Как доказать что функция монотонна на промежутке

Необходимое и достаточное условие монотонности.

Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.

Теорема (необходимый признак монотонности):

1. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале возрастает, то ее производная на этом интервале неотрицательна, т.е .

2. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором интервале убывает, то ее производная на этом интервале неположительна, .

3. Если функция не изменяется, то ее производная равна нулю, т.е. .

Теорема (достаточный признак монотонности):

Пусть f(x) непрерывна на интервале (a;b) и имеет производную во всех точках, тогда:

1. Если внутри (a;b) положительна, то f(x) возрастает.

2. Если внутри (a;b) отрицательна, то f(x) убывает.

3. Если , то f(x) постоянна.

Исследование функции на экстремумы.

Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

1. Найдите область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найдите производную .

3. Найдите критические точки, т.е. точки в которых производная функции равна нулю или не существует.

4. В каждом из интервалов на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функции.

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точной максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Записать результат исследования функции промежутки монотонности и экстремума.

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке.

1. Найти производную .

2. Найти на данном отрезке критические точки.

3. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Выпуклость и вогнутость функции.

Дуга называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках.

Геометрически ясно, что выпуклая дуга лежит под любой своей касательной, а вогнутая дуга – над касательной.

Точки перегиба функции.

Точкой перегиба называется такая точка линии, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой.

В точке перегиба касательная пересекает линию, в окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной.

Интервалу убывания первой производной соответствует участок выпуклости графика функции, а интервалу возрастания – участок вогнутости.

Теорема (о точках перегиба):

Если вторая производная всюду в интервале отрицательна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, выпуклая. Если вторая производная всюду в интервале положительна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, вогнутая.

Необходимый признак точки перегиба:

Если – абсцисса точки перегиба, то либо , либо не существует.

Достаточный признак точки перегиба:

Точка есть точка перегиба линии y = f(x), если , а ;

При слева от нее лежит участок выпуклости, справа – участок вогнутости, а при слева лежит участок вогнутости, а справа – выпуклости.

Асимптоты.

Определение.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Виды асимптот:

1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одна из прямых значений или равно или .

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

2. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно .

График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

3. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если

Источник

Использование свойства монотонности функции при решении уравнений

Разделы: Математика

Оборудование: карточки с заданиями для каждого ученика.

Организационный момент: сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

Проводится фронтальный опрос учащихся:

Свойство 1. Если y=g(x) – монотонно возрастает на промежутке I и y=f(x) – монотонно возрастает на промежутке I, то y=g(x)+f(x) – монотонно возрастает на промежутке I.

Свойство 2. Если y=f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то уравнение f(x)=a имеет на I не более одного корня.

Свойство 3. Если y=f(x) возрастает на I, а y=g(x) убывает на I, то уравнение f(x)=g(x), имеет не более одного корня.

II. Решение уравнений

( Этот этап урока проходит в форме беседы учителя с учениками. Ученики, основываясь на прошлом опыте решения уравнений, предлагают свои решения. Учитель показывает им более рациональные способы решения этих уравнений)

Пример 1. Решите уравнение: x 5 +x 3 +2x-4=0.

Тогда уравнение f(x)=0 имеет не более одного корня. Испытывая делители свободного члена, находим, что x=1.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение: Функция — возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций и . Следовательно, уравнение f(x)=2 имеет не больше одного корня на [-1,45; 26]. Непосредственно проверкой убеждаемся что f(1)=0. Уравнение решено: мы нашли корень и доказали, что других корней нет.

Учащимся предлагается решить это уравнение дома с помощью возведения в квадрат лавой и правой частей уравнения, и убедится что решение будет очень громоздким.

Пример 3. Решите уравнение log₂(x+2)=1-x.

Решение: Функция y=log₂(x+2) – возрастает на (-2; +). Функция y=1-x убывает на R. Тогда уравнение log₂(x+2)=1-x имеет единственное решение при x (-2; +).

Непосредственно проверкой убедимся, что x=0 является корнем этого уравнения.

Каким еще способом можно решить это уравнение? (графически)

Пример 4. Определите число корней уравнения .

Решение: Рассмотрим функцию эта функция возрастает на области определения , тогда , т.е. f(x)4, где x D(f). Значит множеством значений функции f(x) является промежуток [+4;+).

Т.е. при a4 уравнение имеет единственное решение, при a 5 +3x=4.

IV. К доске приглашаются ученики из обоих вариантов и показывают решение уравнений

V. Подведение итогов урока и выставление оценок

[1] В.В. Локоть. Применение свойств функций, преобразование неравенств // АРКТИ, Москва 2007 г.

[2] Ю.Н. Макарычев. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класс // Просвещение, 1998 г.

[3] И.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ 10 // Просвещение, 1998 г.

[4] Е.Д. Кулакин. 3000 конкурсных задач по математике // Москва 2002 г.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №15. Возрастание и убывание функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение промежутков монотонности функции,

2) Определение алгоритма нахождения промежутков возрастания и убывания функции,

3) Решение задачи на нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₁ f(x₂)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежутки монотонности функции

1.Найдем область определения функции.

D(y) =

2.Найдем производную функции.

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на и на .

Ответ: Функция возрастает на

Функция убывает на и на .

№2. Определите промежутки монотонности функции

у = х 5 –5х 4 +5х 3 – 4.

y‘ =

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на .

Источник

Монотонность и экстремумы функции

Определение 1. Функция называется возрастающей в интервале , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует и большее значение функции.

Определение 2. Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Достаточное условие возрастания ( убывания ) функции:

Если во всех точках выполняется неравенство (причем равенство выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция возрастает в интервале .

Если в данном промежутке производная данной функции неотрицательна, то функция в этом промежутке убывает.

Справедливы и обратные утверждения.

Определение 3. Максимумом функции такое ее значение , которое больше всех ее значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точке и отличных от нее, т. е. , где — любая точка из интервала, содержащего точку ( — точка максимума ).

Определение 4. Минимумом функции называется такое ее значение , которое меньше всех других ее значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точке и отличных от нее, т. е. , где — любая точка из некоторого интервала, содержащего точку ( — точка минимума).

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Достаточное условие экстремума

Если в точке производная функции обращается в нуль или не существует, и меняет знак при переходе через эту точку, то — экстремум функции, причем:

1) функция имеет максимум в точке , если знак производной меняется с «+» на «-»;

2) функция имеет минимум в точке , если знак производной меняется с «-» на «+»%

3) функция не имеет экстремума, если знак производной не меняется.

Алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы.

Пример:

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Решение:

1. Найдем область определения: и производную данной функции:

2. Найдем критические точки.

— это две критические точки.

3. Отметим полученные точки на числовой прямой и схематически укажем знаки производной по промежуткам области определения.

— точка минимума функции, а точкой экстремума не является.

На промежутке функция убывает, а на промежутке функция возрастает.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник