксиомам Пеано

Получили: 0 Z0, а Z0, и Z0 является моделью множества чисел, удовлетворяющей аксиомам Пеано. Т. к. в аксиоматической теории множества чисел, удовлетворяющей аксиомам Пеано, сложение обладает свойством коммутативности, то а+0=0+а

Учитывая, что во множестве чисел, удовлетворяющем аксиомам Пеано, каким является Z0, выполняется свойство монотонности сложения, а именно:

a = b a + c = b + c,

докажем методом от противного.

1.Пусть ае, тогда a > е или a е, то по свойству монотонности суммы получим:

Источник

СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, НУЛЯ И ОПЕРАЦИЙ НАД ЧИСЛАМИ

Лекция 36.Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел

Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля. Понятие отрезка натурального ряда. Порядковые и количественные натуральные числа. Упорядоченность множества целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественное обоснование отношений «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в». Обоснование выбора действий при решении простых задач на «нахождение суммы», на «нахождение остатка», на «увеличение (уменьшение) на несколько единиц», на «увеличение (уменьшение) в несколько раз», на «деление на части», на «деление по содержанию».

Введя понятие отрезка натурального ряда, мы выяснили, что счет элементов конечного множества приводит к числу количественному. Используя теоретико-множественные понятия, можно разъяснить смысл количественного натурального числа, не связывая его со счетом. Сделаем это в рамках так называемого теоретико-множественного подхода к числу. Учителю начальных классов знание этого подхода поможет понять, как построены те курсы начальной математики, которые основаны на теоретико-множественной модели системы натуральных чисел, используемой явно или неявно.

Теоретико-множественный смысл

Натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = п(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.

Так как каждый класс равномощных конечных множеств однознач­но определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о нату­ральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса мно­жеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = п(0).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е.
а = п(А), причем А

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Установленная связь между конечными множествами и натураль­ными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкова­ние отношения «меньше».

В аксиоматической теории это отношение определено следующим образом:

а Nа Ì Nв и Nа ¹ Nв.

Так, справедливость неравенства 3 А

В₁, где В₁ Ì В, В₁ ¹ В, В₁ ¹ Æ.

Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и симметричность этого отношения связаны с тем. что транзитивпо и асимметрично отношение «быть подмножестром».

Теоретико-множествснный смысл неравенства 0

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник

Теоретико-множественный смысл суммы

Упражнения

1. Почему на уроке, где изучается число «четыре», можно использовать картинку с изображением четырех яблок, четырех тетрадей, а
можно воспользоваться и другими примерами четырехэлементных
множеств?

2. Какой подход к определению отношения «меньше» используется
при ознакомлении младших школьников с неравенством 3

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = n(А), b = n(В):

а + b = n(А) + n(В) = n(АÈ В), если, если А Ç В = Æ.

Выясним теперь, каков теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а. Если а = n(А),

0 = n(Æ), то. согласно теореме 2, а + 0 = n(А) + п(Æ) = n(А È Æ). Но, как известно, АÈ Æ = А, следовательно, n(А È Æ) = n(А), откуда а + 0 = а.

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так, коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство

А È В = В È А. Действительно, если а = n(А), b = n(В) и А Ç В = Æ, то а + b = n(А È В) = n (В È А) = b + а.

Аналогично можно показать, что ассоциативность сложения вытекает из равенства.:

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник