Как доказать что прямые перпендикулярны 7 класс

Перпендикулярные прямые.

Урок 5. Геометрия 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Перпендикулярные прямые.»

Прежде, чем говорить о перпендикулярных прямых, выясним, какие углы называют смежными, а какие вертикальными.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются противоположными лучами.

Например, углы АОВ и ВОС являются смежными:

Так как лучи ОА и ОС образуют развёрнутый угол, то АОВ+ВОС=АОС, градусная мера которого равна 180 градусам.

Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальными называются углы, если они имеют общую вершину и стороны одного угла являются лучами, противоположными сторонам другого.

Угол 2 является смежным с углом 1 и с углом 3.

А по свойству смежных углов:

Из этих двух равенств получаем:

Таким образом, получаем:

Аналогично можем доказать, что:

Следовательно, можно сказать, что вертикальные углы равны.

Две прямые называют перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Например, прямые АВ и СD образуют при пересечении четыре прямых угла, а значит, они являются взаимно перпендикулярными:

Перпендикулярность прямых АВ и CD обозначается следующим образом:

Отметим, что две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются.

Докажем это. Возьмём прямые АВ и перпендикулярные прямой СD:

Перегнём рисунок по прямой СD так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы равны, то луч СА наложится на луч СВ, а луч D наложится на луч D.

Если предположить, что АВ и пересекаются в некоторой точке О, то эта точка наложится на точку , которая также лежит на этих прямых. Тогда мы получим, что через две точки О и проходят две прямые АВ и , а это невозможно.

Следовательно, наше предположение неверно, а значит, прямые АВ и не пересекаются.

Для проведения перпендикулярных прямых используют чертёжный треугольник с линейкой.

А вот, чтобы построить прямой угол на местности, можно воспользоваться простейшим прибором, который называют экер. Данный прибор представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков есть гвоздики, которые расположены так, что прямые проходящие через них взаимно перпендикулярны.

Чтобы построить прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Затем провешивают линию по направлению другого бруска (прямая ОВ). В результате получается прямой угол АОВ.

В геодезии (в переводе с греческого «геодезия» означает «землеразделение»), науке, об измерениях на земной поверхности и в околоземном пространстве, для построения прямых углов используют наиболее совершенные приборы. Одним из таких является теодолит.

Источник

Перпендикулярные прямые 7 класс

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Описание слайда:

Вспомним
изображенные на слайде фигуры:
острый угол
прямой угол
развернутый угол
Ответьте на следующие вопросы:
Чему равна градусная мера острого угла?
от 0° до 90°
Чему равна градусная мера развернутого угла?
180°
Чему равна градусная мера прямого угла?
90°

Описание слайда:

Определение
а
b
Две прямые называются перпендикулярными,
если при их пересечении образовался прямой угол
а
b
Обозначение: a ⊥ b

Описание слайда:

Перпендикулярные прямые
А
B
C
D
Прямые AB и CD
не перпендикулярны
При пересечении прямых AB и CD образовались пары равных углов
Величину острого угла 1 называют углом между прямыми AB и CD
1

Описание слайда:

Перпендикулярные прямые
а
b
Если прямые перпендикулярны, то считают, что угол между ними равен 90°
Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых
C
D
B
A

Описание слайда:

Практические задания
Определите, на каких рисунках изображены перпендикулярные прямые
a
b
рис. 1
a
b
рис. 3
a
b
рис. 4
a
b
рис. 5
a
рис. 2
b

Описание слайда:

Перпендикулярные прямые
а
А
В
Из точки, не лежащей на прямой,
можно провести прямую, перпендикулярную
данной прямой «а»
Длину перпендикуляра АВ называют
расстоянием от точки А до прямой а
С
Отрезок АС называют наклонной

Описание слайда:

Перпендикулярные прямые
а
Через каждую точку прямой можно провести прямую,
перпендикулярную данной, и при том только одну

Описание слайда:

Практические задания
Перерисуйте в тетрадь изображения, проведите перпендикуляры
к данным прямым из данной точки
а
а
а

Описание слайда:

Работа с учебником
Стр. 38
№ 114
№ 118
№ 120 – устно
№ 121 – устно
Домашнее задание:
параграф 5 – учить
№ 115-116

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Похожие материалы

Конспект урока Геометрия 7 класс Урок №5 Измерение углов

Конспект урока Геометрия 7 класс Урок № 4 Измерение отрезков

Конспект урока Геометрия 7 класс Урок № 3 Сравнение отрезков и углов

Конспект урока Геометрия 7 класс Урок № 2 Луч и угол

Конспект урока Геометрия 7 класс Урок № 1 Прямая и отрезок

Рабочая программа математика 10 кл 2021-2022г. А.Г. Мерзляк и Атанасян.doc

Презентация по геометрии на тему «Геометрия (7 класс)»

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5383849 материалов.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Утверждены сроки заключительного этапа ВОШ

Время чтения: 1 минута

Во Франции планируют ввести уголовное наказание за буллинг в школе

Время чтения: 1 минута

Более 50 российских школ перешли на дистанционку из-за коронавируса

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Перпендикулярные прямые и их свойства.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Определение. Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом (под углом ).

ТЕОРЕМА I : Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и, притом, только одну.

ТЕОРЕМА II : Через любую точку, не лежащую на данной прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и, притом, только одну.

Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов точку их пересечения. Эта точка называется основанием перпендикуляра.

Определение. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Перпендикулярные прямые обладают ещё другими свойствами, но мы их рассмотрим позднее, после изучения параллельных прямых.

Построение прямых углов на местности.

Изучая построение углов на местности, мы познакомились с основными инструментами, которые используются для этой цели. Но все они использовались, в основном, для измерения углов. А для построения прямых углов существует простейший прибор – экер, а также более современный прибор – теодолит (или электронный тахеометр).

Теодолит – это измерительный прибор, предназначенный для построения и измерения горизонтальных и вертикальных углов при топографических съёмках, геодезических работах, в строительстве и т.п. Основной рабочей мерой в теодолите являются лимбы с градусными и минутными делениями.

Построение прямого, как, впрочем, и любого другого угла с помощью теодолита – достаточно сложный процесс. Нам достаточно знать о его существовании, и как он выглядит.

Используя данные, отмеченные на рисунках, укажите перпендикулярные прямые.

Начертите угол и отметьте три точки: одна из которых лежит во внутренней области угла; другая – во внешней области угла; третья – на стороне угла. Проведите через эти точки прямые, перпендикулярные обеим сторонам данного угла. Запишите необходимые обозначения.

Докажите, что если биссектрисы углов и перпендикулярны, то точки и лежат на одной прямой.

На рисунке даны два угла и с общей вершиной. Стороны одного угла перпендикулярны к сторонам другого угла. Найдите эти углы, если разность между ними равна прямому углу.

Два равных тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла.

Из вершины развёрнутого угла проведены два луча, которые делят его на три равные части. Докажите, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развёрнутого угла.

Докажите, что сумма каждых трёх углов, не прилежащих один к другому и образуемых тремя прямыми, проходящими через одну точку, равна двум прямым углам.

Докажите, что сумма каждых пяти углов, не прилежащих один к другому и образуемых пятью прямыми, проходящими через одну точку, равна двум прямым углам.

Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной прямой, не имеют общих точек.

Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Докажите, что если три из четырёх углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.

С помощью угольника проведите прямые, перпендикулярные прямым, изображённым на рисунке.

На рисунке пересекаются три прямые. Запишите, какие из этих прямых перпендикулярны. Найдите остальные углы.

Даны два непересекающихся угла с общей вершиной, причём, их стороны соответственно перпендикулярны, и один угол в два раза меньше другого. Найдите эти углы.

Источник

Перпендикулярные прямые. Доказательство от противного

Тема урока. Перпендикулярные прямые. Доказательство от противного.

Цели урока:

*дать понятие перпендикулярных прямых;

*выработать у учащихся умение строить перпендикулярные прямые;

*доказать теорему о том, что через точку, лежащую на прямой, можно

провести единственную прямую, перпендикулярную к ней;

*формировать у учащихся умения выполнять упражнения на уровне

*воспитывать интерес к математике.

Тип урока: изучение материала.

Наглядность: таблицы по теме, тестовые задания, компьютер, слайды.

Просмотр содержимого документа
«Перпендикулярные прямые. Доказательство от противного»

Тема урока. Перпендикулярные прямые. Доказательство от противного.

*дать понятие перпендикулярных прямых;

*выработать у учащихся умение строить перпендикулярные прямые;

*доказать теорему о том, что через точку, лежащую на прямой, можно

провести единственную прямую, перпендикулярную к ней;

*формировать у учащихся умения выполнять упражнения на уровне

*воспитывать интерес к математике.

Тип урока: изучение материала.

Наглядность: таблицы по теме, тестовые задания, компьютер, слайды.

2.Сообщение темы и цели урока.

2. Повторение (тест-тренинг выполняется учащимися по группам на

1.Какой угол называется острым углом?

А) угол 90º; В) меньше 90º; С) больше 90º; Д) угол 180º.

2. Какой угол называется тупым углом?

А) угол 90º; В) меньше 90º; С) больше 90º; Д) угол 180º.

3. Какие углы называются смежными?

А) два острых угла; В) два тупых угла; С) два угла, у которых одна сторона

общая, а две другие являются дополнением одна другой; Д) два развёрнутых

4. Сумма смежных углов равна:

А) 180градусов; В) 360 градусов; С) 90 градусов; Д) 0 градусов.

5. Угол, смежный с острым углом:

А) тупой; В) острый; С) развёрнутый; Д) прямой.

6. Угол, смежный с тупым углом:

А) тупой; В) острый; С) развёрнутый; Д) прямой.

7. Какие углы называются вертикальными?

А) два острых угла; В) два тупых угла; С) два угла, у которых одна сторона

общая, а две другие являются дополнением одна другой; Д) если их сумма

равна 180 градусов.

А) не существуют; В) равны; С) не равны; Д) развёрнутые.

9. Один из смежных углов равен 125 градусов. Найдите второй угол.

А) 180 градусов; В) 50 градусов; С) 60 градусов; Д) 55 градусов.

10. Один из вертикальных углов, полученных при пересечении двух прямых, равен 110 градусов. Найдите остальные углы.

А) 50; 60; 120; 130 градусов. В) 70; 70; 110; 110 градусов.

С) 80; 80; 110; 110 градусов. Д) 50; 20; 110; 170 градусов.

3. Самостоятельная работа (выполнение тестовых заданий по вариантам).

1 вариант 2 вариант

1. Если ∟АВС= 140º, то этот угол

2. Если ∟ДОС= 35º, то этот угол

3. Сумма смежных углов равна

4. Будут ли углы в 125º и 85º смежными?

А)это смежные углы;В)эти углы не являются смежными;

С)нет правильного ответа.

5. Будут ли углы в 65º и 115º смежными?

А)это смежные углы; В)эти углы не являются смежными;

С)нет правильного ответа.

6. Угол, смежный с тупым углом,

А) острый угол; В) тупой угол; С) прямой угол.

7. Угол, смежный с острым углом,

А) острый угол; В) тупой угол; С) прямой угол.

8. Будут ли углы в 25º и 40º вертикальными?

А) да; В) нет; С) нет правильного ответа.

9. Вертикальные углы

А)всегда острые; В)всегда тупые; С)равны; Д)не равны.

10.Если некоторый угол острый, то вертикальный ему угол

1. Если ∟ВОД=45º, то этот угол

2. Если ∟СОВ=115º, то этот угол

3. Сумма смежных углов равна

4. Будут ли углы в 155º и 25º смежными?

А)это смежные углы; В)эти углы не являются смежными;

С)нет правильного ответа.

5. Будут ли углы в 75º и 135º смежными?

А)это смежные углы; В)эти углы не являются смежными;

С)нет правильного ответа.

6. Угол, смежный с острым углом,

А) тупой угол; В) прямой угол; С)острый угол.

7. Угол, смежный с тупым углом,

А) тупой угол; В) прямой угол; С)острый угол.

8. Будут ли углы в 50º и 75º вертикальными?

А) да; В) нет; С) нет правильного ответа.

9. Вертикальные углы

А)всегда тупые; В)равны; С)всегда острые; Д)не равны.

10.Если некоторый угол тупой, то вертикальный ему угол

4. Объяснение материала.

Пусть АВ и СD –прямые, пересекающиеся в точке О.

Известно, что при пересечении двух прямых образуется четыре угла. Один из них – угол СОВ. Пусть ∟СОВ=90º. Тогда любой из остальных углов будет либо смежным с углом СОВ, либо вертикальным с этим углом. Отсюда следует: если один из четырёх углов прямой, то остальные углы тоже прямые, значит, прямые АВ и СD пересекаются под прямым углом.

Определение. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными

(или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре

Перпендикулярность прямых АВ и СD обозначается так: АВ ┴ СD. Читается: «Прямая АВ перпендикулярна прямой СD».

Теорема. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей

прямую, и только одну.

Пусть АВ –прямая. С-любая точка прямой. Отложим от луча СВ угол, равный 90º. Получим ∟ВСD = 90º. Следовательно, прямая, содержащая луч СD, перпендикулярна прямой АВ. Значит, СD ┴ АВ.

Допустим, что кроме прямой СD существует другая прямая, проходящая через точку С и перпендикулярная прямой АВ. Обозначим эту прямую через СЕ. Значит,

∟ВСD = 90º, ∟ВСЕ = 90º. Лучи СД и СЕ принадлежат одной полуплоскости, и оба угла отложены от прямой СВ. Но от одного и того же луча в данной полуплоскости можно отложить только один угол, равный 90º. Значит, не может быть другой прямой, проходящей через точку С и перпендикулярной прямой АВ. Теорема доказана.

б)перпендикуляр к прямой.

Рассмотрим взаимно перпендикулярные прямые а и в: а ┴ в.На этих прямых обозначим точки А и В. Отрезок ВА называется перпендикуляром, проведённым из точки В к прямой а. Точка А называется основанием перпендикуляра.

Для проведения перпендикуляра из точки к прямой пользуются линейкой и чертёжным треугольником.

В

Определение. Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра,

проведённого из точки к прямой.

в) доказательство от противного.

В геометрии существует так называемый способ доказательства «от противного». Этот способ доказательства заключается в том, что делается предположение, противоположное тому, что утверждается доказываемой теоремой. Далее ход рассуждений, который проводится с опорой на аксиомы и доказанные до этого теоремы, приводит к выводу, противоречащему либо одной из аксиом, либо условию теоремы, либо доказанной до этого теореме. Основываясь на этом, делается заключение, что предположение было неверным, следовательно, верно утверждение теоремы.

Предыдущая теорема была доказана способом от противного. Теорема утверждает, что через любую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы допустили, что таких прямых две. Далее путём рассуждений пришли к выводу, противоречащему аксиоме 8 (основное свойство откладывания угла).

5. Просмотр слайдов по теме урока.

6. Закрепление материала.

Постройте отрезок DЕ = 3,6 см. Середину отрезка обозначьте буквой А. В точке А

постройте отрезок АК длиной 4 см, перпендикулярный отрезку DЕ.

К Дано:DЕ = 3,6 см. А є DЕ. DА =АЕ.

Построение:

2. DА = АЕ

7. Подведение итогов урока.

8. Задание на дом. п. 2.3-2.5, №43, №45

Самоанализ урока геометрии в 7 классе учителя математики

Рассоха Татьяны Александровны.

Данный урок является заключительным уроком главы 2 «Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые». Урок тесно связан с предыдущими уроками данной темы, опирается на ранее изученный материал «Аксиомы. Теоремы и доказательства.» Урок работает на последующие, так как учит построению перпендикуляра, доказательству от противного, что будет необходимо при изучении последующего материала.

В ходе урока было повторено понятие смежных и вертикальных углов, свойства смежных и вертикальных углов, продолжено развитие самостоятельности, логического мышления, применялись технические средства обучения (компьютеры).

Выбранная мною структура урока и его содержание рациональны для решения поставленных задач.

Урок начинается организационным моментом, на котором учащимся сообщается тема и цели урока. Далее сбор тетрадей для проверки домашнего задания. Потом следует повторение материала предыдущих уроков, для чего класс делится на группы, выполняется тренинговый тест на компьютерах. Учащиеся, советуясь в группах, отвечают на вопросы теста, что позволяет им получить дополнительную консультацию.

Далее осуществляется контроль знаний, полученных на предыдущих уроках и повторенных в результате групповой работы. Контроль знаний осуществляется при помощи тестов, составленных в двух вариантах и предложены[учащимся. Это позволяет им работать в индивидуальном темпе.

Объяснение нового материала – следующий этап урока. Параллельно идёт фронтальная работа с классом, учащие принимают участия в объяснении нового материала, «подсказывая» учителю ранее изученные факты, что позволяет им активно включиться в работу.

Просмотр слайдового материала, который следует за объяснением нового материала, позволяет учащимся повторить материал, изученный в данной главе, и конкретно на данном уроке. Просмотр слайдового материала повышает интерес учащихся к уроку.

Все поставленные цели были реализованы на уроке. Повторение и усвоение знаний учащимися осуществлялось как через индивидуальную самостоятельную работу, фронтальную работу, так и групповую. На уроке царила доброжелательная атмосфера, высокая работоспособность учащихся обеспечивалась за счёт того, что осуществлялся личностно-ориентированный подход, шло формирование и развитие умений и навыков.

Источник