Как доказать что треугольник правильный

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

.

Формула радиуса описанной окружности (R):

,

.

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

.

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

.

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

.

Источник

Общие сведения

Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.

Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.

В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:

Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.

Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.

Особые линии и точки

Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.

В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.

Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:

Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.

Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.

Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.

Основные формулы

Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.

Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √‎3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √‎3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √‎3) / 2.

Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √(‎(2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √‎(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √‎(1 / 3) = a / (2 * √‎3) = (a √‎3) / 6.

Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:

Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.

Решение задач

Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:

Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».

Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.

Источник

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Источник

равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной

Что такое равносторонний треугольник, площадь равносторонних треугольников, равносторонние треугольники примеры.

Если все углы треугольника равны то, то это равносторонний треугольник и все стороны у такого треугольника равны.

Всё о равностороннем треугольнике!

Что такое равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.

На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.

Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:

Равносторонний треугольник называют еще правильным.

Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?

Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?

Нет!? Не угадал. жаль.

Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :

180° разделить на 3.

Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны.

Равносторонний треугольник максимальный угол

Высота равностороннего треугольника

Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ «a», то формула звучит так :

Высота равностороннего треугольника формула через сторону

Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую.

И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :

И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.

И далее мы можем получить угол между высотой «h» и стороной «a».

И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены.

. и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора

c² = a² + b² a² = a² 2² + h² = a² 4 + h²

Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :

высоту оставляем одну слева и получаем:

И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны.

И далее получаем

Площадь равностороннего треугольника

Какая формула для площади равностороннего треугольника!?

Площадь равностороннего треугольника равна : корень из 3 деленное на 4, умноженное на сторону в квадрате:

Выше мы уже доказали, чему равна высота. возьмем одну сторону треугольника на высоту h.

Вторая сторона будет равна а/2

И далее нам нужно умножить высоту на сторону, поделив на 2. По правилу вычисления площади прямоугольного треугольника.

Мы получаем предварительный результат:

И поскольку у нас два таких треугольника, то правую сторону надо умножить на 2, две двойки сокращаются.

И далее заменим высоту из выше пройденного пункта:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :

Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?

Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?

Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)

Отсюда мы получаем, что :

Подставляем ранее выведенную высоту

r = 1 3 * √ 3 2 a = √ 3 6 a

Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Не будем здесь доказывать, что два треугольника «ABM» и «AOK» подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент «Х».

Из этого мы можем создать зависимость:

«AK» и «BM» равны одному и тому же а/2.

Далее мы можем записать эту зависимость как :

Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:

Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :

В последней дроби заменяем «h» на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)

r = а 2 * а 2 * 1 h = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а

r = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а

И в итоге получаем :

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:

Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.

Решение задачи :

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :

То стороны у этого треугольника будут равны между собой.

И одна из сторон совпадает со стороной квадрата.

Поэтому сторона » AB » равна стороне квадрата » BC » и стороне » BE «

Но » BE » не равна » BD «. Катет всегда будет меньше гипотенузы.

Если » BE » не равно » BD «, то » BD » не равно » AB «, что означает, что точка B не находится в середине отрезка » AD «.

Отсюда мы делаем вывод :

Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!

Периметр равностороннего треугольника формула

Напишите «формулу периметра равностороннего треугольника»:

Обозначается периметр буквой P

Поскольку все стороны у равностороннего треугольника равны,

то периметр равностороннего треугольника будет равен :

3 умноженное на сторону а треугольника:

Формула периметра равностороннего треугольника

Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:

Но такого написания, я никогда не встречал.

Задача : найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

Известна сторона «CB» вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника «AM».

В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :

Сторона «AB» равна стороне квадрата «BC» и стороне «BE»

Поэтому, высота «AN» маленького треугольника будет равна :

И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :

Задача : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Известна площадь равностороннего треугольника «S», требуется узнать его сторону «а».

Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!

Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!

Нам всего-то навсего нужно выразить сторону «а» через «S»

Умножаем обе стороны на

Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:

Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :

Преобразуем еще раз:

Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.

Задача : если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

Повстречал вот такой поисковый запрос :

«если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний«

Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:

Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности

А почему, вы узнаете дальше.

Для доказательства данного утверждения нам понадобится :

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь :

Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить.

После этого, смотрим, что можно сократить

Сокращаются квадратный корень из 3.

6 и 3, сокращаются только на 3. Сверху остается 2.

Источник