Как доказать что сумма углов треугольника 180

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Источник

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: АВС (рис. 220).

Доказать: A+B +C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда KBA =A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aMBC =C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

KBA +ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, то1 =2.

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Решение:

Пусть ( — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Тогда

Ответ:

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Решение:

Из треугольника АОС находим:

Замечание. Если то, рассуждая аналогично, получим формулу: Если, например,

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, (рис. 226).

Докажем, чтоACB = 90°. Обозначим A = ,В = . Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как АМС — равнобедренный, тоA =ACM = как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, СМВ — равнобедренный и B =BCM = . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 + 2, с другой — равна 180°. Отсюда 2 + 2 = 180°, 2( + ) = 180°, + = 90°. НоACB = + , поэтому

ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=,B=.

Проведем отрезок СМ так, чтоACM=, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aBCM дополняетACM до 90°. Поскольку ACM =A = , тоBCM =. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = АВ.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Теорема о сумме углов треугольника

Урок 19. Геометрия 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Теорема о сумме углов треугольника»

Блез Паскаль, великий французский учёный 17-го века, заметил, что у всех треугольников сумма 3-х углов равна 180 градусов. И у него возник вопрос: «Как это доказать?»

И он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. В результате получился развёрнутый угол, градусная мера которого, как вам уже известно, равна 180 градусов.

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Проведём прямую а через точку В параллельно стороне АС.

Сумма градусных мер ∠4, ∠2 и ∠5 равна градусной мере развёрнутого угла с вершиной в точке В, то есть ∠4+∠2+∠5=180 градусов.

А так как ∠1=∠4, ∠3=∠5, то получаем, что ∠1+∠2+∠3=180 градусов. То есть ∠А+∠В+∠С=180 градусов. Теорема доказана.

Из теоремы следует:

1. Углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов.

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-либо углом треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Сумма градусных углов 3 и 4 равна градусной мере развёрнутого угла, то есть ∠3+∠4=180 градусов. А по теореме о сумме градусных мер углов треугольника ∠1+∠2+∠3=180 градусов. Из полученных двух равенств следует, что ∠1+∠2=∠4. Что и требовалось доказать.

Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны. ∠А=42 градуса. Чему равна градусная мера угла В?

Так как АВ=ВС, то треугольник АВС является равнобедренным. Нам известно, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. А значит, ∠С=42 градуса.

По теореме о сумме углов треугольника ∠А+∠В+∠С=180 градусов. Из этого равенства получаем:

На рисунке ∠ВСD=110 градусов, а ∠ВАС=45 градусов. Найти градусную меру ∠АВЕ.

Искомый ∠АВЕ является внешним углом нашего треугольника, смежным с ∠АВС. А значит:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС отрезок ВD является высотой. Найдите градусные меры углов треугольника ABD, если ∠АВС=56 градусов.

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

Источник