Как доказать что число делится нацело

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

Источник

Метод анализа делимости нацело

Метод анализа делимости нацело. Использование признаков делимости

Рассмотрим примеры, когда при решении задачи возникает необходимость проанализировать делимость нацело того или иного целочисленного выражения.

Пример №7.

Доказать, что при любом натуральном п выражение делится нацело на 6.

Решение:

Преобразуем выражение к виду и докажем, что произведение трёх последовательных целых чисел всегда делится нацело на 6. В самом деле, каждое второе целое число кратно двум, а каждое третье — трём. Поэтому можно утверждать, что среди подряд идущих чисел п — 1, п и п + 1 по крайней мере одно делится на 2, и (одновременно с этим) одно делится на 3. Следовательно, их произведение будет делиться на 6, что и требовалось доказать.

Замечание. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 24.

Пример №8.

Доказать, что число делится нацело на 9.

Решение:

Преобразуем число к виду

Каждое из двух слагаемых делится нацело на 9 по признаку делимости на 9. Следовательно, их разность также кратна 9, что и требовалось доказать.

Пример №9.

Найти все числа вида такие, чтобы они делились без остатка на 36.

Решение:

2) Если Y = 6, то число кратно кратно 9, т.е. X = 0 или X = 9. Таким образом, нашли ещё два числа: 34056 и 34956. Ответ: 34452, 34056 и 34956.

Пример №10.

Решить уравнение в целых числах

Решение:

Заметим, что при целых X и Y в левой части уравнения стоит нечётное число, а в правой — чётное, что невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример №11.

Доказать, что уравнение не имеет целочисленных решении.

Доказательство. Достаточно заметить, что при целых X и Y выражение в левой части уравнения делится нацело на 5, а число 13 справа — нет. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Пример №12.

Существуют ли целые числа т и п , удовлетворяющие уравнению

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

Так как — всегда числа одинаковой чётности, то их произведение либо нечётно (что невозможно, так как 1998 — чётное число), либо кратно четырём. Но 1998 на 4 не делится.

Ответ: не существуют.

Пример №13.

Решить в целых числах систему уравнений

Решение:

1-й способ. Из первого уравнения системы следует, что числа x и у имеют разную чётность (если одно четно, то другое — нечётно, и наоборот). Из второго уравнения аналогично следует, что у и z — разной чётности, а из третьего, что X и Z также имеют разную чётность, что невозможно.

2-й способ. Сложив все три уравнения системы, получим следствие

Левая часть последнего равенства чётна как сумма трёх чётных чисел (поскольку произведение любых двух последовательных целых чисел всегда чётно), а правая часть — нечётна, что невозможно. Ответ: нет решений в целых числах.

Пример №14.

Известно, что 4п = 5т . Найти все натуральные числа т и n , удовлетворяющие этому равенству.

Решение:

Пример №15.

При каких наименьших натуральных значениях n и m выполняется равенство

Решение:

1) Заметим, что левая часть уравнения делится нацело на 3, следовательно, и правая часть уравнения должна делиться на 3, а значит, m должно быть кратно 3, т.е. Аналогично правая часть уравнения кратна 2, следовательно, и левая часть должна делиться на 2, а значит, n должно быть кратно 2, т.е. Подставим в уравнение:

2) Так как ; аналогично рассуждая, получим, что, так как Подставим в последнее уравнение:

3) Так как Подставим в уравнение:

Ответ:

Подбором одного из решений с последующим анализом делимости решаются в простейших случаях линейные диофантовы уравнения.

Пример №16.

На какую минимальную величину могут отличаться друг от друга натуральные числа т и п, если известно, что дробь является натуральным числом?

Решение:

Так как число 89 — простое (убедитесь в этом сами), то данная дробь является натуральным числом тогда и только тогда, когда выражение принимает значения С учётом натуральности т и п возможен только случай, когда

Это линейное диофантово уравнение. Решим его. Очевидно, пара чисел является одним из его решений. Для нахождения множества всех решений уравнения (1) вычтем из него почленно тождество , получив уравнение, равносильное уравнению (1):

Переписав последнее уравнение в виде

воспользуемся анализом делимости левой и правой частей. Так, поскольку левая часть уравнения (2) делится нацело на 3, то и правая часть, т.е. выражение должно быть кратным числу 3. Следовательно, Это означает, что найдётся такое целое , что , т.е. Подставляя в (2), находим . Итак, множество пар где образует множество всех целочисленных решений уравнения (1). Учитывая натуральность m и n, получаем:

Пример №17.

Целое число кратно 7 и при делении на 4 даёт в остатке 3. Найти остаток от деления этого числа на 28.

Решение:

По условию Приравнивая, получаем линейное уравнение

которое необходимо решить в целых числах. Подберём любую пару целых чисел (k,m), удовлетворяющих уравнению, например (l,l). Вычитая из уравнения тождество , приходим к уравнению, равносильному решаемому:

В последнем уравнении выражение справа делится нацело на 4, следовательно, Тогда что означает, что число n делится на 28 с остатком 7.

В более сложных случаях, когда подобрать решение затруднительно, последовательное применение рассмотренного подхода, основанного на анализе делимости нацело, тем не менее, помогает справиться с проблемой.

Пример №18.

Найти хотя бы одну пару целых чисел а и b , удовлетворяющих соотношению

Решение:

1) Так как и в правой части , то отсюда следует, что для того чтобы удовлетворять данному уравнению, выражение 59b должно быть кратно 3, т.е. найдётся такое , что . Подставим в уравнение, и после сокращения на 3 получим новое уравнение (заметим, что коэффициент при а уменьшился):

2) Продолжаем анализировать делимость. Поскольку в последнем равенстве число чётно, то , должно быть нечётным, а значит, и число должно быть нечётным, т.е. Подставив в последнее уравнение и сократив на 2, получим

(коэффициент при а стал ещё меньше).

3) Так как , то, следовательно, , делится на 6, т.е. После подстановки и упрощения получим:

Осталось найти b :

Таким образом, множество всех целочисленных решений исходного уравнения имеет вид

(мы переобозначили для простоты на ). Для получения одного из решений положим, например, ; тогда

Заметим в заключение, что изначально подобрать какое-либо одно решение в данной задаче было весьма затруднительно.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Как доказать что число делится нацело

Предмет изучения этой статьи – целые числа.

Такие арифметические операции, как сложение, вычитание и умножение целых чисел в результате дают так же целое число. Особое внимание следует обратить на деление двух целых чисел, т.к. результатом такого деления может быть и не целое число.

Определение: Натуральными называются целые неотрицательные числа такие, как 0,1,2…

Замечание: В пределах этой статьи под «числом» следует понимать «целое число».

Определение: Число a делится на число b (или, что то же самое, число b делит число a), если существует такое число c, что верно равенство
.
Запись факта делимости числа a на число b :
.

Этот знак, три точки, обозначает лишь то, что число делится на другое число, и совсем не проводит какое либо действие с этими числами, как например, знак +, который производит сложение двух чисел и выдает результат этого действия.

Всегда, когда при прочтении текста встречается запись , следует читать «число а делится на число b«.

Важное замечание: В формулировке некоторых теорем, утверждений и т.п. часто встречается фраза «…тогда и только тогда, когда…».

Например: «Свойство a выполняется тогда и только тогда, когда выполняется свойство b.»

Эту длинную разу можно разбить на две:
1) «Свойство a выполняется тогда, когда выполняется свойство b.»
2) «Свойство a выполняется только тогда, когда выполняется свойство b.»

Первое обозначает, что если есть b, то из него следует a, а второе обозначает обратное, что если есть a, то есть и b. При доказательстве теорем и утверждений для этих случаев используется терминология «туда» и «обратно». Фраза «необходимо и достаточно» имеет абсолютно аналогичное значение.

Встречается обозначение: , т.е. туда: и обратно: .

Замечание: При доказательстве теорем на делимость требуется посимвольное представление многозначного числа. Например, число 543. У него количество единиц – 3 шт., количество десятков – 4 шт., и 5 сотен, т.е. 5,4 и 3 – это цифры, то есть символы, и из них уже составляется число 543.

Теперь перейдем к переменным. Пусть . Как же записать число 543? Если записать , то возникает проблемка – в математике зачастую не пишется знак умножения, и в этом случае получится, что , а совсем не 543.

В случае, если требуется именно символьная запись, над числом ставят черту: . Она и говорит, что эти буквы надо воспринимать именно как символы.

Пример: Число можно представить несколькими способами:

1) Если , то
.
2) Если , то
.
3) Если , то
.

Простейшие свойства делимости:

1) (рефлексивность делимости).
2) Если и , то (транзитивность).
3) Если и , то либо , либо (антисимметричность).
4) Если и , то
.
5) Для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы .
6) Если , то
.

Но, если не вдаваться в тонкости, то для доказательств признаков делимости будут использоваться две теоремы:

Теорема 1:

Пусть — натуральные числа. Если и , то .
(Если каждое из слагаемых делится на какое-либо число, то и все сумма делится на это число.)

Доказательство:

Если и , то, по определению делимости, существуют такие числа и , что верны равенства:
.

Складываем равенства (левую часть первого равенства складываем с левой частью второго, а правую – с правой):
.
Получили, что существует такое число , что верно равенство
.

Это и означает по определению делимости, что (сумма делится на с ).

Теорема доказана.
Теорема 2:
Пусть — натуральные числа. Если , то и .
(Если в произведении хотя бы один сомножитель делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число.)
Доказательство:
Пусть дано произведение и , т.е. a можно представить как , где p — натуральное число.
Исходное произведение получается в виде:
.
Это, по определению делимости, и обозначает делимость произведения . на c.

Источник