Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. %D1%876. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-%D1%876. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка %D1%876.Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. %D1%871. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-%D1%871. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка %D1%871.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. image5 347l344t1205r505b. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-image5 347l344t1205r505b. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка image5 347l344t1205r505b.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. image6 384l305t1266r451b. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-image6 384l305t1266r451b. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка image6 384l305t1266r451b.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. image7 427l211t774r486b. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-image7 427l211t774r486b. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка image7 427l211t774r486b.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. image8 318l700t1348r201b. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-image8 318l700t1348r201b. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка image8 318l700t1348r201b.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Picture 2 1. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-Picture 2 1. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка Picture 2 1.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Picture 1 2. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-Picture 1 2. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка Picture 1 2.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. image12 1398l567t177r287b. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-image12 1398l567t177r287b. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка image12 1398l567t177r287b.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. image10 1401l232t188r528b. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-image10 1401l232t188r528b. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка image10 1401l232t188r528b.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. image11 808l373t816r441b. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-image11 808l373t816r441b. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка image11 808l373t816r441b.

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. image1 1064l362t218r387b. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-image1 1064l362t218r387b. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка image1 1064l362t218r387b.

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры3517

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Picture 1. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-Picture 1. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка Picture 1.

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Picture 3. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-Picture 3. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка Picture 3.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Picture 4. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-Picture 4. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка Picture 4.

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазинаРасход краскиМасса краски в одной банкеСтоимость одной банки краскиСтоимость доставки заказа
10,25 кг/кв.м6 кг3000 руб.500 руб.
20,4 кг/кв.м5 кг1900 руб.800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Чему равна сумма углов?

Просто мне нужно объяснить. Но не просто объяснить, а чтобы ещё стало понятно!

Е. Гришковец «Одновременно»

Разговор покупателя с продавцом в магазине «Ткани».

— Здравствуйте! Я шью дома и сама делаю выкройки. Для этого использую угольник с различными углами. Мне нужны чаще всего 90, 60 и 45 градусов, но они у меня в разных угольниках. Приходится перекладывать. Нет ли у вас угольника, в котором были бы именно эти углы?

— Вы знаете, среди тех, что я вижу, нет, но вы заходите, такие должны на днях привезти.

— Большое спасибо, обязательно зайду.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. chemu ravna summa uglov 08 267. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-chemu ravna summa uglov 08 267. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка chemu ravna summa uglov 08 267.

Для математического уха разговор выглядит комично. То, что сумма углов треугольника равна 180°, знают даже школьники, не очень увлечённые математикой. А что такое 180° и почему именно 180? Ясно, скажет умный школьник, это половина от 360, то есть полного оборота.

Невозможно точно сказать, почему окружность была разбита на 360 одинаковых частей и когда это произошло. То ли это персы придумали, у которых год длился 360 дней, то ли вавилоняне, которым удобно было делить окружность на 6 равных частей с помощью равностороннего треугольника.

Была, правда, попытка ввести более логичную, с точки зрения современных представлений о счёте, шкалу для угловых мер. Она делила окружность на 400 равных частей — градов. В этой шкале величина прямого угла равнялась 100 градам. Однако шкала эта не прижилась. Трудно одним желанием изменить пятитысячелетнюю историю цивилизации. Да впрочем, какая разница, в чём мерить, хоть в попугаях, главное — понять, что угол — это некоторая доля от полного оборота.

Почему же сумма углов любого треугольника равна в точности половине полного оборота? Давайте представим себе, что у нас есть три прожектора. Каждый освещает внутренность некоторого угла до бесконечности (жить мы будем временно в двумерном мире). Если мы, стоя в одной точке, включим три прожектора (зелёный, розовый и жёлтый на рисунке), сумма «световых углов» которых равна 180°, и направим их без наложений освещаемой площади, то осветим ровно половину нашего двумерного пространства.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. chemu ravna summa uglov 01 703. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-chemu ravna summa uglov 01 703. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка chemu ravna summa uglov 01 703.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник и в вершинах его поставим трёх помощников (Али, Бен и Сирил по буквам вершин, но можно попросить Анну, Варвару и Светлану), доверив им по прожектору. Каждый помощник должен осветить внутренность треугольника лучами света, которые выходят из вершины и продолжаются до бесконечности. Таким образом, каждый прожектор будет освещать внутренность своего угла и не будет освещать внутренность такого же угла, вертикального выбранному. При этом каждая точка плоскости либо попадёт внутрь освещённого угла, либо не будет освещена, попав в вертикальный угол к углу треугольника. Точки же самого треугольника будут освещены трижды. Теперь давайте посмотрим на нашу частично освещённую плоскость с большой высоты (мы-то, как люди трёхмерные, имеем на это право). Если закрыть глаза на небольшой участок перекрытия внутри треугольника, то нетрудно понять, что мы осветили «ровно» половину плоскости. Из чего и можно заключить, что сумма углов произвольного треугольника равна 180°!

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. chemu ravna summa uglov 02 703. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-chemu ravna summa uglov 02 703. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка chemu ravna summa uglov 02 703.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. chemu ravna summa uglov 03 300. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-chemu ravna summa uglov 03 300. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка chemu ravna summa uglov 03 300.

Если наше маленькое жульничество внутри треугольника режет глаз, давайте отойдём далеко-далеко от плоскости и забудем, что где-то стоят наши помощники. Нарисуем окружность огромного радиуса с центром где-то внутри треугольника. Какая часть окружности освещена? Ровно (почти) половина. И чем больше радиус нашей окружности, тем меньше будут отличаться освещённая и тёмная части окружности. Ведь каждой светлой дуге будет в пару поставлена такая же тёмная.

Не будем останавливаться на сумме углов треугольника, а попробуем развить эту идею. Самое естественное продолжение — четырёхугольник. Нетрудно понять, что четыре помощника, выполняя аналогичное задание, осветят всю плоскость, что значит: сумма углов четырёхугольника равна 360°. Стоп! Давайте не торопиться, отойдём подальше. Что мы видим? Ужас! Некоторые точки плоскости вообще не освещены. Всё пропало? Не будем паниковать преждевременно. Продолжим наши прямые до бесконечности. На рисунке серым цветом закрашена неосвещённая часть плоскости. Посмотрим внимательно на вертикальный с ней угол. Он освещён, конечно, но освещён дважды! А значит, и здесь всё сходится. Так и должно быть, ведь четырёхугольник можно просто разрезать на два треугольника. Думаем дальше.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. chemu ravna summa uglov 04 703. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-chemu ravna summa uglov 04 703. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка chemu ravna summa uglov 04 703.

Нарисуем пятиконечную звёздочку (не обязательно правильную). Теперь позовём пять фонарщиков, поставим их в вершинах «лучиков» нашей звёздочки, и пусть каждый освещает внутренность того угла, в котором стоит. Соответственно, вертикальный угол освещён не будет. Что мы видим? Картина почти такая же, как у треугольника. Половина плоскости светлая, половина тёмная, а значит, сумма углов пятиконечной звезды равна 180°!

При этом мы нигде не пользовались какими-то особенностями формы этой звёздочки. Более того, а где мы считали количество углов? Давайте внимательно посмотрим на 7-конечную звезду. А потом на 2021-конечную (нарисовать непросто, а представить можно). Что изменится для суммы? Да ничего — половина светлого, половина тёмного. Правда, для большого числа углов нужно «правильно» рисовать звёздочку. Например, для семиугольной конструкции можно привести два примера. Подсчитайте самостоятельно сумму для «более тупоугольной» звёздочки.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. chemu ravna summa uglov 05 703. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-chemu ravna summa uglov 05 703. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка chemu ravna summa uglov 05 703.

Теперь давайте немного развернём наших фонарщиков и дадим им задание осветить один из своих внешних углов. Для начала позовём четверых, поставим их в вершинах выпуклого четырёхугольника. Нетрудно понять, что они осветят всё, кроме самого четырёхугольника. Удаляясь от них, мы поймём, что сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. chemu ravna summa uglov 06 703. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-chemu ravna summa uglov 06 703. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка chemu ravna summa uglov 06 703.

Также при достаточном удалении мы забудем о количестве помощников, а когда вспомним, поймём, что это совершенно неважно. Сколько бы их ни было, плоскость будет освещена полностью и без перекрытий. Из этого следует чрезвычайно важный и удивительный вывод: сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°!

Продолжая применять этот метод, можно получить и другие формулы для суммы углов. То есть если внимательно посмотреть на количество перекрытий, можно вывести формулу для суммы углов выпуклого многоугольника. Но даже без вывода становится понятно, почему сумма внутренних углов зависит от их количества, а сумма внешних нет. Попробуйте развить эту идею на случай невыпуклых многоугольников. Можно, немного поломав голову, найти сумму внутренних углов, а вот для суммы внешних надо сначала понять: что такое внешний угол невыпуклого многоугольника? Успехов в вашем исследовании!

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. chemu ravna summa uglov 07 234. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-chemu ravna summa uglov 07 234. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка chemu ravna summa uglov 07 234.

P. S. А угольник 45°, 60° и 90°, оказывается, существует! Это специальный портновский угольник — треугольник, в котором сделаны треугольные дырки с другими углами. И речь в магазине «Ткани», оказывается, совсем не шла о сумме углов треугольника.

Источник

Содержание:

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67987. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67987. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67987.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68001. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68001. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68001.

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68038. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68038. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68038.

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68055. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68055. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68055.

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68120. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68120. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68120.углы Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68122. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68122. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68122.являются внешними.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68115. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68115. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68115.

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68132. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68132. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68132.Градусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68135. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68135. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68135.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68128. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68128. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68128.

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68171. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68171. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68171.Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68179. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68179. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68179.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68199 N0ovKMR. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68199 N0ovKMR. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68199 N0ovKMR.

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68136. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68136. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68136.Доказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68168. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68168. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68168.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68204. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68204. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68204.

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68256. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68256. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68256.

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68264. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68264. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68264.

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68267. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68267. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68267.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68271. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68271. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68271.Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68275. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68275. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68275.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68288. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68288. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68288.

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68315. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68315. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68315.

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68319. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68319. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68319.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68325. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68325. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68325.

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68347. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68347. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68347.

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68349. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68349. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68349.

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68388. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68388. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68388.

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68394. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68394. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68394.то параллелограмм Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68402. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68402. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68402.является ромбом.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68405. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68405. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68405.

Доказательство теоремы 1.

Дано: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68444. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68444. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68444.ромб.

Докажите, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68453. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68453. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68453.

Доказательство (словестное): По определению ромба Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68466. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68466. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68466.При этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68473. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68473. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68473.равнобедренный. Медиана Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68476. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68476. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68476.(так как Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68481. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68481. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68481.), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68488. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68488. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68488.Так как Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68495. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68495. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68495.является прямым углом, то Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68499. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68499. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68499.. Аналогичным образом можно доказать, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68505. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68505. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68505.

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

Квадрат:

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. . Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка .

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68596. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68596. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68596.

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68620. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68620. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68620.

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68622. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68622. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68622.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68628. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68628. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68628.

План доказательства теоремы 2

Дано: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68636. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68636. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68636.равнобедренная трапеция. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68639. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68639. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68639.

Докажите: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68640. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68640. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68640.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68655. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68655. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68655.

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68956. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68956. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68956.тогда Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68961. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68961. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68961.Запишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68994. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68994. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68994.проведем параллельную прямую к прямой Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68996. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68996. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68996.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69017. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69017. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69017.

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69032. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69032. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69032.через точку Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69036. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69036. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69036.— середину стороны Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69041. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69041. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69041.проведите прямую параллельную Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69047. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69047. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69047.Какая фигура получилась? Является ли Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69053. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69053. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69053.трапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. . Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка .Можно ли утверждать, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69065. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69065. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69065.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69089. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69089. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69089.

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69145. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69145. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69145.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69154. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69154. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69154.

Доказательство. Пусть дан треугольник Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69157. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69157. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69157.и его средняя линия Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69162. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69162. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69162.Проведём через точку Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69168. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69168. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69168.прямую параллельную стороне Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69172. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69172. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69172.По теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69177. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69177. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69177.т.е. совпадает со средней линией Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69181. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69181. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69181.Т.е. средняя линия Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69184. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69184. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69184.параллельна стороне Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69172. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69172. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69172.Теперь проведём среднюю линию Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69195. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69195. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69195.Т.к. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69201. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69201. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69201.то четырёхугольник Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69205. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69205. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69205.является параллелограммом. По свойству параллелограмма Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69211. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69211. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69211.По теореме Фалеса Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69216. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69216. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69216.Тогда Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69222. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69222. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69222.Теорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69273. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69273. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69273.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69280. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69280. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69280.

Доказательство: Через точку Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69292 XegnKk9. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69292 XegnKk9. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69292 XegnKk9.и точку Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69295. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69295. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69295.середину Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69300. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69300. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69300.проведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69302. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69302. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69302.через Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69305. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69305. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69305.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69310. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69310. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69310.

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69334. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69334. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69334.радиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69339. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69339. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69339.Есть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69343. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69343. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69343.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69348. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69348. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69348.

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69353. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69353. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69353.и Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69358. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69358. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69358.и точка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69363. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69363. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69363.которая является серединой отрезка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69374. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69374. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69374.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69388. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69388. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69388.то Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69390. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69390. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69390.а отсюда следует, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69395. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69395. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69395.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69399. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69399. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69399.

2) По теореме Фалеса, если точка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69404. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69404. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69404.является серединой отрезка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69407 IRtYrUA. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69407 IRtYrUA. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69407 IRtYrUA.то на оси абсцисс точка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69418. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69418. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69418.является соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69422. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69422. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69422.и Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69425. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69425. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69425.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69430. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69430. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69430.

3) Координаты середины отрезка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69433. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69433. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69433.с концами Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69435. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69435. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69435.и Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69437. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69437. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69437.точки Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69438. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69438. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69438.находятся так:

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69441. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69441. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69441.

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 69444. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-69444. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 69444.параллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87306. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87306. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87306.как показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87321. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87321. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87321.

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87335. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87335. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87335.

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87306. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87306. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87306.как показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87344. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87344. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87344.

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87361. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87361. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87361.

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87368. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87368. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87368.

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87368. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87368. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87368.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87381. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87381. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87381.

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87399. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87399. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87399.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87402. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87402. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87402.

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87368. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87368. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87368.то, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87571. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87571. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87571.— прямоугольный.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87584. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87584. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87584.

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87592. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87592. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87592.являются Пифагоровыми тройками, то и числа Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 87603. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-87603. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 87603.также являются Пифагоровыми тройками.

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 64752. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-64752. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 64752.(рис. 1).

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 64771. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-64771. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 64771.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 64811. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-64811. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 64811.

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 64822. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-64822. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 64822.=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 64834. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-64834. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 64834.+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 64838. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-64838. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 64838.. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD\ 2) Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65060. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65060. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65060.. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65064. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65064. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65064.

Решение:

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65086. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65086. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65086.

Доказательство. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65091. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65091. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65091.по стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65094. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65094. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65094.как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65132. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65132. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65132.

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Теорема (признак параллелограмма).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65170. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65170. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65170.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65178. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65178. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65178.по трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65181. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65181. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65181. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65183. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65183. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65183.Углы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Теорема (признак параллелограмма).

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65208. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65208. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65208.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65213. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65213. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65213.по двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65216. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65216. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65216.как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65220. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65220. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65220.Но углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65231. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65231. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65231.

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65235. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65235. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65235.по двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65243. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65243. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65243.как вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65248. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65248. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65248.Но углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\\AD.

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65276. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65276. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65276.

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65342. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65342. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65342.

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 65348. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-65348. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 65348.Можно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66630. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66630. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66630.. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66622. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66622. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66622.по трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66615. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66615. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66615.. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66610. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66610. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66610.. По свойству углов четырёхугольника, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66595. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66595. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66595.

Следовательно, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66590. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66590. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66590.: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66578. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66578. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66578.

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66713. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66713. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66713.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66741. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66741. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66741.

Доказать: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66748. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66748. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66748.

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66753. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66753. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66753.. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66758. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66758. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66758.

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66771. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66771. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66771.

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66753. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66753. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66753.(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66785. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66785. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66785.по двум сторонами и углу между ними.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66803 OtfpMP2. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66803 OtfpMP2. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66803 OtfpMP2.

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66851. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66851. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66851.

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66884. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66884. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66884.

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66898. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66898. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66898.

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66959. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66959. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66959.

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66969. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66969. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66969.и Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66973. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66973. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66973.Проведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66980. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66980. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66980.параллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66987. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66987. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66987.При помощи циркуля сравните длины отрезков Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 66994. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-66994. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 66994.Сделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67001. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67001. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67001.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67010. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67010. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67010.

Доказать: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67037. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67037. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67037.

Доказательство. Проведём через точки Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67044. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67044. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67044.прямые Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67049. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67049. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67049.параллельные ВС. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67053. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67053. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67053.по стороне и прилежащим к ней углам. У них Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67056. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67056. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67056.по условию, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67061. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67061. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67061.как соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67069. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67069. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67069.и Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67074. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67074. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67074.как противоположные стороны параллелограммов Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67076. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67076. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67076.

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67080. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67080. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67080.

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67090. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67090. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67090.

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67098. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67098. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67098.Проведём прямую Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67108. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67108. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67108.. Через точки Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67112. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67112. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67112.проведём прямые, параллельные прямой Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67108. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67108. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67108.. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67128. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67128. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67128.

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67136. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67136. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67136.(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67144. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67144. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67144.

Доказать: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67157. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67157. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67157.

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67136. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67136. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67136.. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67213. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67213. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67213.. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67216 grBeyuj. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67216 grBeyuj. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67216 grBeyuj.

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67270. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67270. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67270.

Поэтому Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67242. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67242. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67242.. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67255. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67255. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67255.

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРКак доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67259. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67259. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67259., отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67190. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67190. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67190.

Трапеция

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67323. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67323. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67323.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67354. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67354. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67354.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67395. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67395. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67395.

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67403. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67403. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67403.

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67418. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67418. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67418.no стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67441. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67441. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67441.как вертикальные, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67437. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67437. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67437.внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67492. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67492. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67492.

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67505. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67505. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67505.равнобедренный. Поэтому Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67513. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67513. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67513.соответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67498. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67498. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67498.

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 67700. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-67700. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 67700.

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68139. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68139. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68139.Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68199. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68199. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68199.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68208. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68208. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68208.— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68212. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68212. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68212.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68219. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68219. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68219.. По свойству внешнего угла треугольника, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68225. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68225. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68225.Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68233. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68233. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68233.— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68245. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68245. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68245.измеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68272. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68272. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68272.

Из доказанного в первом случае следует, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68292. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68292. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68292.измеряется половиной дуги AD, a Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68296. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68296. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68296.— половиной дуги DC. Поэтому Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68302. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68302. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68302.измеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68305. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68305. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68305.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68308. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68308. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68308.

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68416. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68416. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68416.как вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68424. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68424. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68424., так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68432. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68432. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68432.

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68440. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68440. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68440.(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68450. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68450. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68450.(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68457. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68457. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68457.

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 68509. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-68509. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 68509.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70536. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70536. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70536.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70542. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70542. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70542.

Доказать: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70547. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70547. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70547.

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70552. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70552. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70552.

Тогда Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70557. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70557. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70557.

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70562. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70562. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70562.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70568. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70568. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70568.

Докажем, что Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70574. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70574. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70574.. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70594. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70594. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70594.. По свойству равнобокой трапеции, Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70596. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70596. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70596.

Тогда Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70598. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70598. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70598.и, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70603. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70603. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70603.

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70681. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70681. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70681.

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70651. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70651. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70651.центры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70670. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70670. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70670.вписанного в окружность. Действительно,

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70672. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70672. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70672.

Следовательно, четырёхугольник Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70670. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70670. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70670.— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70695. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70695. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70695.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. 70704. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов фото. Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов-70704. картинка Как доказать что сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. картинка 70704.

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *