Как доказать что медиана это высота

Медиана треугольника является его высотой

Какой вывод можно сделать из того, что медиана треугольника является его высотой?

Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник — равнобедренный.

Дано:

CF — высота и медиана

Сначала наметим план доказательства. Что означает, что треугольник равнобедренный? Это значит, что у него две стороны равны. Значит, нам надо доказать, что в ∆ ABC две стороны равны: AC=BC. Равенство сторон следует из равенства треугольников. Следовательно, нам нужно будет доказать равенство двух треугольников. Каких? ∆ AFC и ∆ BFC.

Что нам известно их условия задачи? CF — высота, значит, СF перпендикулярна AB, поэтому углы AFC и BFC — прямые.

Еще знаем, что CF — медиана. Значит, она делит стороны AB на две равные части: AF=BF. Таким образом, два пункта из трех для доказательства равенства треугольников уже есть.

Выделим треугольники разными цветами.

Этот прием позволяет увидеть, что сторона СF — общая.

Переходим к записи доказательства.

Рассмотрим ∆ AFC и ∆ BFC.

1) ∠AFC=∠BFC=90º (так как CF — высота треугольника ABC по условию).

2) AF=BF (так как CF — медиана треугольника ABC по условию).

3) Сторона CF — общая.

Следовательно, ∆ AFC = ∆ BFC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике все высоты и медианы совпадают, то треугольник — равносторонний (каждые две стороны между собой равны, следовательно, равны все три стороны).

Источник

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

Доказательство

Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac>> = \dfrac = \dfrac\]

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Доказательство

Источник

Свойства медианы треугольника (ЕГЭ 2022)

Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.

Эта приятная, лёгкая и полезная теория!

Медиана треугольника — коротко о главном

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана делит площадь треугольника пополам

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM

Длина медианы: \( \displaystyle <^<2>>=\frac <1>

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

Определение медианы треугольника

Это очень просто! Возьми треугольник.

Отметь на какой-нибудь его стороне середину \( \displaystyle M\).

И соедини с противоположной вершиной!

Получившийся отрезок \( \displaystyle BM\) и есть медиана.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему. При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).

Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Задача №1:

В \( \displaystyle \Delta ABC\) стороны \( \displaystyle AC=5\); \( \displaystyle BC=12\). Из вершины \( \displaystyle C\) проведена медиана \( \displaystyle CN\).

Найти \( \displaystyle AB\), если \( \displaystyle AB=2CN\).

Сразу вспоминаем, это если \( \displaystyle CN=\frac<2>\), то \( \displaystyle \angle ACB=90<>^\circ \)!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( 2:1\), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы \( \displaystyle AM\), \( \displaystyle BN\) и \( \displaystyle CK\) пересекаются в одной точке.

Задача №2:

Решение:

\( \displaystyle \angle B=90<>^\circ \) – треугольник прямоугольный!

(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём \( \displaystyle AC\) по теореме Пифагора:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Теорема о медиане и площади треугольника

Медиана делит площадь треугольника пополам

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника. \( S=\frac<1><2>a

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\).

Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)!

Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\).

Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу

1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):

«\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle AM\) «\( \displaystyle h\)» – это \( \displaystyle BH\)

\( \displaystyle \Rightarrow <_<\triangle ABM>>=\frac <1> 2) B \( \displaystyle \triangle BMC\): «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle CM\) «\( \displaystyle h\)» – это опять \( \displaystyle BH\) \( \displaystyle \Rightarrow <_<\triangle BMC>>=\frac <1> Читать далее… Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз: Теорема о трех медианах треугольника Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины. Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил? 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. 2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины. Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее. Доказательство теоремы о трех медианах треугольника Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\). Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось? Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит? А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) — поставим точку \( \displaystyle G\). Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть: Что из этого следует? Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны? Конечно же, только у параллелограмма! Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам. Снова смотрим на рисунок. Читать далее… Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз: Формула длины медианы треугольника Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем. Итак, \( \displaystyle <^<2>>=\frac <1> Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно. Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения. Как с этим справиться? Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать. ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных. Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными. В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии. ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы. В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение. Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем. Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач. Источник Медиана — это золотое сечение треугольника Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА. У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам. И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник. Медиана — это. Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка. Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС. Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА. Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр. Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок: Есть в треугольнике обычном Отрезок очень непростой Соединяет он обычно с серединой стороны любой И каждый должен знать отлично, Зовется медианой он. Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно. И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три! И выглядят они вот так. На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM. Пересечение медиан треугольника Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия. Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть. Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины. Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом: Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов. Медиана равностороннего треугольника Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть. Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой. Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам. И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине. Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади. Медиана прямоугольного треугольника Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами. Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника. Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник. Вместо заключения А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений. Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины. Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса». И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей. Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога. Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru Эта статья относится к рубрикам: Комментарии и отзывы (1) Теперь остаётся подумать над тем, как применить это знание о медиане на практике. Если придумаю, вдруг Нобелевскую премию дадут? Источник как узнать номер карты совкомбанк через приложение → Вам также понравится Vtosters что за приложение 10.07.202210.07.2022 admin 0 коаксиальный газовый котел для отопления частного дома одноконтурный 19.07.202219.07.2022 admin 0 как подключить сбп в сбербанке на андроид мобильном приложении 10.07.202217.07.2022 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email *