Как доказать что число является простым

Что такое Простые числа

Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Единица не является ни простым числом, ни составным.

Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).

Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).

Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).

Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4. (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).

Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.

Простые числа до 1000

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

Число Мерсенна

Простое число Мерсенна — это простое число вида:

До 1536 г. многие считали, что числа такого вида были все простыми, пока математик Ульрих Ригер не доказал, что 2 (^11) – 1 = 2047 было составным (23 x 89). Затем появились и другие составные числа (p = 23, 29, 31, 37 и др.).

Например, для p = 23 это 2 (^23) – 1 = 8 388 607; И 47 x 178481 = 8 388 607, значит оно составное.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе «Теория чисел» (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Почему 4 не является простым числом?

Простое число — это натуральное число, больше единицы, которое делится без остатка на 1 и на само себя. Т. к. 4 можно разделить на 1, на 2 и на 4, из-за деления на 2 оно не является простым.

Самое большое простое число

21 декабря 2018 года Great Internet Mersenne Prime Search (проект, целью которого является открытие новых простых чисел Мерсенна) обнаружил новое самое большое известное простое число:

Новое простое число также именуется M82589933 и в нём более чем на полтора миллиона цифр больше, чем в предыдущем (найденном годом ранее).

Источник

Как найти простые числа?

Красивые аномалии встречаются в каждом предмете, но если есть одна область красоты, с которой согласится большинство математиков, то это простое число.

Эти числа занимают уникальный пьедестал в математике, особенно в области теории чисел. Великие умы потратили бесчисленные часы для расследования этой проблемы, в том числе такие великие умы, как Пол Эрдос, Г.Х. Харди и Сриниваса Рамануджан, и это лишь некоторые из них. Теперь, прежде чем мы углубимся в различные алгоритмы, чтобы найти простые числа, давайте сначала установим предварительное понимание простых чисел.

Что такое простые числа?

Самое техническое определение простых чисел состоит в том, что это натуральное число больше 1 и может быть получено только путем умножения 1 и самого себя. Если бы понимание натуральных чисел было более интуитивным, то можно было бы сказать, что это числа, которые мы используем для подсчета.

Метод Марена Мерсенна

Марен Мерсенн Французский математик

Однако, с появлением компьютеров, они теперь могли выполнять эти вычислительные вычисления, которые раньше делались людьми самым кропотливым и трудоемким образом. Мы определенно достигли более высоких простых чисел Мерсенна и простых чисел на общем уровне. Поиск простых чисел так же активен, как и другие численные поиски, выполняемые компьютерами. Другой числовой поиск, аналогичный движению простых чисел, заключается в добавлении десятичных разрядов к некоторым иррациональным числам, таким как пи (отношение длины окружности к диаметру). Однако непрерывный поиск следующего по величине простого числа существенно сложнее, чем поиск следующей цифры числа Пи.

Даже самые большие компьютеры (суперкомпьютеры) тратят значительное количество времени, чтобы проверить, является ли новое число (которое обычно ошеломляюще огромным) само по себе простым числом, и требуется еще больше времени, чтобы проверить, является ли число основным числом Мерсенна. По этой причине числа Мерсенна представляют большой интерес в области кибербезопасности и криптографии, особенно в отношении шифрования.

В августе 2008 года системный администратор UCLA Эдсон Смит нашел наиболее значимое простое число, известное на тот момент. Смит установил программное обеспечение для Great Internet Mersenne Prime Search (Gimps), проекта распределенных вычислений на добровольной основе. Это число было простым числом Мерсенна длиной 12 978 189 цифр. Чтобы дать представление о том, насколько он велик, на его написание уйдет почти два с половиной месяца, а в случае печати он растянется на 50 км!

Метод простых чисел Ферма

Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 17 августа 1601 — 12 января 1665) — французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел.

Когда n = 0, m = 2 0 = 1; поэтому F₀ = 2 1 + 1 = 2 + 1 = 3, что является простым. Когда n = 1, m = 2 1 = 2; поэтому F₁ = 2 2 + 1 = 4 + 1 = 5, что является простым. Когда n = 2, m = 2 2 = 4; следовательно, F₂ = 2 4 + 1 = 16 + 1 = 17, что является простым. Когда n = 3, m = 2 3 = 8; следовательно, F₃ = 2 8 + 1 = 256 + 1 = 257, что является простым. Когда n = 4, m = 2 4 = 16; следовательно, F₄ = 2 16 + 1 = 65536 + 1 = 65537, что является простым числом. Теперь, как вы можете заметить, к тому времени, когда мы достигнем F₅, значение достигает 4 294 967 297.

На сегодняшний день мы достигли только F₁₁, даже со всеми лучшими компьютерами и параллельными вычислениями и большой точностью. В конце концов, однако, мы можем сказать, что поиск простых чисел всегда будет идти до бесконечности и дальше!

Источник

Как определить простое число или нет

Простые числа – это числа, которые делятся только на себя и на 1; все остальные числа называются составными числами. Существует множество способов определения того, является ли число простым. Некоторые способы являются относительно простыми, но они не подходят для больших чисел. Другие способы, применимые для больших чисел, фактически представляют собой вероятностные алгоритмы, которые иногда ошибочно характеризуют число как простое или составное.

Метод 1 Перебор делителей

Перебор делителей – самый легкий способ определить простоту числа. В случае малых чисел это, пожалуй, также и самый быстрый способ. Он основан на определении простого числа: число является простым, если оно не имеет делителей кроме самого себя и единицы.

Метод 2 Тест Ферма

В 1640 году французский математик Пьер Ферма впервые сформулировал теорему (малая теорема Ферма), которая используется при определении простоты числа. Фактически, тест Ферма служит для определения составных чисел, а не простых. Этот тест с уверенностью определяет, является ли число составным, или определяет, что число «скорее всего» простое. Тест Ферма полезен в случаях, когда перебор делителей непрактичен и когда доступен список чисел, являющихся исключениями из теоремы.

Метод 3 Тест Миллера-Рабина

Тест Миллера-Рабина эффективно определяет, является ли число составным (и лучше обрабатывает исключения, такие как числа Кармайкла).

Условие задачи 2.30

Задача 2.30
Дан одномерный массив А, состоящий из натуральных чисел. Вывести на экран количество простых чисел в массиве.

Для начала напомню, что такое простые числа.

Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя.

То есть если число делится без остатка только на 1 и на самого себя, то такое число является простым.

Например, простыми числами являются 2, 3, 5 и т.п.

А вот 4 уже не является простым, так как делится без остатка не только на 1 и 4, но ещё и на 2.

Если вы подзабыли, что такое натуральное число, то см. здесь.

А теперь перейдём к задаче. По сути нам нужна программа, определяющая простые числа. А уж перебрать элементы массива в цикле и проверить их значения — это дело техники. Заодно мы можем не только подсчитать, но и вывести на экран простые числа массива.

Как определить простое число в Паскале

Алгоритм решения с подробным разбором приведу на Паскале. Решение на С++ можете посмотреть в примере программы на С++.

ВАЖНО!
На этом многие могут ошибиться. В определении сказано, что простое число имеет ровно два различных делителя. Следовательно, число 1 не является простым (также не является простым, так как ноль можно делить на любые числа).

Проверять, является ли число простым, будем с помощью функции, которую сами и создадим. Эта функция будет возвращать TRUE, если число простое.

В функции сначала будем проверять, не является ли число меньше двух. Если да, то это уже не простое число. Если же число равно 2 или 3, то оно является однозначно простым и делать какие-то дополнительные проверки не требуется.

А вот если число N будет больше трёх, то в этом случае в цикле будем перебирать все возможные делители, начиная от 2 до (N-1). Если на какой-то делитель число N делится без остатка, значит, это тоже не простое число. В этом случае мы прерываем цикл (потому что проверять дальше нет смысла), а функция возвращает FALSE.

Проверять, делится ли число на самоё себя нет смысла (поэтому цикл длится только до N-1).

Саму функцию здесь приводить не буду — посмотрите её в примерах программ.

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Простых чисел бесконечно много.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Перейдем к формулировке теоремы.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Ответ: 11723 является составным числом.

Источник

Закономерности в распределении простых чисел

Введение

Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Такие числа представляют огромный интерес. Дело в том, что никто так и не смог полностью понять и описать закономерность по которой простые числа располагаются в ряду натуральных чисел.

Ещё до нашей эры Евклид сформулировал и доказал первые теоремы о простых числах. С тех пор математики, среди них Гаусс, Ферма, Риман, Эйлер, продолжали исследования и надо отдать им должное заметно продвинулись. Было обнаружено много интересных свойств простых чисел, выдвинуто много предположений, некоторые из которых были доказаны. Однако много гипотез связанных с простыми числами до сих пор остаются необоснованными.

Распределение простых чисел

Первостепенная задача, решение которой автоматически привело бы к решению большинства вопросов связанных с простыми числами заключается в следующем:

Получить рекуррентную формулу для очередного простого числа

Существует родственная ей задача о количестве простых чисел, не превосходящих заданной величины:

Найти функцию p(x), значение которой в точке x равно числу простых чисел на отрезке [1, x]. Где x – любое действительное число не меньшее единицы.

Функция называется функцией распределения простых чисел.

К решению вышеуказанных задач существует множество подходов. Рассмотрим некоторые из них.

Основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное число большее единицы может быть представлено в виде произведения простых множителей (причём единственным образом, с точностью до порядка множителей).

Отсюда и из определения простого числа следует, что натуральное число, большее двух, является простым тогда и только тогда, когда оно не делится ни на одно из простых чисел меньших самого себя.

Первое простое число p₁ =2. Значит все последующие простые числа должны не делится на 2, то есть иметь вид 2k+1, где k – натуральное. То есть все простые числа начиная со второго — нечётные.

Второе простое число p₂ = 3. Значит все последующие простые числа должны иметь вид 3m+1, либо 3m+2, где m – целое. Это равносильно утверждению о том, что все простые числа начиная с третьего не делятся на три. Однако при этом числа ещё должны не делится на два, то есть иметь вид 2k+1.

Решая диофантовы уравнения

найдём k и m и получим, что все простые числа начиная с p₃ обязательно представимы в виде , либо в виде , где t – целое.

И правда, какое бы простое число мы ни взяли оно представимо таким образом:

Однако обратное неверно, то есть любое натуральное число вида 6t+1 или 6t+5 не обязательно простое. Например, .

Третье простое число p₃ = 5. И если по аналогии учесть, что любое простое число, начиная с четвёртого не делится на 5, также не делится на p₁ = 2 и на p₂ = 3, то получим, что все простые числа начиная с p₄ обязательно имеют одно из представлений

Затем учтём p₄, p₅ и т.д. Проблема в том, что на каждом шаге нам придётся решать всё большую систему диофантовых уравнений, поэтому такой прямолинейный подход оказывается весьма сложным.

На самом деле, при различных попытках решения поставленной нами задачи в большом количестве случаев появляются одни и те же конструкции. Например, произведение Эйлера. Рассмотрим, как это происходит, на следующем примере.

Итак, как же найти функцию F(x)? Сначала рассмотрим множество всех натуральных чисел. Какова доля чисел, которые не делятся ни на одно из простых p₁, p₂, …, p_n?

Каждое второе число делится на p₁ = 2. Значит, часть всех чисел делится на p₁.

Каждое третье число делится на 3. Значит, всех чисел делится на p₂. При этом надо учесть, что каждое шестое число делится и на 2 и на 3 одновременно.

Значит, доля чисел не делящихся ни на 2, ни на 3 равна

Если преобразовать выражение, то оно примет вид:

Опять же можно представить выражение в виде

Будем обозначать такое произведение P(n). Кстати, если учесть все простые числа (n→∞), то мы получим обратную величину от так называемого произведения Эйлера.

Почему так происходит? Когда мы получали формулу (1), мы пользовались рассуждениями, что среди всех натуральных чисел доля, делящихся на p_n, равна . Но нельзя сделать такое утверждение о конечном наборе последовательных натуральных чисел. Например, возьмём набор 1,2, 3,4,5,6,7,8,9. Здесь 4 числа из 9 делятся на два. И несложно заметить, что отличается от . То есть, при применении к конечному набору чисел, данный метод даёт результат с некоторой погрешностью.

Это будет мешать далее получать точные формулы. Но если оценить эту погрешность, то можно (например, приняв и используя приведённые выше рассуждения) получить оценку для p_n+1-го простого числа. Однако, получение таких оценок — это тема отдельной работы. И поэтому здесь я не буду на этом останавливаться, а приведу лишь некоторые результаты, полученные математиками.

Одна из оценок для простого числа с номером n:

оценка верна для всех n, начиная с 6.

А вот формула для функции распределения простых чисел:

Для функции Риман получил приближение, используя интегральный логарифм и нетривиальные нули дзета-функции Римана. Однако, это приближение верно, только если верна гипотеза Римана. Причём если гипотеза Римана верна, то оно является наилучшим.

Гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Она, как мы могли видеть, тесно связана с простыми числами и, вообще, имеет огромное значение для теории чисел. Из-за своей важной роли в математике, гипотеза Римана была объявлена одной из семи задач тысячелетия.

Проблемы Ландау

Насчёт простых чисел выдвинуто очень много интересных гипотез. Среди них видное место занимают гипотезы Ландау (проблемы Ландау). Формулируются они так:

1. Гипотеза Гольдбаха

Можно ли любое целое чётное число, большее 2, записать в виде суммы двух простых?

2. Гипотеза о числах-близнецах

Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?

3. Гипотеза Лежандра

Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?

4. Гипотеза о почти квадратных простых числах

Существует ли бесконечно много простых чисел p вида .

Проблемы Ландау ни доказаны, ни опровергнуты по состоянию на 2020 год. Далее кратко расскажу про каждую из них.

1. Гипотеза Гольдбаха

Существуют две гипотезы Гольдбаха: слабая (тернарная) и сильная (бинарная).

Слабая гипотеза Гольдбаха: Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эту гипотезу доказал Харольд Гельфготт в 2013 году используя так называемые большие дуги. Финальная часть доказательства заняла 133 страницы.

Сильная гипотеза Гольдбаха: Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Надо заметить, что в обоих случаях гипотезы Гольдбаха простые числа не обязательно должны быть различными.

Заметьте, что в сильной гипотезе речь идёт только о чётных числах. Давайте покажем, что нечётное число не обязано быть представимо в виде суммы двух простых чисел. Просто приведём пример. Число 11 не представимо в виде суммы двух простых. Вроде бы несложно.

Но переформулируем проблему так: существует ли такое число, что любое нечётное, большее этого числа, представимо в виде суммы двух простых чисел? Давайте проверим. Пусть существует некоторое нечётное натуральное число N, такое, что любое нечётное число представимо в виде суммы двух простых чисел.

Возьмём произвольное нечётное . По предположению существуют такие простые p₁ и p₂, что . Если сумма двух натуральных чисел нечётна, то это значит, что одно из слагаемых чётно, а другое нет. Пусть для определённости p₁ – чётное. Единственное чётное простое число — это 2. Значит, . То есть, K-2 (предыдущее перед K нечётное число) является простым. Поскольку всё вышесказанное верно для любого нечётного большего N, то получается, что все нечётные числа, начиная с N-2, являются простыми. Это неверно. Если бы это было так, то при n→ ∞. Однако, как говорилось выше при n→ ∞.

Итак, не существует такого числа, начиная с которого все нечётные числа могут быть представлены в виде суммы двух простых.

А что же насчёт чётных? Гипотеза не была опровергнута, не было найдено ни одного контрпримера. Но это не значит, что их не существует. Доказать же гипотезу полностью пока никому не удалось.

2. Гипотеза о числах-близнецах

Бесконечно ли число простых чисел близнецов?

Для начала сформулируем определение. Два простых числа называются близнецами если отличаются друг от друга на 2.

Так же доказано, что существует бесконечно много простых чисел, разница между которыми составляет 246. Это наилучшая из обоснованных на данный момент оценок. Если же использовать некоторые недоказанные гипотезы о простых числах, то оценку можно улучшить.

3. Гипотеза Лежандра

Всегда ли существует, по меньшей мере, одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?

Аналогичная гипотеза доказана для кубов, начиная с некоторого n. То есть, существует, по меньшей мере, одно простое число, лежащее между и для достаточно большого n. Для квадратов же, гипотеза Лежандра пока не доказана.

4. Почти квадратные простые числа

Заключение

Как мы видим, в этой области теории чисел существует очень много пробелов, а также недоказанных гипотез. Отдельно хочется сказать про численную проверку утверждений. Например, ни для одной из гипотез Ландау не был найден контрпример, даже с использованием значительных вычислительных мощностей в течение большого времени. Однако, в истории математики 20-го и 21-го века были случаи, когда контрпример, опровергающий гипотезу, был настолько огромным числом, что его не удавалось найти с помощью вычислительных машин.

Также, постоянный интерес к простым числам обусловлен их обширным применением в криптографии. Итак, как мы убедились, исследование простых чисел — это, действительно, важная и очень интересная задача.

Источник

• как узнать номер карты совкомбанк через приложение →