Как доказать что последовательность сходится

Критерий Коши сходимости последовательности.

Фундаментальная последовательность.

Последовательность \(\\>\) называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого \(\varepsilon>0\) существует такое натуральное число \(n_<\varepsilon>\), что для любого \(n\geq n_<\varepsilon>\) и любого \(m\geq n_<\varepsilon>\) справедливо неравенство \(|x_-x_| 0 \ \exists n_<\varepsilon>: \ \forall n\geq n_ <\varepsilon>\ \forall m\geq n_<\varepsilon>\rightarrow|x_-x_| 0 \ \exists n_<\varepsilon>: \ \forall n\geq n_ <\varepsilon>\ \forall p\in\mathbb\rightarrow|x_-x_| Теорема.

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость. Пусть последовательность \(\\>\) имеет конечный предел, равный a. По определению предела
$$
\forall\varepsilon>0 \displaystyle \exists N_<\varepsilon>:\forall p\geq N_<\varepsilon>\rightarrow|x_

-a| 0 \ \exists n_\varepsilon:\forall n\geq n_\varepsilon \ \forall m\geq n_\varepsilon\rightarrow|x_n-x_m| 0 \ \exists k_\varepsilon:\quad \forall k\geq k_\varepsilon\rightarrow Пример.

Доказать, что последовательность \(\\), где
$$
x_=1+\frac<1><2>+\ldots+\frac<1>,\nonumber
$$
расходится.

\(\triangle\) Последовательность \(\\>\) расходится, если не выполняется условие Коши \eqref, то есть
$$
\exists \varepsilon_0>0: \ \forall k\in\mathbb\quad\exists n\geq k\quad\exists m\geq k: \ |x_-x_|\geq \varepsilon_0.\label
$$

Таким образом, условие \eqref выполняется при \(\displaystyle \varepsilon_0=\frac<1><2>\), и в силу критерия Коши последовательность \(\\>\) расходится. \(\blacktriangle\)

Источник

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Сходимость функциональной последовательности и ряда.

Сходимость последовательности функций.

Пусть функции \(f_(x)\), \(n \in \mathbb\), определены на множестве \(E\) и пусть \(x_ <0>\in E\). Если числовая последовательность \(\(x_<0>)\>\) сходится, то последовательность функций \(\(x)\>\) сходится в точке \(x_<0>\).

Последовательность \(\(x)\>\), сходящуюся в каждой точке \(x \in E\), называют сходящейся на множестве \(E\). В этом случае на множестве \(E\) определена функция \(f(x)\), значение которой в любой точке \(x \in E\) равно пределу последовательности \(\(x)\>\). Эту функцию называют предельной функцией последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\) и пишут
$$
\lim_f_(x) = f(x),\ x \in E,\label
$$
или
$$
f_(x) \rightarrow f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или, короче,
$$
f_ \xrightarrow[E]<> f.\nonumber
$$

По определению предела запись \eqref означает, что
$$
\forall x \in E\ \forall \varepsilon > 0\ \exists N = N_<\varepsilon>(x): \forall n \geq N \rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 1.

Найти предельную функцию \(f(x)\) последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\), если:

Сходимость функционального ряда.

Пусть функции \(u_(x)\), \(n \in \mathbb\), определены на множестве \(E\) и пусть для каждого \(x \in E\) существует конечный предел последовательности \(\(x)\>\), где \(S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x)\). Тогда ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
называют сходящимся на множестве \(E\).

Если \(S(x)\) — предельная функция последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\), то есть
$$
\lim_S_(x) = S(x),\ x \in E,\nonumber
$$
то функцию называют \(S(x)\) суммой ряда \eqref и пишут
$$
\sum_^<\infty>u_(x) = S(x),\ x \in E.\nonumber
$$
Например, если \(u_(x) = x^\), \(E = (-1,1)\), то \(S_(x) = \displaystyle\frac<1-x^><1-x>\), \(S(x) = \displaystyle\frac<1><1-x>\). Если в каждой точке \(x \in E\) сходится ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>|u_(x)|\), то ряд \eqref называют абсолютно сходящимся на множестве \(E\).

Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Последовательность функций
$$
\(x)\>\nonumber
$$
называется равномерно сходящейся на множестве \(E\) к функции \(f(x)\), если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>:\ \forall n \geq N_ <\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 2.

Доказать, что последовательность \(\(x)\>\) равномерно сходится на множестве \(E\), и найти ее предельную функцию \(f(x)\), если:

Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Чтобы последовательность функций \(\(x)\>\), определенных на множестве \(E\), сходилась равномерно на этом множестве к функции \(f(x)\), необходимо и достаточно, чтобы
$$
\lim_ \sup_ |f_(x)-f(x)| = 0.\label
$$

\(\circ\) Обозначим \(\sigma_ = \displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)|\). Тогда условие \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists n_<\varepsilon>: \forall n \geq n_ <\varepsilon>\rightarrow \sigma_ 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 3.

Доказать, что последовательность \(\(x)\>\) сходится равномерно на множестве \(E\), и найти предельную функцию \(f(x)\), если:

Так как при \(x \neq 0\) справедливо неравенство \(1 + n^<\alpha>x^ <2>\geq 2n^<\alpha/2>|x|\), причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда \(n^<\alpha>x^ <2>= 1\), то есть \(|x| = n^<-\alpha/2>\), то
$$
|f_(x)-f(x)| \leq \frac<2n^<2>|x|><2n^<\alpha/2>|x|> = \frac<1>>,\ x \neq 0.\nonumber
$$
Следовательно, \(\displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)| = \frac<1>> \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(\alpha > 4\), и поэтому \(f_(x) \rightrightarrows 0\), \(x \in R\).

(критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Чтобы последовательность функций \(\(x)\>\) сходилась равномерно на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| Доказательство.

\(\circ\) Необходимость. Пусть \(f_(x) \rightrightarrows f(x)\), \(x \in E\). Тогда по определению равномерной сходимости
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>.\label
$$

Доказать, что последовательность \(\(x)\>\), где \(f_(x) = \displaystyle\frac<\ln nx><\sqrt>\), не является равномерно сходящейся на множестве \(E = (0, 1)\).

\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb\) возьмем \(p = k = n\), \(\tilde = 1/k = 1/n\). Тогда
$$
|f_(\tilde)-f_(\tilde)| = \left|f_<2n>(\frac<1>)-f_ (\frac<1>)\right| = \left|\frac<\ln 2><\sqrt<2>>-\ln 1\right| = \frac<\ln 2><\sqrt<2>> = \varepsilon_<0>,\nonumber
$$
то есть выполняется условие \eqref, и поэтому последовательность \(\(x)\>\) не является равномерно сходящейся на \(E\). \(\blacktriangle\)

Если существует предельная функция \(f(x)\) последовательности \(\(x)\>\) на множестве \(E\), но не выполняется условие \eqref, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то говорят, что последовательность \(\(x)\>\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к функции \(f(x)\).

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве \(E\) последовательность \(\(x)\>\), если:

Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\sup_|f_(x)-f(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$
то \(\(x)\>\) сходится неравномерно на множестве \(E\) к \(f(x)\).

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность \(f_(x) = n^<2>x^<2>e^<-nx>\), \(E = (0, 2)\).

\(\vartriangle\) Предельная функция \(f(x) = 0\), \(x \in E\). Так как уравнение \(f_‘(x) = n^<2>xe^<-nx>(2-xn)\) имеет на интервале (0,2) единственный корень \(x_ = 2/n\), причем \(f_‘(x) > 0\) при \(x \in (0, x_)\) и \(f_‘(x)

Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Пусть функции \(u_(x)\), \(n \in \mathbb\), определены на множестве \(E\). Обозначим
$$
S_(x) = \sum_^u_(x).\label
$$

Ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
называется равномерно сходящимся на множестве \(E\), если на этом множестве определена функция \(S(x)\) такая, что
$$
S_(x) \rightrightarrows S(x),\ x \in E.\label
$$

Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |r_(x)| 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |r_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
или
$$
\sup_|r_(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$
то ряд \eqref сходится неравномерно на множестве \(E\).

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)\), если:

(критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для того чтобы ряд \eqref равномерно сходился на множестве \(E\), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^ u_(x)\right| Доказательство.

\(\circ\) По определению равномерная сходимость ряда \eqref на множестве \(E\) означает равномерную сходимость последовательности \(\(x)\>\) на \(E\).

Согласно теореме 2 \(S_(x) \rightrightarrows S(x)\) на \(E\) тогда и только тогда, когда
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S_(x)| 0: \forall m \in \mathbb\ \exists n \geq m\ \exists p \in \mathbb\ \exists\ \tilde \in E: \left|\sum_^ u_(\tilde)\right| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве \(E\). В частности, если
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall n_ <0>\in \mathbb:\ \forall n \geq n_<0>\ \exists\ x_ \in E: |u_(x_)| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве \(E\).

Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)\) не является равномерно сходящимся на множестве \(E\), если:

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса.

Если для функционального ряда \eqref можно указать такой сходящийся числовой ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), что для всех \(n \geq n_<0>\) и для всех \(x \in E\) выполняется условие
$$
|u_(x)| \leq a_,\label
$$
то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).

\(\circ\) Согласно условию \eqref для любого \(n \geq n_<0>\), любого \(p \in \mathbb\) и для каждого \(x \in E\) выполняется неравенство
$$
\left|\sum_^u_(x)\right| \leq \sum_^|u_(x)| \leq \sum_^a_.\label
$$
Из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\) следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \rightarrow \sum_^a_ Следствие.

Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>a_\), где \(a_ = \sup_|u_(x)|\), то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве \(E\).

Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)\) сходится равномерно на множестве \(E\), если:

Признак Дирихле.

Ряд
$$
\sum_^<\infty>a_(x)b_(x),\label
$$
сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:

Условие \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |a_(x)| Пример 10.

Доказать, что при \(\alpha > 0\) ряд
$$
\sum_^<\infty>\frac<\sin nx>>,\label
$$
сходится равномерно на множестве \(E = [\delta, 2\pi-\delta]\), где \(0 Решение.

\(\vartriangle\) Если \(\alpha > 1\), то по признаку Вейерштрасса ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на \(\mathbb\), так как \(|\sin x| \leq 1\), а ряд \(\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1>>\), где \(\alpha > 1\), сходится.

Признак Абеля.

Ряд \eqref сходится равномерно на множестве \(E\), если выполняются условия:

\(\circ\) Обозначим \(B_^<(n)>(x) = \displaystyle\sum_^b_(x)\). Тогда ряд \eqref в силу теоремы 3 удовлетворяет условию Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\forall j \in \mathbb\ \rightarrow |B_^<(n)>(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^a_(x)b_(x)\right|

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref сходится равномерно на \([a, b]\), то его сумма \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).

\(\circ\) Пусть \(x_<0>\) — произвольная точка отрезка \([a, b]\). Для определенности будем считать, что \(x_ <0>\in (a, b)\).

Нужно доказать, что функция
$$
S(x) = \sum_^<\infty>u_(x)\nonumber
$$
непрерывна в точке \(x_<0>\), то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \rightarrow |S(x)-S(x_<0>)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in [a, b] \rightarrow |S(x)-S_(x)| 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \subset [a, b] \rightarrow |S_>(x)-S_>(x_<0>)| Замечание 1.

Если последовательность \(\(x)\>\) непрерывных на отрезке \([a, b]\) функций равномерно сходится на \([a, b]\), то ее предельная функция \(S(x)\) также непрерывна на отрезке \([a, b]\).

\(\circ\) Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7. \(\bullet\)

Почленное интегрирование функционального ряда.

Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке \([a, b]\) функции, а ряд \eqref сходится равномерно на \([a, b]\), то ряд
$$
\sum_^<\infty>\int\limits_a^x u_(t)\ dt,\label
$$
также равномерно сходится на \([a, b]\), и если
$$
S(x) = \sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
то
$$
\int\limits_a^x S(t)\ dt = \sum_^<\infty>\int\limits_a^x u_(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\label
$$
то есть ряд \eqref можно почленно интегрировать.

\(\circ\) По условию ряд \eqref сходится равномерно к \(S(x)\) на отрезке \([a, b]\), то есть \(S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x) \rightrightarrows S(x)\), \(x \in [a, b]\). Это означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \in N_<\varepsilon>\ \forall t \in [a, b] \rightarrow |S(t)-S_(t)| Замечание 2.

Равенство \eqref остается в силе, если заменить \(a\) на \(c\), \(x\) на \(d\), где \(a \leq c \leq d \leq b\), то есть ряд \eqref можно при условиях теоремы 9 почленно интегрировать на любом отрезке \([c, d] \subset [a, b]\).

Если \(S_(t) \rightrightarrows S(t)\), \(x \in [a, b]\), а каждая из функций \(S_(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то
$$
\int\limits_>^x S_(t)\ dt \rightrightarrows \int\limits_>^x S(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\nonumber
$$
для любой точки \(x_ <0>\in [a, b]\).

\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 9. \(\bullet\)

Почленное дифференцирование функционального ряда.

Если функции \(u_(x)\), \(n \in \mathbb\), имеют непрерывные производные на отрезке \([a, b]\), ряд
$$
\sum_^<\infty>u_‘(x),\label
$$
сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), а ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
сходится хотя бы в одной точке \(x \in [a, b]\), то есть сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x_<0>),\label
$$
то ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \([a, b]\), и его можно почленно дифференцировать, то есть
$$
S'(x) = \sum_^<\infty>u_‘(x),\label
$$
где
$$
S(x) = \sum_^<\infty>u_(x),\label
$$

\(\circ\) Обозначим через \(\tau(x)\) сумму ряда \eqref, то есть
$$
\tau(x) = \sum_^<\infty>u_‘(x),\label
$$

По теореме 9 ряд \eqref можно почленно интегрировать, то есть
$$
\int\limits_>^x \tau(t)\ dt = \sum_^<\infty>\int\limits_>^x u_‘(t)\ dt,\label
$$
где \(x_<0>,\ x \in [a, b]\), причем ряд \eqref сходится равномерно на отрезке \([a, b]\). Так как \(\displaystyle\int\limits_>^x u_‘(t)\ dt = u_(x)-u_(x_<0>)\), то равенство \eqref можно записать в виде
$$
\int\limits_>^x \tau(t)\ dt = \sum_^<\infty>v_(x),\label
$$
где
$$
v_(x) = u_(x)-u_(x_<0>).\label
$$
Ряд \eqref сходится равномерно, а ряд \eqref сходится (а значит, и равномерно сходится на отрезке \([a, b]\)). Поэтому ряд \eqref сходится равномерно на \([a, b]\) как разность равномерно сходящихся рядов.

Из равенств \eqref, \eqref и \eqref следует, что
$$
\int\limits_>^x \tau(t)\ dt = S(x)-S(x_<0>).\label
$$

Так как функция \(\tau(t)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть равенства \eqref имеет производную, которая равна \(\tau(x)\). Следовательно, правая часть \eqref — дифференцируемая функция, а ее производная равна \(S'(x)\). Итак, доказано, что \(\tau(x) = S'(x)\), то есть справедливо равенство \eqref для всех \(x \in [a, b]\). \(\bullet\)

При условиях теоремы 11 функция \(S'(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то есть \(S(x)\) — непрерывно дифференцируемая на \([a, b]\) функция.

Если последовательность \(\(x)\>\) непрерывно дифференцируемых на \([a, b]\) функций сходится хотя бы в одной точке \(x_ <0>\in [a, b]\), а последовательность \(\‘(x)\>\) сходится равномерно на \([a, b]\), то последовательность \(\(x)\>\) также сходится равномерно на \([a, b]\) к некоторой функции \(S(x)\) и
$$
S'(x) = \lim_S_‘(x),\quad x \in [a, b].\nonumber
$$

\(\circ\) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 11. \(\bullet\)

Источник

Предел последовательности

п.1. Определение последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.

Например:
1) Формула \(y_n=\frac1n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность дробей:

2) Формула \(y_n=(-1)^n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:

3) Рекуррентная формула \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_(n+2)=y_(n+1)+y_n\) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:

4) Описание «число π точностью до \(10^<-n>\)» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:

Этот ряд можно также задать формулой \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

п.2. Предел последовательности

Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.

1) \(y_n=\frac1n\) Последовательность сходится к 0

2) \(y_n=(-1)^n\) Последовательность ни к чему не сходится

3) числа Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\) Последовательность уходит на бесконечность

4) приближения числа π Последовательность сходится к π

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

И построим график (в логарифмическом масштабе):

Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_<\varepsilon>\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_\frac<1>=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_<\varepsilon>\) разность \(\left|\frac<1>-0\right|\), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

п.5. Как доказать неограниченность последовательности?

Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_n^2=+\infty\)
Ведь для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=[\sqrt]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=n^2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1\), начиная с которого
\(\left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 2\).
Что и требовалось доказать.

Показанный приём с усилением неравенства часто применяется в математическом анализе. Найденное \(N_<\varepsilon>\) немного больше «точного» значения, которое следует из исходной дроби \(\frac<3(3n^2+n+1)>\), но наша задача в том, чтобы обоснованно построить любое выражение для стартового номера \(N_<\varepsilon>\) в зависимости от ε.
Если найденный номер будет немного больше исходного – не страшно; главное, чтобы он 1) был обоснован; 2) гарантировал размещение всех последующих \(y_n,\ n\geq N_<\varepsilon>\) в ε окрестности предела b.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac<1><3\sqrt<\varepsilon>>\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3n^2+n+1>-\frac13\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 3\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\left(\frac<1><5\varepsilon>-1\right)^2\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<\sqrt><5\sqrt+1>-\frac15\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_2^n=+\infty \)
По условию: \(y_n=2^n\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin 2^n\gt M\Rightarrow n\gt \log_2M\\ N_M=\left[\log_2M\right]+1 \end Например:

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[\log_2M\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=2^n\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[M^2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Источник