Как доказать что векторы нулевые

22. Простейшие свойства векторного пространства

Рассмотрим те свойства векторного пространства, которые вытекают из его определения.

Свойство 1. В векторном пространстве V существует единственный нулевой вектор 0.

Доказательство. Допустим противное, что в V имеется два нулевых вектора 0 И Тогда по аксиомам 3° и 1° имеем

0 = 0 + = + 0 = .

Свойство 2. В векторном пространстве для любого вектора существует единственный противоположный вектор —.

Доказательство. См. доказательство теоремы 7 из §1.

Свойство 6. Для любых векторов , если A + B = А + С, то B = С.

Свойство 7. Для любых векторов Если A + B = А, то B = 0.

Доказательство. Следует из свойства 6.

Свойство 8. Для любого вектора Имеем 0×A = 0.

Доказательство. По аксиомам 8° и 6° имеем

Отсюда по свойству 7 0×A = 0.

Свойство 9. Для любого числа Имеем a×0 = 0.

Доказательство. По аксиоме 5° имеем

Отсюда по свойству 7 a×0 = 0.

Свойство 10. Пусть , . a×А = 0 Тогда и только тогда, когда a=0 Или А = 0.

Противоречие. Свойство доказано.

Свойство 11. Пусть , . Тогда И

Доказательство. По аксиоме 6° и свойству 8 имеем

Отсюда в силу единственности противоположного вектора получаем требуемые равенства.

Свойство 12. Для любых , , Если

Доказательство. По определению разности, аксиоме 6 и свойству 11 имеем

Аналогичным образом доказываются следующие три свойства, которые рекомендуется доказать читателю самостоятельно.

Свойство 13. Для любых Имеем

Свойство 14. Для любых ,Если , То A = B.

Свойство 15. Для любых , Если , То

Источник

Нуль-вектор

Нулевой вектор (нуль-вектор) — вектор, начало которого совпадает с его концом. Нулевой вектор имеет норму 0 и обозначается или .

С нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве (т.е. его можно считать направленным во все стороны). Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору. Считается, что нулевой вектор одновременно параллелен и перпендикулярен любому вектору пространства.

Все координаты нулевого вектора в любой аффинной системе координат равны нулю.

Для любого вектора

Для любого числа c

Нулевой вектор равен сумме любых двух противоположных векторов:

.

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Нуль-вектор» в других словарях:

нуль-вектор — нуль вектор, нуль вектора … Орфографический словарь-справочник

нуль-вектор — nulinis vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. null vector; zero vector vok. Nullvektor, m rus. нулевой вектор, m; нуль вектор, m pranc. vecteur nul, m; vecteur zéro, m … Fizikos terminų žodynas

нуль-вектор — (2 м), Р. нуль ве/ктора … Орфографический словарь русского языка

нуль-вектор — а, ч., мат. Вектор, що є тотожним перетворенням простору … Український тлумачний словник

Вектор (математика) — Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор … Википедия

Нуль — Нуль: В Викисловаре есть статья «нуль» Нуль, 0 (число) целое число, разделяющее на числовой прямой положительные и отрицательные числа … Википедия

Вектор-функция — Вектор функция функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть: одна скалярная переменная тогда значения вектор функции определяют в некоторую… … Википедия

ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… … Энциклопедия Кольера

Вектор Киллинга — Поле Киллинга векторное поле скоростей (локальной) однопараметрической группы движений риманова или псевдориманова многообразия. Другими словами, поток, который генерируется векторным полем Киллинга, задает непрерывное однопараметрическое… … Википедия

Источник

Линейная зависимость векторов

Содержание:

Вначале введем часто используемые в приложениях, понятия коллинеарности и компланарности векторов.

Определение 1.4.1. Два вектора, параллельные одной и той же прямой, называются колли­неарными. Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются ком­планарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Нулевой вектор считается компланарным любой паре векторов.

Определение 1.4.2. Выражение вида —некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов

Если все числа равны нулю одновременно (что равносильно условию то такая линейная комбинация называется тривиальной.

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля (то есть то данная линейная комбинация называется не­тривиальной.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Соглашение о суммировании

В тех случаях, когда явная запись суммы некоторого числа слагаемых нецелесообразна или невозможна, но известно, как зависит значение каждого из слагаемых от его номера, то допускается использование специальной формы записи операции суммирования:

(читается: «Сумма F(k) по «). где — индекс суммирования, мальное значение индекса суммирования, N — максимальное значение индекса сум­мирования и, наконец, F(k) — общий вид слагаемого.

Пример с решением 1.4.1.

По соглашению о суммировании будут справедливы следующие равенства Используя данную символику, линейную комбинацию можно записать в виде

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Приведем теперь определение важного понятия линейной зависимости системы векторов.

Определение 1.4.3. Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация такая, что Определение 1.4.4. Векторы называются линейно независимыми, если из условия следует тривиальность линейной комбинации то есть, что Иначе говоря, векторы линейно независимы, если для любого набора чисел не равных нулю одновременно, линейная комбинация не равна

Справедливы следующие утверждения:

Теорема 1.4.1. Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нуле­вой.

Теорема 1.4.2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они кол­линеарны.

Теорема 1.4.3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они ком­планарны.

Теоремы 1.4.1. и 1.4.2. предлагаются для самостоятельного доказательства. Здесь же мы рассмотрим подробно теорему 1.4.З., доказав предварительно следующее вспо­могательное утверждение:

Лемма 1.4.1. Для линейной зависимости векторов , необходимо и дос­таточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных. Доказательство:

Докажем необходимость. Пусть векторы линейно зависимы, тогда существуют числа одновременно не равные нулю, такие что Для определенности можно считать, что но тогда что и доказывает необходимость. Докажем достаточность. Пусть для определенности тогда причем То есть нетривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору.

Докажем теперь теорему 1.4.3.

Докажем необходимость. Пусть три вектора линейно зависимы, то есть существуют три, одно временно не равных нулю, числа , таких, что Тогда, по лемме 1.4.1. один из векторов есть линейная комбинация двух ос­тальных и, значит, данные три вектора компланарны. Докажем достаточность в предположении, что векторы неколлинеарны. Пусть даны три компланарных вектора Перенесем эти векторы таким образом, чтобы их начала попали в одну точку.

Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторам При этом получим пару векторов таких, что (Рис. 1.4.1.) Поскольку вектор коллинеарен вектору , а вектор коллинеарен вектору по теореме 1.4.2. получаем, что но, с другой стороны, имеем и векторы по лемме 1.4.1., линейно зависимы.

Случай коллинеарных рассмотрите самостоятельно.

Свойства линейно независимых векторов

Теорема 1.4.4. Если среди векторов имеется подмножество линейно зависимых, то и все векторы линейно зависимы. Доказательство: Без ограничения общности можно считать, что линейно зависимы первые векторов (иначе, просто перенумеруем эти векторы), то есть существуют не равные нулю одновременно, числа такие, что Построим нетривиальную линейную комбинацию векторов взяв в качестве первых к коэффициентов числа и нули в качестве остальных. Тогда получим, что Теорема доказана.

Следствие 1.4.1. Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то векторы линейно зависимы.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник