Как доказать что множество является кольцом

8.1. Математические структуры. Кольца и поля

В основе математики лежит понятие множества. Множеством называют всякую совокупность каких-либо предметов.* Предметы, из которых состоит множество, называют его элементами. Если, например, в Твери 145 юристов, то можно сказать, что множество всех юристов города состоит из 145 элементов. Говорят о множестве студентов в аудитории, множестве ног тара­кана, множестве всех озер Тверской области, множестве книг в библиотеке и т. д.

* В то время как в русском языке слово «множество» означает «много».

В математике рассматриваются числовые множества, множества, состоящие из точек, прямых, векторов, мно­гочленов, функций. Они обозначаются специальными символами. Например, множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел (о последних см. наст. гл., §4) обозначают символами N, Z, Q, R и С соответственно.

Если элемент о принадлежит множеству М, то пи­шут А Î М. Например, 5 Î N, Как доказать что множество является кольцом. image052. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image052. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image052.Î R. Если все элементы множества В принадлежат также множеству А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А. Это записывается так: В Ì А. Говорят также «В содержится в А» или «В является частью А».

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется Пустым, множеством и обозначается символом Æ. По определению считается, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Математика, как и всякая другая наука, развивается путем постоянного обобщения и углубления уже имею­щихся результатов и фактов. Каждое очередное замеча­тельное открытие заставляет переосмысливать все на­копленное к этому моменту. Открытие неевклидовой геометрии, например, привело математиков к осознанию необходимости строгого обоснования основных матема­тических понятий, в том числе и тех, которыми они уже пользовались несколько столетий. Этот процесс на­чался примерно со второй половины XIX в. Одной из первых фундаментальных работ в этом направлении стало исследование аксиом геометрии, проведенное Да­видом Гильбертом, одним из величайших математиков конца XIX — первой половины XX в.

Идея Гильберта состояла в том, чтобы максимально формализовать основные математические определения. Под формализацией понимают замену интуитивного по­нятия строгим, смысл которого раскрывается в соответ­ствующей системе аксиом. Например, словами «точка» и «прямая» в системе аксиом евклидовой геометрии (см. гл. VIII, §2) обозначаются не обычные точки и прямые, с которыми мы привыкли иметь дело в школе и дома, а элементы каких-то абстрактных множеств, природа кото­рых нам безразлична, и от которых требуется только одно: чтобы они подчинялись заданной системе аксиом. С по­добными множествами мы уже имели дело, когда рас­сматривали модели геометрии Лобачевского. Там «пря­мыми» назывались хорды окружности (модель Клейна), лучи и полуокружности (модель Пуанкаре).

Помимо математической стройности ценность формального определения состоит еще и в том, что оно выяв­ляет общие свойства совершенно, казалось бы, различных математических объектов. Например, как мы отмечали в гл. I, числовые множества N, Z, Q, R имеют одинаковые алгебраические свойства: их элементы складывают, вычи­тают, умножают и делят по одним и тем же правилам:

Как доказать что множество является кольцом. image380. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image380. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image380.

Но по этим же правилам производятся операции и с а) многочленами; б) со всеми элементарными функция­ми; в) с рядами (бесконечными суммами). Как мы уви­дим, есть и другие, более сложные множества, для ко­торых справедливы свойства (1). Таким образом, в свой­ствах (1) отражены некоторые общие свойства указан­ных множеств. Любое множество с такими свойствами называется Кольцом.*

* Точнее, коммутативным и ассоциативным кольцом.

Формальное определение кольца следующее: это не­которое множество, на котором заданы две функции, одна из которых называется Сложением, а вторая — Ум­ножением; сложение и умножение должны подчиняться правилам (1), которые называются Аксиомами кольца.*

* Свойства 6) и 7) иногда не включают в систему аксиом кольца.

Аксиомы 1), 2) и 5), 6), 7) представляют собой тож­дества, которые должны выполняться для любых эле­ментов А, B и С из кольца.

Аксиома 3) означает, что в кольце должен существо­вать особый элемент, называемый Нулем, для которого равенство 3) выполняется при любом А.

Аксиома 4) утверждает, что для каждого элемента А Из кольца найдется (в том же кольце!) Противоположный ему элемент –а, причем равенство 4) можно рас­сматривать как уравнение, из которого и определяется этот элемент –А.

1. Покажите, что кольцом является а) множество чет­ных чисел; б) множество чисел, кратных трем; в) мно­жество чисел, кратных четырем, и т. д.

2. Будет ли кольцом множество всех положительных рациональных чисел?

В формальном определении кольца операции сложе­ния и умножения рассматриваются как функции. Такие функции в этом курсе нам еще не встречались. Здесь сумма А + b рассматривается как функция двух пере­менных А и B, т. е. слагаемых; произведение А • b — Также как функция двух переменных А и B, т. е. сомно­жителей. Таким образом, и независимые переменные (А и B) и значения этих функций (сумма и произведение) являются не числами, а Элементами кольца.

Как видно из системы аксиом (1), операция деления в кольце, вообще говоря, отсутствует. Кольца, в кото­рых можно делить на любой элемент, кроме нуля, на­зываются Полями. Формальное определение поля полу­чается добавлением к аксиомам (1) еще одной аксиомы, обеспечивающей возможность деления. Попробуйте сфор­мулировать ее самостоятельно.

В заключение рассмотрим еще два важных примера колец.

I. Докажем, что относительно обычных операций сложения и умножения числа вида А + BКак доказать что множество является кольцом. image029. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image029. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image029. с рацио­нальными А и B образуют поле.

Обозначим рассматриваемое множество чисел через Р. Прежде всего нужно показать, что Множество Р замк­нуто относительно операций сложения и умножения, Т. е. что сложение и умножение можно рассматривать как функции со значениями во множестве Р. Иными слова­ми, нужно проверить, что сумма и произведение любых двух чисел из множества Р также принадлежат множе­ству Р, т. е. снова будут числами вида А + BКак доказать что множество является кольцом. image029. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image029. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image029..

Взяв пару чисел А + BКак доказать что множество является кольцом. image029. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image029. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image029. и С + DКак доказать что множество является кольцом. image029. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image029. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image029., где А, B, с, D Î Q, Получаем:

Как доказать что множество является кольцом. image381. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image381. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image381.

Так как А, b, с, D — это рациональные числа (дроби), то и числа, которые получились в скобках, также будут дробями. Это мы и хотели показать.

Теперь докажем, что операция деления также не вы­водит нас из рассматриваемого множества. В самом деле,

Как доказать что множество является кольцом. image382. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image382. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image382.

В скобках стоят рациональные числа, следовательно, результат деления двух любых чисел из множества Р Представляет собой число также из множества Р. Итак, числа вида А + bКак доказать что множество является кольцом. image029. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image029. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image029. образуют поле, что и требовалось доказать.

Придумайте еще один похожий пример. Подумайте также, почему знаменатель С2 – 2D2 не равен нулю? От­вет можно найти в гл. I, §2.

II. Все целые числа разделим на шесть частей, кото­рые обозначим P0, Р1. P5 и будем называть Классами вычетов по модулю 6 или просто Классами.

Источник

Кольцо (математика)

В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − «сложение» и «умножение», которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их «сумму» и «произведение», являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a+0=a, при любом a.

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5′. c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу, а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a·1=1·a=a, для любого элемента a.

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a=1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5′ очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Источник

Кольца: определение, свойства, примеры

Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции—сложение (+) и умножение (•), удовлетворяющие условиям:

1) относительно операции сложения К — коммутативнаятруппа;

2) относительно операции умножения К — полугруппа;

3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, c Как доказать что множество является кольцом. image3062. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3062. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3062.K, называется кольцом (К,+,•).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а, b Как доказать что множество является кольцом. image3188. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3188. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3188., то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L— подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b Как доказать что множество является кольцом. image3062. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3062. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3062.L выполняется а+b Как доказать что множество является кольцом. image3062. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3062. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3062.L и ab Как доказать что множество является кольцом. image3062. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3062. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3062.L.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S Как доказать что множество является кольцом. image3192. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3192. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3192.K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, •)—коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел — коммутативные кольца с единицей.

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е — единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3. Пусть K—произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены

Как доказать что множество является кольцом. image3194. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3194. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3194.

4. Пусть X — произвольное множество, К—произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х Как доказать что множество является кольцом. image3075. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3075. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3075.К, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами

где + и • — операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K. Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1) для всех a Как доказать что множество является кольцом. image3188. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3188. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3188.a Как доказать что множество является кольцом. image154. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image154. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image154.0=0 Как доказать что множество является кольцом. image154. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image154. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image154.a=0;

1) Как доказать что множество является кольцом. image3205. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3205. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3205.

2) 0=a Как доказать что множество является кольцом. image3207. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3207. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3207.(аналогично (-a)b=-(ab));

3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Поле

В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а=0, либо b=0. Но в кольце квадратных матриц порядка n>1 это свойство уже не выполняется, так как, например, Как доказать что множество является кольцом. image3209. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3209. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3209. Как доказать что множество является кольцом. image3211. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3211. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3211.= Как доказать что множество является кольцом. image3213. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3213. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3213..

Если в кольце К ab=0 при а Как доказать что множество является кольцом. image113. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image113. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image113.0, b Как доказать что множество является кольцом. image3216. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3216. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3216., то а называется левым, а b — правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.

1. В кольце функции f: R Как доказать что множество является кольцом. image3075. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3075. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3075.R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f1(x)=|x|+x; f2(x) =|x|-x. Для них f1(x)=0 при x Как доказать что множество является кольцом. image3219. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3219. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3219.и f2(x)=0 при x Как доказать что множество является кольцом. image3221. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3221. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3221., а поэтому произведение f1(x) f2(x) — нулевая функция, хотя f1(x) Как доказать что множество является кольцом. image3216. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3216. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3216.и f2(x) Как доказать что множество является кольцом. image3216. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3216. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3216.. Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.

2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:

Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).

Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а Как доказать что множество является кольцом. image3216. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3216. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3216. Как доказать что множество является кольцом. image3224. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3224. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3224.=с. Действительно, ab-ac=0 Как доказать что множество является кольцом. image3226. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3226. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3226.a(b-c)=0 Как доказать что множество является кольцом. image3226. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3226. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3226.(b-c)=0 Как доказать что множество является кольцом. image3226. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3226. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3226.b=c.

Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.

Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим,, т. е. относительно операции умножения множество K\ <0>образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.

Коммутативное кольцо Р с единицей 1 Как доказать что множество является кольцом. image113. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image113. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image113.0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.

Как доказать что множество является кольцом. image3236. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3236. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3236.= Как доказать что множество является кольцом. image3239. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3239. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3239.Как доказать что множество является кольцом. image3241. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3241. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3241.

Как доказать что множество является кольцом. image3243. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3243. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3243.

Как доказать что множество является кольцом. image3245. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3245. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3245.

Докажем, например, второе из них. Пусть х= Как доказать что множество является кольцом. image3236. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3236. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3236.и у= Как доказать что множество является кольцом. image3239. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3239. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3239.— решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc Как доказать что множество является кольцом. image3226. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3226. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3226.bd(x+y)=da+bc Как доказать что множество является кольцом. image3226. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3226. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3226.t= Как доказать что множество является кольцом. image3249. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3249. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3249.— единственное решение уравнения bdt=da+bc.

1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.

8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8

8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.

8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.

8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество действительных чисел, отличных от нуля.

8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:

а) некоммутативное кольцо;

б) коммутативное кольцо;

8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида Как доказать что множество является кольцом. image3251. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3251. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3251.с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:

8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:

8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.

8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b Как доказать что множество является кольцом. image3253. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-image3253. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка image3253., где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.

Как доказать что множество является кольцом. strelkahead. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-strelkahead. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка strelkahead.

Как доказать что множество является кольцом. 12. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-12. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка 12.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот.

Как доказать что множество является кольцом. 2. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-2. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка 2.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.

Как доказать что множество является кольцом. 5. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-5. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка 5.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам.

Как доказать что множество является кольцом. 7. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-7. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка 7.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник

Теория функций действительного переменного/Системы множеств

Система множеств — это множество, элементы которого сами являются множествами.

Содержание

Кольцо множеств [ править ]

Кольцо множеств — это непустая система множеств R <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности, то есть из A ∈ R <\displaystyle A\in <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.и B ∈ R <\displaystyle B\in <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.следует

Операции объединения и разности множеств можно выразить через операции пересечения и симметричной разности:

Из этих равенств следует, что если два множества принадлежат кольцу множеств, то данному кольцу также принадлежат их объединение и разность, то есть из

По индукции можно доказать, что кольцу множеств будет принадлежать объединение или пересечение любого конечного числа множеств данного кольца, то есть выражения вида

\bigcup _^A_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., ⋂ i = 1 n A i <\displaystyle \bigcap _^A_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Любое кольцо содержит пустое множество, так как пустое множество можно представить в виде разности

Отсюда следует, что наименьшее возможное кольцо множеств — это система множеств, содержащая только пустое множество.

Другими словами, единица системы множеств — это такое множество, что все другие множества данной системы являются его подмножествами.

Алгебра множеств — это кольцо множеств с единицей.

Теорема 1. Пересечение

любого множества колец множеств есть кольцо множеств.

Докажем теорему для случая пересечения двух колец множеств.

Из первого и третьего включения следует, по определению кольца множеств, что

Аналогичным образом из второго и четвертого включения можно вывести, что

Отсюда следует, что пересечение S = S 1 ∩ S 2 <\displaystyle <\mathfrak >=<\mathfrak >_<1>\cap <\mathfrak >_<2>> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.двух колец множеств является, по определению, кольцом множеств.

Для пересечения произвольного числа колец множеств теорема доказывается по индукции индукции.

Теорема 2. Для любой непустой системы множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.существует единственное кольцо множеств, содержащее как подмножество данную систему S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.и являющееся подмножеством любого кольца множеств, содержащем S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.как подмножество.

Рассмотрим объединение всех множеств, входящих в систему S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.:

\Sigma > Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.— это совокупность всех колец множеств, содержащихся в M ( X ) <\displaystyle <\mathfrak >(X)> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.и содержащих S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.. Тогда пересечение

всех этих колец и будет искомым кольцом R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Действительно, каково бы ни было кольцо

будет кольцом из Σ <\displaystyle

\Sigma > Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., а следовательно

Таким образом, система B <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.действительно является наименьшим кольцом, содержащим S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.. Теорема доказана.

Кольцо, содержащее систему множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.и содержащееся в любом другом кольце, содержащем S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., называют кольцом, порождённым системой S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., или минимальным кольцом над S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.. Минимальное кольцо над S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.обозначается R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Полукольцо множеств [ править ]

называется конечным разложением множества A.

A_<2>=A\setminus A_<1>\in <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

s\geq n> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

k=1. p> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

i=1. n-1> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., то

Так как любая точка множества A n <\displaystyle A_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.принадлежит одному из множеств B k <\displaystyle B_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., то

A n = ⋃ k = 1 p B k 1 <\displaystyle A_=\bigcup _^

B_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

следовательно, по определению полукольца множеств, имеется конечное разложение

Так как множество B k 1 <\displaystyle B_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., по определению, содержит все точки, входящие одновременно и в B k <\displaystyle B_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.и A n <\displaystyle A_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., то множество C k ⊂ B k <\displaystyle C_\subset B_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.не содержит точек множества A n <\displaystyle A_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.:

А так как C k ⊂ B k <\displaystyle C_\subset B_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., то все множества набора

являются попарно непересекающимися, то и все множества

являются попарно непересекающимися.

Проведём некоторые преобразования:

Теорема 2 устанавливает тот факт, что для каждой системы множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.существует единственное минимальное кольцо, содержащее S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.. Следующая теорема позволяет построить кольцо, порождённое полукольцом.

Кольцо, порождённое полукольцом [ править ]

По теореме 2, для каждой системы множеств существует порождённое ей кольцо. Если данная система множеств является полукольцом, то можно доказать усиленную теорему, которая даёт конструктивный способ построения такого кольца.

на множества A k ∈ S <\displaystyle A_\in <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Докажем сначала, что система множеств B <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.является кольцом. Если

то имеют место разложения

B_\in <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

C i k = A i ∩ B k ∈ S <\displaystyle C_=A_\cap B_\in <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

По Лемме 1, имеют место разложения на непересекающиеся множества

F_\in <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Из этих равенств следует, что

A ∩ B = ⋃ i = 1 n ⋃ k m C i k <\displaystyle A\cap B=\bigcup _^\bigcup _^C_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., A △ B = ⋃ i = 1 n ⋃ j = 1 r i D i j ∪ ⋃ k = 1 m ⋃ t = 1 s k F k t <\displaystyle A\vartriangle B=\bigcup _^\bigcup _^>D_\cup \bigcup _^\bigcup _^>F_> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Минимальность следует из того, что R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.должно содержать все элементы полукольца S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., и следовательно, по свойствам кольца, и объединения конечного числа множеств из S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

σ-алгебры [ править ]

Иногда приходится рассматривать пересечение или объединение не только конечного, но и счётного числа множеств.

σ-кольцо с единицей называют σ-алгеброй. Естественным было бы назвать δ-кольцом с единицей δ-алгеброй, но оказывается, что это понятия тождественно понятию σ-алгеброй. Это вытекает из соотношений двойственности (законов де Моргана):

⋃ n A n = E ⋂ n ( E ∖ A n ) <\displaystyle \bigcup _A_=E\ \bigcap _(E\setminus A_)> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., ⋂ n A n = E ⋃ n ( E ∖ A n ) <\displaystyle \bigcap _A_=E\ \bigcup _(E\setminus A_)> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Таким образом σ-алгебра подмножеств множества

Неприводимая σ-алгебра — это σ-алгебра, не содержащая точек, не входящих ни в одно из A ∈ S <\displaystyle A\in <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Теорема 4. Для любой непустой системы множеств S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.существует неприводимая (по отношению к данной системе) σ-алгебра B ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., содержащая S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.и содержащаяся в любой σ-алгебре, содержащей S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Доказательсвто. Из теоремы 2 следует существование минимального кольца R ( S ) <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg., порождённого системой S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.. Единицей этой σ-алгебры будет объединение всех множеств из системы S <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg..

Системы множеств и отображения [ править ]

Справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Если N <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.— кольцо, то f − 1 ( N ) <\displaystyle f^<-1>(<\mathfrak >)> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.— кольцо.

Утверждение 2. Если N <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.— алгебра, то f − 1 ( N ) <\displaystyle f^<-1>(<\mathfrak >)> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.— алгебра.

Утверждение 3. Если N <\displaystyle <\mathfrak >> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.— σ-алгебра, то f − 1 ( N ) <\displaystyle f^<-1>(<\mathfrak >)> Как доказать что множество является кольцом. svg. Как доказать что множество является кольцом фото. Как доказать что множество является кольцом-svg. картинка Как доказать что множество является кольцом. картинка svg.— σ-алгебра.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *