Как доказать что прямая пересекает плоскость в определенной точке

Данная глава рассказывает о том, как найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью при заданных уравнениях, определяющих эту плоскость. Будет рассмотрено понятие точки пересечения прямой с плоскостью, два способа нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью.

Точка пересечения прямой и плоскости – определение

Для углубленного изучения теории необходимо начать рассмотрение с понятия точки, прямой, плоскости. Понятие о точке, прямой линии рассматривается как на плоскости, так и в пространстве. Для детального рассмотрения необходимо обратиться к теме о прямой и плоскости в пространстве.

Существует несколько вариаций расположения прямой относительно плоскости и пространства:

Если рассмотреть третий случай, то отчетливо видно, что прямая с плоскостью при пересечении образуют общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. рассмотрим данный случай на примере.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости

Была введена прямоугольная система координат О х у z трехмерного пространства. Каждая прямая имеет свое собственное уравнение, а каждая плоскость соответствует своему заданному уравнению, каждая точка имеет определенное количество действительных чисел – координат.

Чтобы подробно разобраться в теме координат пересечения, необходимо знать все виды уравнения прямой в пространстве и уравнений плоскости. в данном случае пригодятся знания о переходе от одного вида уравнения к другому.

Рассмотрим задачу, которая основывается на заданном пересечении прямой и плоскости. она сводится к нахождению координат пересечений.

Когда точка принадлежит некоторой прямой, координаты точки пересечения являются решением обоих уравнения. Из определения имеем, что при пересечении образуется общая точка. Для решения задания необходимо подставить в оба уравнения координаты точки М 0 и вычислить. Если она является точкой пересечения, то оба уравнения будут соответствовать.

Ответ: заданная точка с координатами является точкой пересечения.

Если координаты точки пересечения являются решением обоих уравнений, то они пересекаются.

Первый способ нахождения координат пересечения прямой и плоскости.

Необходимые нам координаты прямой a и плоскости α должны удовлетворять обоим уравнениям. Таким образом задается система линейных уравнений, имеющая вид

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Следует обратить внимание на тему решения систем линейных уравнений.

Так как определитель матрицы не равен нулю, система имеет только одно решение. Для этого мы применим метод Крамера. Он считается очень удобным и подходящим для данного случая.

Ответ: нет координат точки пересечения.

Применив метод Гауса, стало понятно, что равенство неверное, так как система уравнений решений не имеет.

Ответ: нет точек пересечения, так как прямая параллельна плоскости.

Подробнее этот способ будет рассмотрен на примерах, приведенных ниже.

Для решения системы, необходимо произвести подстановку. Тогда получаем, что

Источник

Точка пересечения прямой и плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой («канонический» или «параметрический» ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L₁:

,

(1)

Найти точку пересечения прямой L₁ и плоскости α (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L₁ и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L₁ лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L₁ и плоскости α.

Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же

2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L₁ в параметрическом виде:

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и плоскости α можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямой L₁ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:

Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):

(13)

Откроем скобки и найдем t:

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L₁ лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.

Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L₁ и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).

3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой L₁:

Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Ответ. Точка пересечения прямой L₁ и плоскости α имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямой L₁:

Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L₁ и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямая L₁ и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L₁:

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):

Упростив уравнение, получим:

Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L₁ удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L₁ лежит на плоскости α.

Ответ. Прямая L₁ лежит на плоскости α.

Источник

Плоскость и прямая в пространстве с примерами решения

Содержание:

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости

Определение: Уравнение вида

Определение: Порядок поверхности определяется по высшему показателю степени переменных х, у и z или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Определение: Уравнение вида Ax+By+Cz+D=O называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим частные случаи приведенного уравнения:

1. D = 0; Ах + By + Сz = 0. Из этого уравнения видно, что точка О(0; 0; 0) удов- летворяет этому уравнению, следовательно, это уравнение описывает плоскость, проходящую через начало координат (Рис. 36).

Рис. 36. Плоскость, проходящая через начало координат.

2. С = 0; Ах + Ву + D = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое значение переменной z, поэтому данное уравнение описывает плоскость, которая параллельна оси аппликат (Oz) (Рис. 37).

Рис. 37. Плоскость, проходящая параллельно оси аппликат.

Замечание: При отсутствии в уравнении плоскости одной из переменных величин говорит о том, что плоскость параллельна соответствующей координатной оси.

Рис. 38. Плоскость, проходящая через начало координат параллельно оси аппликат.

4. — плоскость проходит через точку параллельно плоскости (Pис. 39).

Рис. 39. Плоскость, проходящая параллельно координатной плоскости

Рис. 40. Координатная плоскость .

Другие уравнения плоскости

1. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть в уравнении коэффициент тогда выполним следующие преобразования

Введем следующие обозначения тогда уравнение примет вид которое называется уравнением плоскости в отрезках. Найдем точки пересечения плоскости с координатными осями:

Откладывая на координатных осях точки М, N и Р, соединяя их прямыми лучим изображение данной плоскости (для определенности принято, что параметры а, b, с положительные) (Рис. 41):

Рис. 41. Отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Из рисунка видно, что числа а, b, с показывают отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, считая от начала координат.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору. Пусть задана точка через которую проходит плоскость перпендикулярно к заданному вектору ОЗ. Вектор называется нормальным вектором плоскости, если он перпендикулярен любой паре неколлинеарных векторов, лежащих на плоскости.

Возьмем на плоскости произвольную точку и образуем вектор соединяющий точку с точкой М (Рис. 42). Тогда

Рис. 42. Плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору.

В силу того, вектор лежит в плоскости, то он перпендикулярен нормальному вектору Используя условие перпендикулярности векторов в проекциях перемножаемых векторов, получим уравнение плоскости, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору:

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через т. параллельно плоскости

Решение:

Так как искомая плоскость параллельна плоскости (Q), то нормальный вектор этой плоскости (см. коэффициенты при переменных величинах х, у и z в уравнении плоскости ) перпендикулярен к искомой плоскости и может быть взят в качестве нормального вектора этой плоскости. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору, получаем:

Пример:

Решение:

Построим на искомой плоскости вектор и вычислим нормальный вектор как векторное произведение векторов

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору имеет вид:

Отметим, что при выборе точки, через которую проходит искомая плоскость из точек брать как точку, через которую проходит искомая плоскость.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть плоскость проходит через 3 известные точки Возьмем произвольную точку плоскости М(х; у; z) и образуем векторы

Рис. 43. Плоскость, проходящая через три заданные точки.

Вектора компланарные, используя условие компланарности векторов получим уравнение плоскости, проходящей через 3 известные точки:

Замечание: Полученный определитель третьего порядка раскрывается по элементам первой строки.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Решение:

Основные задачи о плоскости в пространстве

1. Угол между пересекающимися плоскостями. Пусть даны две пересекающиеся плоскости которые имеют нормальные векторы

Пусть линия пересечения плоскостей определяется прямой (l). Из одной точки этой прямой проведем два перпендикулярных к прямой вектора Меньший угол между этими векторами определяет угол между плоскостями (Рис.44):

Рис.44. Угол между плоскостями.

В силу того, что то угол между нормальными векторами равен углу между векторами Из векторной алгебры известно, что угол между векторами определяется формулой:

Следствие: Если плоскости перпендикулярны (), то условием перпендикулярности плоскостей является равенство: .

Следствие: Если плоскости параллельны, то нормальные вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности плоскостей:

2. Расстояние от данной точки до заданной плоскости. Расстояние от данной точки до заданной плоскости определяется по формуле:

Пример:

На каком расстоянии от плоскости находится точка

Решение:

Воспользуемся приведенной формулой:

Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей:

Определение: Геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1), называется прямой в пространстве, а система уравнений (1) называется общим уравнением прямой.

Замечание: Для того чтобы система уравнений (1) определяла прямую в пространстве необходимо и достаточно, чтобы нормальные вектора плоскостей, определяющих прямую, были неколлинеарными, т.е. выполняется одно из неравенств:

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору который называется направляющим вектором прямой (см. Лекцию Ле 7), тогда ее уравнение называется каноническим и имеет вид:

Замечание: Если в уравнении (2) одна из проекций направляющего вектора равна 0, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Пример:

Как расположена прямая относительно координатных осей.

Решение:

Согласно замечанию эта прямая будет перпендикулярна осям абсцисс и ординат (параллельна оси аппликат) и будет проходить через точку Приравняв каждую дробь уравнения (2) параметру t, получим параметрическое уравнение прямой:

Пример:

Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Решение:

Приравняем каждую дробь к параметру t: Если прямая проходит через две известные точки то ее уравнение имеет вид: и называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример:

Решение:

Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки

Перейдём к параметрическому уравнению или Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки

Перейдём к параметрическому уравнению прямой

Основные задачи о прямой в пространстве

1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому. Пусть прямая задана общим уравнением Для того, чтобы перейти от этого уравнения прямой к каноническому, поступают следующим образом:

Пример:

Записать уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде.

Решение:

Запишем каноническое и параметрическое уравнения прямой:

Угол между пересекающимися прямыми

Угол между двумя пересекающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если прямые имеют направляющие вектора

соответственно, то угол между прямыми определяется по формуле:

Следствие: Если прямые перпендикулярны (), то условием перпендикулярности прямых является равенство:

Следствие: Если прямые параллельны, то направляющие вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности прямых:

Координаты точки пересечения прямой и плоскости

Пусть прямая (L) задана общим уравнением а плоскость (Q) уравнением Ax+By+Cz+D=0. Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно обоим этим объектам, то ее координаты находят из системы уравнений: Если прямая (L) задана каноническим уравнением а плоскость (Q)

Рассмотрим возможные случаи:

Пример:

Найти координаты точки пересечения прямой (L), заданной уравнением и плоскости (Q): 2x-y+3z-4=0.

Решение:

Перепишем уравнение прямой (L) в параметрическом виде Подставим найденные величины в уравнение плоскости (Q)? получим

Найденное значение параметра подставим в параметрическое уравнение прямой Таким образом, прямая пересекает заданную плоскость в точке

Угол между прямой и плоскостью

Пусть дана плоскость (Q) с нормальным вектором и пересекающая ее прямая (L) с направляющим вектором (Рис.45).

Рис. 45. Угол между прямой и плоскостью.

Угол является углом между прямой (L) и плоскостью (Q). Угол между нормальным вектором плоскости и прямой обозначим через Из рисунка видно, что Следовательно,

Следствие: Если прямая перпендикулярна плоскости (), то условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

Следствие: Если прямая параллельна плоскости (), то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны (), следовательно, условие параллельности прямой и плоскости: .

Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты А, В, С одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

Уравнения координатных плоскостей:

Прямая в пространстве может быть задана:

Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных х и у, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой.

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система равносильна системе такая прямая перпендикулярна к оси Ох. Система равносильна системе прямая параллельна оси Oz.

Пример:

Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение:

По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: Итак,

Пример:

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью

Решение:

Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнениемодновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, По формуле косинуса угла В между двумя плоскостями

Решая квадратное уравнение находим его корни откуда получаем две плоскости

Пример:

Составьте канонические уравнения прямой:

Решение:

Канонические уравнения прямой имеют вид:

Канонические уравнения прямой имеют вид:

Пример:

В пучке, определяемом плоскостями найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М (1,0,1).

Решение:

Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид где не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

Тогда уравнение плоскости, содержащей М, найдем, подставив в уравнение пучка:

Т.к. и (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид: или

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник