Как доказать что треугольник равносторонний

Равносторонний треугольник (ЕГЭ 2022)

И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор…

Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!

Тема простая, но очень важная!

Равносторонний треугольник — коротко о главном

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны. \(AB=BC=AC=a\)

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(<<60>^>\).

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;

Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка \(O\);

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

Определение равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(<<60>^>\)

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \(<<180>^>\), значит, каждый по \(<<60>^>\)

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не \(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. \(R=2\cdot r\)

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка\( O\) – центр треугольника.

Значит, \(OB\) – радиус описанной окружности (обозначили его \(R\)), а \(OK\) – радиус вписанной окружности (обозначим \(r\)).

Но ведь точка \(O\) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Поэтому \(OB=2\cdot OK\), то есть \(R=2\cdot r\).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Высота равностороннего треугольника

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

Рассмотрим \(\Delta ABK\) – он прямоугольный.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Как доказать что треугольник равносторонний. . Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка .

Это уже теперь должно быть совсем ясно:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Бонус 1. Статьи о других треугольниках

Подробная информация о других треугольниках в следующих статьях:

А в нашем учебнике по подготовке к ЕГЭ по математике вы найдете подробную информацию о других разделах математики:

Бонус 2: Вебинары о треугольниках, чтобы набить руку в решении задач

А в этих видео из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике вы можете потренироваться, решая задачи вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком.

Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени.

Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.

Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Итак, задача 16 профильного ЕГЭ. Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ.

Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Источник

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Как доказать что треугольник равносторонний. tablitsa mendeleeva. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-tablitsa mendeleeva. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка tablitsa mendeleeva.Как доказать что треугольник равносторонний. e%60konomika. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-e%60konomika. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка e%60konomika.Как доказать что треугольник равносторонний. zoloto. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-zoloto. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка zoloto.Как доказать что треугольник равносторонний. serebro. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-serebro. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка serebro.Как доказать что треугольник равносторонний. USDAUD. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-USDAUD. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка USDAUD.Как доказать что треугольник равносторонний. USDCHF. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-USDCHF. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка USDCHF.Как доказать что треугольник равносторонний. USDGBP. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-USDGBP. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка USDGBP.Как доказать что треугольник равносторонний. USDCAD. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-USDCAD. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка USDCAD.Как доказать что треугольник равносторонний. USDJPY. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-USDJPY. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка USDJPY.Как доказать что треугольник равносторонний. Brent i WTI. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Brent i WTI. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Brent i WTI.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Как доказать что треугольник равносторонний. Treugolnik 21. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Treugolnik 21. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Treugolnik 21.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Как доказать что треугольник равносторонний. Treugolnik 22. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Treugolnik 22. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Treugolnik 22.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Как доказать что треугольник равносторонний. Treugolnik 23. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Treugolnik 23. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Treugolnik 23.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Как доказать что треугольник равносторонний. Treugolnik 22. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Treugolnik 22. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Treugolnik 22.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Как доказать что треугольник равносторонний. Treugolnik 24. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Treugolnik 24. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Treugolnik 24.

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

Как доказать что треугольник равносторонний. Formula 21. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Formula 21. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Formula 21..

Формула радиуса описанной окружности (R):

Как доказать что треугольник равносторонний. Formula 22. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Formula 22. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Formula 22.,

Как доказать что треугольник равносторонний. Formula 25. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Formula 25. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Formula 25..

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

Как доказать что треугольник равносторонний. Formula 23. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Formula 23. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Formula 23..

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

Как доказать что треугольник равносторонний. Formula 26. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Formula 26. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Formula 26..

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

Как доказать что треугольник равносторонний. Formula 24. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-Formula 24. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка Formula 24..

Источник

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 2. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 2. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 2.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 1. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 1. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 1.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 3. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 3. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 3.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 7. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 7. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 7.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 5. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 5. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 5.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 6. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 6. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 6.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 11. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 11. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 11.

2. Радиус вписанной окружности:
Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 10. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 10. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 10.

3. Радиус описанной окружности:
Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 9. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 9. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 9.

4. Периметр:
Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 13. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 13. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 13.

5. Площадь:
Как доказать что треугольник равносторонний. svoystva pravilnogo treugolnika exc 12. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-svoystva pravilnogo treugolnika exc 12. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка svoystva pravilnogo treugolnika exc 12.

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Источник

равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной

Что такое равносторонний треугольник, площадь равносторонних треугольников, равносторонние треугольники примеры.

Если все углы треугольника равны то, то это равносторонний треугольник и все стороны у такого треугольника равны.

Всё о равностороннем треугольнике!

Что такое равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.

На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.

Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:

Как доказать что треугольник равносторонний. 0107 vidyi treugolnikov 2020 10 10 03 07. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0107 vidyi treugolnikov 2020 10 10 03 07. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0107 vidyi treugolnikov 2020 10 10 03 07.

Равносторонний треугольник называют еще правильным.

Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?

Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?

Нет!? Не угадал. жаль. Как доказать что треугольник равносторонний. wall. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-wall. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка wall.

Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :

180° разделить на 3.

Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны.

Равносторонний треугольник максимальный угол

Высота равностороннего треугольника

Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ «a», то формула звучит так :

Высота равностороннего треугольника формула через сторону

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 07 56. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 07 56. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 07 56.

Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую.

И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :

И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.

И далее мы можем получить угол между высотой «h» и стороной «a».

И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены.

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 06. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 06. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 06.

. и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора

c² = a² + b² a² = a² 2² + h² = a² 4 + h²

Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :

высоту оставляем одну слева и получаем:

И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны.

И далее получаем Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 07 43. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 07 43. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 07 43.

Площадь равностороннего треугольника

Какая формула для площади равностороннего треугольника!?

Площадь равностороннего треугольника равна : корень из 3 деленное на 4, умноженное на сторону в квадрате:

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 21. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 21. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 21.

Выше мы уже доказали, чему равна высота. возьмем одну сторону треугольника на высоту h.

Вторая сторона будет равна а/2

И далее нам нужно умножить высоту на сторону, поделив на 2. По правилу вычисления площади прямоугольного треугольника.

Мы получаем предварительный результат:

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 36. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 36. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 36.

И поскольку у нас два таких треугольника, то правую сторону надо умножить на 2, две двойки сокращаются.

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 37. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 37. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 37.

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 47. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 47. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 47.

И далее заменим высоту из выше пройденного пункта:

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 53. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 53. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 53.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 08. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 08. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 08. Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 04. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 04. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 04.

Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 30. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 30. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 30.

Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?

Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?

Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 04. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 04. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 04.

Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 39. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 39. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 39.

Отсюда мы получаем, что :

Подставляем ранее выведенную высоту

r = 1 3 * √ 3 2 a = √ 3 6 a

Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 30. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 30. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 30.

Не будем здесь доказывать, что два треугольника «ABM» и «AOK» подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент «Х».

Из этого мы можем создать зависимость:

«AK» и «BM» равны одному и тому же а/2.

Далее мы можем записать эту зависимость как :

Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:

Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :

В последней дроби заменяем «h» на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)

r = а 2 * а 2 * 1 h = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а

r = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а

И в итоге получаем :

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 30. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 30. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 11 30.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 09. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 09. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 09. Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 06. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 06. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 06.

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 11 12 33. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 11 12 33. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 11 12 33.

Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 12 04 14. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 12 04 14. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 12 04 14.

Решение задачи :

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :

То стороны у этого треугольника будут равны между собой.

И одна из сторон совпадает со стороной квадрата.

Поэтому сторона » AB » равна стороне квадрата » BC » и стороне » BE «

Но » BE » не равна » BD «. Катет всегда будет меньше гипотенузы.

Если » BE » не равно » BD «, то » BD » не равно » AB «, что означает, что точка B не находится в середине отрезка » AD «.

Отсюда мы делаем вывод :

Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!

Периметр равностороннего треугольника формула

Напишите «формулу периметра равностороннего треугольника»:

Обозначается периметр буквой P

Поскольку все стороны у равностороннего треугольника равны,

то периметр равностороннего треугольника будет равен :

3 умноженное на сторону а треугольника:

Как доказать что треугольник равносторонний. 0107 vidyi treugolnikov 2020 10 10 03 07. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0107 vidyi treugolnikov 2020 10 10 03 07. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0107 vidyi treugolnikov 2020 10 10 03 07.

Формула периметра равностороннего треугольника

Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:

Но такого написания, я никогда не встречал.

Задача : найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

Известна сторона «CB» вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника «AM».

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 40. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 40. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 40.

В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :

Сторона «AB» равна стороне квадрата «BC» и стороне «BE»

Поэтому, высота «AN» маленького треугольника будет равна :

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 50. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 50. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 50.

И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 56. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 56. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 56.

Задача : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Известна площадь равностороннего треугольника «S», требуется узнать его сторону «а».

Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!

Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 21. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 21. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 08 21.

Нам всего-то навсего нужно выразить сторону «а» через «S»

Умножаем обе стороны на

Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:

Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 03. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 03. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 03.

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 22. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 22. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 22.

Преобразуем еще раз:

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 23. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 23. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 17 04 23.

Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.

Задача : если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

Повстречал вот такой поисковый запрос :

«если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний«

Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:

Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности

А почему, вы узнаете дальше.

Для доказательства данного утверждения нам понадобится :

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь :

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 04. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 04. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 04.

Как доказать что треугольник равносторонний. 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 06. Как доказать что треугольник равносторонний фото. Как доказать что треугольник равносторонний-0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 06. картинка Как доказать что треугольник равносторонний. картинка 0108 ravnostoronniy treugolnik 2020 10 10 09 06.

Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить.

После этого, смотрим, что можно сократить

Сокращаются квадратный корень из 3.

6 и 3, сокращаются только на 3. Сверху остается 2.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *