Как доказать что число является составным

Как доказать что число является составным

Как доказать что число является составным. back. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-back. картинка Как доказать что число является составным. картинка back.Как доказать что число является составным. glass. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-glass. картинка Как доказать что число является составным. картинка glass.Как доказать что число является составным. content. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-content. картинка Как доказать что число является составным. картинка content.Как доказать что число является составным. glass. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-glass. картинка Как доказать что число является составным. картинка glass.Как доказать что число является составным. forward. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-forward. картинка Как доказать что число является составным. картинка forward.

Составные числа

Число так называемых простых чисел, т. е. целых чисел, больших единицы, не делящихся без остатка ни на какие другие целые числа, кроме единицы и самих себя, бесконечно велико.

Для удобства будем пользоваться условным символом n!, который обозначает произведение всех чисел от 1 до n включительно. Например 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. Мы сейчас докажем, что ряд

включительно состоит из n последовательных составных чисел.

состоит из двух слагаемых, каждое из которых кратно 3. Значит, и это число составное.

делится без остатка на 4, так как состоит из слагаемых, кратных 4.

Подобным же образом устанавливаем, что следующее число

кратно 5 и т. д. Иначе говоря, каждое число нашего ряда содержит множитель, отличный от единицы и его самого; оно является, следовательно, составным.

Если вы желаете написать, например, пять последовательных составных чисел, вам достаточно в приведенный выше ряд подставить вместо n число 5. Вы получите ряд

Или еще меньшие числа:

Попробуем теперь решить задачу:

Написать десять последовательных составных чисел.

На основании ранее сказанного устанавливаем, что в качестве первого из искомых десяти чисел можно взять

Искомой серией чисел, следовательно, может служить такая!

Однако существуют серии из десяти гораздо меньших последовательных составных чисел. Так, можно указать на серию даже не из десяти, а из тринадцати составных последовательных чисел уже во второй сотне:

Источник

Лекция 8. 22.04.20.ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Лекция 8. Простые и составные числа. Их свойства

Определение. Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно делится только на себя и на 1 (т. е. имеет ровно два разных делителя). На­туральное число называется составным, если оно имеет более 2 разных делителей.

Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 – простые, а число 18 – составное (1, 2, 3, 6, 9, 18 – его делители). Число 1 имеет только один делитель и не является ни простым, ни составным.

Таким образом, множество целых неотрицательных чисел N0 можно разделить на четыре непересекающихся подмножества:

1) <0>– множество, состоящее из одного элемента, числа 0:;

2) <1>– множество, состоящее из одного элемента, числа 1;

1) Если простое число p делится на натуральное число q ≠ 1, то q совпадает с числом p (q = p).

Доказательство. Действительно, если бы число p делилось на q и не совпа­да­ло с числом q, то оно имело бы три делителя: 1, p, q, что противоречит опре­делению простого числа. Поэтому p = q.

2) Если p и q – разные простые числа, то p не делится на q.

Доказательство. Поскольку p – простое число, то оно делится только на 1 и p. По условию pq и q – простое число, значит, q ≠ 1. Отсюда следует, что p не делится на q.

3) Всякое натуральное число a>1 имеет хотя бы один простой делитель, причем этот делитель наименьший.

Доказательство. Если число а – простое, то таким делителем числа а является само это число.

Последнее неравенство противоречит условию, что d – наименьший делитель числа а. Значит, допущение о том, что число d – составное, ошибочно.

Таким образом, наименьший делитель натурального числа а – всегда простое число.

Доказательство. Пусть число а – составное и d – его наименьший простой делитель (он существует на основании свойства 3).

Число 381 – составное, поскольку делится на 3 по признаку делимости.

Решето Эратосфена

Эратосфен – древний греческий ученый математик и астроном, который жил в III в. до н. э. Считают, что он первый составил таблицу простых чисел. В древ­ности греки писали палочками на восковых досках. Записав некоторую после­до­вательность натуральных чисел, Эратосфен прокалывал дырку, где стояли состав­ные числа. Составные числа как бы «просеивались», а оставались только простые. Дощечка выглядела подобно решету. Отсюда, возможно, и название метода Эратосфена отсеивать составные числа.

Решение. Запишем последовательность натуральных чисел от 2 до 40.

Источник

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Как доказать что число является составным. 1 1. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-1 1. картинка Как доказать что число является составным. картинка 1 1.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Простых чисел бесконечно много.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Как доказать что число является составным. 1 2. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-1 2. картинка Как доказать что число является составным. картинка 1 2.

Как доказать что число является составным. 1 3. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-1 3. картинка Как доказать что число является составным. картинка 1 3.

Как доказать что число является составным. 1 4. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-1 4. картинка Как доказать что число является составным. картинка 1 4.

Как доказать что число является составным. 1 5. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-1 5. картинка Как доказать что число является составным. картинка 1 5.

Как доказать что число является составным. 1 6. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-1 6. картинка Как доказать что число является составным. картинка 1 6.

Перейдем к формулировке теоремы.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Как доказать что число является составным. 1 7. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-1 7. картинка Как доказать что число является составным. картинка 1 7.

Ответ: 11723 является составным числом.

Источник

Задачи на простые и составные числа

Как доказать что число является составным. lfirmal 3. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-lfirmal 3. картинка Как доказать что число является составным. картинка lfirmal 3.

Задачи на простые и составные числа

Если необходимо выяснить, является ли заданное число простым, то используемый при этом подход основан на попытке разложения исследуемого числа на простые множители, нахождение его делителей, отличных по модулю от единицы и самого числа.

Пример №34.

Доказать, что число р = 389 — простое.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Пример №35.

Является ли простым число

Как доказать что число является составным. image 15043. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15043. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15043.

Решение:

Заметим, что данное число есть сумма кубов двух чисел, и разложим его на множители по соответствующей формуле:

Как доказать что число является составным. image 15046. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15046. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15046.

Поскольку число удалось разложить на произведение двух натуральных сомножителей, каждый из которых, очевидно, отличен от единицы, то это означает, по определению составного числа, что исходное число было составным.

Пример №36.

Установить, является ли число Как доказать что число является составным. image 15050. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15050. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15050.простым или составным.

Решение:

Очевидно, достаточно ограничиться рассмотрением случая натуральных n (при целых отрицательных п результат будет аналогичен, а при n = 0 число будет составным). Чтобы дать ответ на этот вопрос, попробуем разложить данное число на множители:

Как доказать что число является составным. image 15057. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15057. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15057.

Заметим, что Как доказать что число является составным. image 15058. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15058. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15058.каждый из двух сомножителей строго больше единицы (докажите это). Это означает, что исходное число — составное.

Пример №37.

Установить, является простым или составным число

Как доказать что число является составным. image 15059. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15059. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15059.

Решение:

Преобразуем данное выражение, выделив в нём полный куб разности

Как доказать что число является составным. image 15063. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15063. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15063.

Теперь разложим на множители по формуле суммы кубов:

Как доказать что число является составным. image 15072. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15072. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15072.

Очевидно, что при натуральных n оба сомножителя в этом произведении цело-численны и больше единицы. Это означает, что исследуемое число является составным.

Пример №38.

Доказать, что квадрат любого простого числа р > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.

Доказательство. Воспользуемся известным свойством, что любое простое число, большее 3, можно представить в виде Как доказать что число является составным. image 15082. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15082. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15082.. Тогда его квадрат равен Как доказать что число является составным. image 15087. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15087. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15087., откуда и вытекает требуемое утверждение.

Пример №39.

Пусть р > 5 — простое число. Доказать, что Как доказать что число является составным. image 15092. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15092. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15092.делится нацело на 24.

Доказательство.

Рассмотрим на числовой прямой три последовательных целых числа Как доказать что число является составным. image 15097. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15097. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15097.. Так как р — простое число, то р нечётно Как доказать что число является составным. image 15101. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15101. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15101.и Как доказать что число является составным. image 15106. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15106. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15106.— чётные последовательные числа, следовательно, одно из них делится на 2, а другое — на 4, но тогда их произведение Как доказать что число является составным. image 15109. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15109. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15109.делится на 8. Далее, поскольку Как доказать что число является составным. image 15112. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15112. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15112., то либо Как доказать что число является составным. image 15115. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15115. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15115., либо Как доказать что число является составным. image 15117. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15117. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15117.делится на 3, а значит, их произведение кратно 3. Итак, число Как доказать что число является составным. image 15109. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15109. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15109.делится одновременно на 8 и на 3 Как доказать что число является составным. image 15099. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 15099. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 15099.делится на 24.

Пример №40.

Найти все простые числа вида

Как доказать что число является составным. image 16266. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16266. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16266.

Решение:

Обозначим Как доказать что число является составным. image 16267. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16267. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16267.

1) Если Как доказать что число является составным. image 16268. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16268. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16268., то Как доказать что число является составным. image 16269. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16269. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16269.Как доказать что число является составным. image 16270. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16270. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16270.. При натуральных k оба сомножителя натуральны, причём второй сомножитель больше 1, поэтому Как доказать что число является составным. image 16271. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16271. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16271.может быть простым числом, только если Как доказать что число является составным. image 16272. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16272. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16272.т.е. при Как доказать что число является составным. image 16275. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16275. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16275., тогда Как доказать что число является составным. image 16276. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16276. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16276..

2) Если Как доказать что число является составным. image 16277. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16277. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16277., то имеем

Как доказать что число является составным. image 16278. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16278. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16278.

При k = 1 имеем Как доказать что число является составным. image 16279. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16279. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16279.

, =0 — не является ни простым, ни составным числом. При k > 2 оба сомножителя целочислснны и больше 1 и, значит, число будет составным. Только при k = 2 получаем простое число Как доказать что число является составным. image 16280. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16280. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16280.

Ответ: таких чисел два: 2 и 5.

Пример №41.

Доказать, что для всех простых чисел Как доказать что число является составным. image 16281. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16281. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16281.число Как доказать что число является составным. image 16282. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16282. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16282.— составное.

Решение:

1-й способ. Разложим исследуемое число на множители:

Как доказать что число является составным. image 16283. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16283. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16283.

Так как при простых Как доказать что число является составным. image 16281. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16281. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16281.оба сомножителя больше единицы (убедитесь в этом самостоятельно), то тем самым необходимое утверждение доказано.

2-й способ. Покажем, что если Как доказать что число является составным. image 16284. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16284. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16284.при делении на 5 даёт остаток 1:

1) Как доказать что число является составным. image 16295. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16295. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16295.

2) Как доказать что число является составным. image 16299. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16299. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16299.

3) Как доказать что число является составным. image 16302. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16302. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16302.

4) Как доказать что число является составным. image 16308. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16308. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16308.

Тогда число Как доказать что число является составным. image 16309. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16309. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16309.делится нацело на 5, а значит, является составным. Если же Как доказать что число является составным. image 16315. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-image 16315. картинка Как доказать что число является составным. картинка image 16315.— составное.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Как доказать что число является составным. lfirmal 3. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-lfirmal 3. картинка Как доказать что число является составным. картинка lfirmal 3.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

math4school.ru

Как доказать что число является составным. menu title 02. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-menu title 02. картинка Как доказать что число является составным. картинка menu title 02.

Как доказать что число является составным. four. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-four. картинка Как доказать что число является составным. картинка four.

Как доказать что число является составным. fon hr small. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-fon hr small. картинка Как доказать что число является составным. картинка fon hr small.

Как доказать что число является составным. fon hr small. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-fon hr small. картинка Как доказать что число является составным. картинка fon hr small.

Как доказать что число является составным. m4s up. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-m4s up. картинка Как доказать что число является составным. картинка m4s up.

Как доказать что число является составным. m4s down. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-m4s down. картинка Как доказать что число является составным. картинка m4s down.

Как доказать что число является составным. m4s up. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-m4s up. картинка Как доказать что число является составным. картинка m4s up.

Как доказать что число является составным. m4s down. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-m4s down. картинка Как доказать что число является составным. картинка m4s down.

Простые и составные числа

Как доказать что число является составным. header prostie i sostavnye chisla. Как доказать что число является составным фото. Как доказать что число является составным-header prostie i sostavnye chisla. картинка Как доказать что число является составным. картинка header prostie i sostavnye chisla.

Немного теории

Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Приведём некоторые свойства простых чисел.

Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей.

Простых чисел бесконечно много.

Если p – простое, и p делит a·b, то p делит a или b.

Mалая теорема Ферма. Если p – простое, a – натуральное, то a p – a делится на p.

Теорема Вильсона. Натуральное p > 1 является простым тогда и только тогда, когда (p – 1)! + 1 делится на p.

Постулат Бертрана. Если n > 1 – натуральное, то существует простое p, такое, что n 1 – целые взаимно простые числа, содержит бесконечно много простых чисел.

Теорема Ферма. Каждое простое число вида 4k + 1 есть сумма двух квадратов натуральных чисел.

Всякое простое число, большее 3, представимо в виде 6k + 1 или 6k – 1, где k – некоторое натуральное число.

Число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, большим 2.

Число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, большим 1.

Задачи с решениями

1. Три простых числа, каждое из которых больше 10, образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что разность прогрессии делится на 6.

Все данные простые числа нечётные, поэтому их разность делится на 2. Покажем, что она делится и на 3. Пусть данные числа a, a + d, a + 2d. Ни одно из них не делится на 3, поэтому при делении на 3 даёт остаток или 1, или 2. Следовательно, по крайней мере, два из этих чисел дают при делении на 3 одинаковые остатки. Разность этих чисел, равная d или 2d, делится на 3. Поскольку 2 на 3 не делится, то d делится на 3. Итак, разность прогрессии, которая делится на взаимно простые числа 2 и 3, делится на 6, что и требовалось доказать.

2. Докажите, что для произвольного натурального числа n найдётся натуральное m такое, что nm + 1 – составное число.

Можно выбрать m = n + 2, тогда

nm + 1 = n(n + 2) + 1 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2

является составным числом.

3. Найдите все целые числа n, для которых модуль значения трёхчлена n 2 – 7n + 10 будет простым числом.

|n 2 – 7n + 10| = |n –2| · |n – 5|,

то следует искать такие n при которых один из множителей последнего произведения равен 1, а второй является простым числом. Этому требованию удовлетворяют n = 3 и n = 4.

4. Докажите, что если числа

а) m и m 2 + 2 простые, то число m 3 + 2 тоже простое;

б) р, р – 10, р + 10 простые, то число р – 2 тоже простое.

а) Любое простое число m, отличное от 3, можно представить в виде 3n+1 или в виде 3n–1, где n – некоторое натуральное число. В первом случае можно записать

m 2 + 2 = 9n 2 + 6n +3,

m 2 + 2 = 9n 2 – 6n +3,

Так как m > 2, то в любом случае число m 2 +2 больше 3 и делится на 3, а значит является составным. Следовательно, число m 2 +2 может быть простым, только если m = 3. В этом случае m 2 +2 = 11 – простое число, m 3 +2 = 29 – тоже простое число, что и требовалось доказать.

б) Так как р – 10 = (р – 1) – 9 и р + 10 = (р + 1) + 9, то числа р – 10 и р – 1 при делении на 3 имеют одинаковые остатки, и числа р + 10 и р + 1 при делении на 3 имеют одинаковые остатки.

Из трёх последовательных чисел р – 1, р, р + 1 одно и только одно делится на 3. С учётом выше сказанного, то же утверждение верно для чисел р – 10, р, р + 10. Так как эти числа простые, то р – 10 = 3 и р = 13, поэтому р – 2 = 11 – простое число, что и требовалось доказать.

5. Сколько раз входит двойка в разложение на простые множители произведения

Ответ на поставленный вопрос получим из следующих преобразований:

6. Найдите все простые p такие, что число p 2 + 11 имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).

Если p > 5 и простое, то числа p – 1 и p + 1 оба четные, и одно из них кратно трем. Поэтому произведение (p – 1)(p + 1) делится на 12, следовательно, p 2 + 11 также делится на 12, а значит, имеет не менее семи делителей (6 делителей числа 12 и само число p 2 + 11 > 12 ). Осталось проверить p = 2 и p = 3.

Если p = 2, то p 2 + 11 = 2 2 + 11 = 15 имеет 4 делителя (1, 3, 5, 15).

Если p = 3, то p 2 + 11 = 3 2 + 11 = 20 имеет 6 делителей (1, 2, 4, 5, 10, 20).

7. Найти все натуральные числа n, для которых каждое из шести чисел

n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 и n + 15

Рассмотрим варианты. Для n = 1 число n + 3 = 4 составное.

Для n = 2 число n + 7 = 9 составное.

Для n = 3 число n + 1 = 4 составное.

Для n > 4 все наши числа больше 5 и по крайней мере одно из них делится на 5, так как числа 1, 3, 7, 9, 13 и 15 при делении на 5 дают соответственно остатки 1, 3, 2, 4, 3 и 0, то есть все возможные остатки, откуда следует, что и числа

n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 и n + 15

при делении на 5 дают все возможные остатки и, следовательно, хотя бы одно из них делится на 5 и как число, большее пяти (так как n > 4), является составным.

Но для n = 4 мы получаем простые числа 5, 7, 11, 13, 17 и 19.

8. Доказать, что каждое простое число вида 4k + 1 является длиной гипотенузы прямоугольного треугольника, стороны которого выражаются натуральными числами.

9. Сколькими способами можно раскрасить круг, разбитый на р равных секторов с помощью n красок, если р – простое число и каждый сектор раскрашиваем одной краской? Две раскраски, совпадающие при повороте круга, считаем одинаковыми.

Каждый сектор можно раскрасить в любой из n цветов, поэтому для круга с р секторами получим n p раскрасок, среди которых (n p – n) не одноцветных. Каждая из этих раскрасок поворотами переходит в (р – 1) одинаковую с ней, значит, существенно различных не одноцветных раскрасок будет (n p – n)/p, откуда общее число раскрасок равно n + (n p – n)/p.

10. Доказать, что для любого простого числа p > 5 уравнение х 4 + 4 x = p в целых числах не имеет решений.

Докажем, что если для некоторого целого значения х число

является целым, то это число либо не превосходит пяти, либо является составным.

Действительно, если х 4 + 4 0 4 + 4 1 = 5.

Если x = 2k (k – натуральное число), то число

f(x) = 2 4 k 4 + 4 2k = 2 4 ( k 4 + 4 2(k–1) )

Наконец, если x = 2k + 1 (k – натуральное число), то число

f(x) = x 4 + 4·4 2k = (x 4 + 4x 2 (2 k ) 2 + 4(2 k ) 4 ) – 4x 2 (2 k ) 2 =

= (x 2 + 2(2 k ) 2 ) 2 – (2·x·2 k ) 2 =

= (x 2 + 2·x·2 k + 2(2 k ) 2 )·( x 2 – 2·x·2 k + 2(2 k ) 2 ) =

= ((x + 2 k ) 2 + 2 2k )·((x – 2 k ) 2 + 2 2k )

так же является составным, поскольку каждый из двух сомножителей последнего произведения больше 1 (ибо 2 2k > 1 при k > 0).

Таким образом, если число p > 5 простое, то равенство х 4 + 4 x = p не выполняется ни при каких целых значениях х.

Задачи без решений

1. Известно, что р, р + 10, р + 14 – простые числа. Найдите число р.

2. Докажите, что число

3. Найдите все простые р для которых число р 2 + 14 так же будет простым числом.

4. Докажите, что уравнение х 2 + х + 1 = р·у имеет решение в целых числах (х, у) для бесконечного числа простых р.

5. Введём обозначение для суммы первых n простых чисел через Sn:

Докажите, что между числами Sn и Sn+1 всегда существует число, являющееся полным квадратом.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *