К чему сходится ряд

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

a k является общим или k –ым членом ряда.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

Разложим исходный вариант:

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Признак Даламбера

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1

Ряд является сходящимся.

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

Интегральный признак Коши

, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Признак Раабе

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

Источник

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image002. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image002. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image002.и распишем его подробнее:

К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image004. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image004. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image004.

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image006. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image006. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image006.: если К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image008. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image008. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image008.чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях, эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image006 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image006 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image006 0000., но и его родные братья: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image010. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image010. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image010., К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image012. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image012. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image012., К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image014. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image014. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image014., …. Например:

К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image016. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image016. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image016.

Подводным камнем являются «обманки»: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image018. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image018. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image018., К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image020. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image020. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image020., К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image022. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image022. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image022.и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image008 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image008 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image008 0000.: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image024. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image024. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image024., К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image026. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image026. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image026., К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image028. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image028. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image028.. Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов.

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image030. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image030. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image030., причём, убывают монотонно.

Если выполнены эти условия, то ряд сходится.

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики, но для удобства ещё раз:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image032. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image032. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image032.. Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю.
– Члены ряда убывают по абсолютной величине.
Модуль общего члена ряда стремится к нулю: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image030 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image030 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image030 0000.

// Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image002. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image002. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image002.. Для ряда К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image032. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image032. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image032.выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:
К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image006. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image006. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image006.
А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image008. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image008. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image008..

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image010. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image010. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image010.. Рассмотрим ряд с факториалом: К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image012. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image012. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image012.Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image014. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image014. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image014..

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image034. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image034. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image034.

В общий член ряда входит множитель К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image006 0001. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image006 0001. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image006 0001., и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image037. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image037. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image037.и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image039. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image039. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image039., который чаще всего является очень простым.

К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image041. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image041. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image041.– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image899. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image899. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image899.не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

* Согласно, строгому определению предела числовой последовательности, и кроме того, в данном случае это очевидно.

Вывод: ряд расходится.

Как разобраться, чему равно К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image043. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image043. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image043.? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image045. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image045. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image045., нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image047. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image047. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image047.. Тупо убираем «мигалку»: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image049. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image049. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image049..

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image051. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image051. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image051.

Используем признак Лейбница:

1) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image032 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image032 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image032 0000.
Ряд является знакочередующимся.

2) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image054. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image054. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image054.– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image008. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image008. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image008.(К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image002. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image002. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image002.) – поскольку бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби. Таким образом, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Однако это еще не всё! Сходимость бывает разной. А именно:

– сходящийся ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image777. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image777. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image777.называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image056. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image056. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image056.;
в противном случае ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image777. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image777. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image777.сходится условно.

! Из вышесказанного очевидно следует, что любой сходящийся положительный ряд является абсолютно сходящимся.

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image058. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image058. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image058.– расходится (гармонический ряд) – тут даже без исследования обошлось.

Таким образом, наш ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image051 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image051 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image051 0000.сходится условно.

Следует отметить, что при формулировке «Исследуйте ряд на сходимость» можно рискнуть и ограничиться признаком Лейбница (т.е. просто констатировать сходимость), но таки лучше не лениться – с большой вероятностью вас попросят уточнить, сходится ли ряд абсолютно или условно.

Заметьте также, что в Примере 1 второй этап по-любому отпадает, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится.

Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы, чтобы смотреть на мир широко открытыми глазами из кабины моего экскаватора:

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image060. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image060. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image060.

Используем признак Лейбница:

1) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image062. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image062. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image062.
Данный ряд является знакочередующимся.

2) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image064. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image064. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image064.– члены ряда убывают по модулю.

Для любого номера К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image008. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image008. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image008.справедливо неравенство: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image800. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image800. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image800., а бОльшим знаменателям соответствуют меньшие дроби:
К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image016. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image016. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image016., то есть, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image002. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image002. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image002., а это означает, что убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Теперь выясним, как именно. Для этого составим и исследуем соответствующий ряд из модулей:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image066. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image066. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image066.

Анализируя начинку, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image068. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image068. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image068.

Сравним данный ряд со сходящимся рядом К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image070. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image070. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image070.. Используем предельный признак сравнения.

К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image072. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image072. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image072.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image074. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image074. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image074.сходится вместе с рядом К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image070 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image070 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image070 0000..

Таким образом, ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image060. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image060. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image060. сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image077. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image077. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image077.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image079. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image079. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image079.

Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока.

Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, который многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image081. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image081. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image081.

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image083. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image083. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image083.– члены ряда убывают по модулю. Осталось показать монотонность убывания. Неравенство К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image002. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image002. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image002.здесь обосновать трудно и поэтому мы проявим разумную хитрость, расписав несколько конкретных членов и всю цепочку:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image801. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image801. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image801.
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image802. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image802. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image802.– не лишним будет взять в руки калькулятор, и убедиться в справедливости первых неравенств (хотя, это, конечно, некорректная проверка).

Вывод: ряд сходится.

Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но от непреодолимой лени в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально, всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Помните об «обманках» К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image018 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image018 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image018 0000., К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image020 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image020 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image020 0000., К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image022 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image022 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image022 0000.– если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.

Выясним характер сходимости ряда:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image085. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image085. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image085.

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image087. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image087. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image087.

Таким образом, ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image089. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image089. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image089.сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image091. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image091. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image091.

Это пример для самостоятельного решения. Хммм… что-то я немного погорячился на счет простоты.

Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image093. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image093. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image093.

Используем признак Лейбница:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image095. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image095. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image095.

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно знать, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Примечание: понятие порядка роста функции подробно освещено в статье Методы решения пределов. У нас пределы последовательностей, но это не меняет сути.

Если числитель К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image097. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image097. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image097.при К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image099. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image099. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image099.растёт быстрее факториала, то К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image101. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image101. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image101.. Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image103. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image103. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image103.. А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу?

Попробуем записать несколько первых членов ряда:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image105. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image105. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image105.
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image107. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image107. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image107.
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image109. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image109. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image109.

Создается стойкое впечатление, что К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image101 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image101 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image101 0000., но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль?

Обратимся к теории математического анализа, для того она и существует:

Справка:

– Факториал растёт быстрее, чем показательная последовательность К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image803. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image803. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image803., иными словами: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image111. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image111. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image111.или К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image113. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image113. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image113.. Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. То есть, факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее, чем степеннАя последовательность К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image804. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image804. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image804.или многочлен, иными словами: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image115. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image115. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image115.или К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image117. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image117. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image117.. Вместо К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image119. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image119. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image119.можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. То есть и здесь факториал более высокого порядка роста.

– Факториал растёт быстрее произведения показательной К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image803. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image803. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image803.и степенной последовательностей К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image804. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image804. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image804.(наш случай). А также быстрее произведения и бОльшего количества таких множителей.

И, раз пошла такая пьянка:

– Показательная последовательность К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image803. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image803. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image803.растёт быстрее, чем степенная последовательность К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image804. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image804. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image804., например: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image121. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image121. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image121., К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image123. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image123. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image123.. Аналогично факториалу, она «перетягивает» произведение степенных последовательностей: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image125. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image125. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image125..

– А есть ли что-нибудь «круче» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image805. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image805. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image805.растёт быстрее, чем К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image129. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image129. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image129.. На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Таким образом, второй пункт исследования (вы еще о нём помните? =)) можно записать так:
2) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image127. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image127. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image127.– члены ряда монотонно убывают по модулю (так как К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image129. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image129. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image129.более высокого порядка роста, чем К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image097 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image097 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image097 0000.).

Достаточно! О том, что члены начинают убывать лишь с некоторого номера «эн», лучше благоразумно умолчать – по той причине, что найти этот номер не так-то просто, а лишние вопросы вам ни к чему 😉 Ещё труднее показать монотонность убывания, поэтому просто констатируем этот факт. Здесь вас с высокой вероятностью «простят»

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из модулей членов:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image132. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image132. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image132.

А тут уже работает старый добрый признак Даламбера:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image134. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image134. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image134.

Таким образом, ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image089 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image089 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image089 0000.сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Разобранный пример можно решить другим способом.

Теорема: если ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image089 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image089 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image089 0000.сходится, то сходится и ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image777. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image777. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image777.

Пример 8 «на бис» вторым способом.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image093 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image093 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image093 0000.

Решение: исследуем сходимость ряда, составленного из модулей:

К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image132 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image132 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image132 0000.

Используем признак Даламбера:

только что печатал

Таким образом, ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image089 0001. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image089 0001. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image089 0001.сходится, а значит, по соответствующей теореме, сходится и исследуемый ряд, причём, ясно как день – абсолютно.

Вывод: ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image093 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image093 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image093 0000. сходится абсолютно.

Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит хитро… смекалку студента и забракует задание. А может и не забракует. Ибо условие не предписывает использовать именно признак Лейбница (но обычно это всё же подразумевается).

И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image137. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image137. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image137.

Исследовать ряд на сходимость К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image139. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image139. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image139.

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Пример 4: Используем признак Лейбница:

1) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image141. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image141. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image141.данный ряд является знакочередующимся.
2)
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image143. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image143. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image143.
Члены ряда не убывают по модулю, следовательно, предела К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image900. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image900. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image900.не существует, и ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Вывод: ряд расходится.
Примечание: в данном примере неопределенность К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image145. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image145. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image145.устраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image147. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image147. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image147.

Пример 5: Используем признак Лейбница.
1) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image149. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image149. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image149.ряд является знакочередующимся.
2) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image151. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image151. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image151.– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image018. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image018. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image018., т.е. убывание монотонно.

Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним как именно:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image153. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image153. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image153.
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image155. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image155. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image155.. Используем предельный признак сравнения:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image157. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image157. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image157.– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image089 0002. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image089 0002. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image089 0002.расходится вместе с гармоническим рядом.
Таким образом, ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image079. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image079. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image079. сходится условно.

Пример 7: Используем признак Лейбница.
1) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image160. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image160. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image160.ряд является знакочередующимся.
2) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image162. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image162. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image162.– члены ряда убывают по модулю. Найдём модуль К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image799. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image799. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image799.-го члена: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image798. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image798. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image798.. Для любого номера К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image008. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image008. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image008.справедливо неравенство :

К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image797. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image797. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image797.( К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image002. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image002. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image002.), т.е. члены убывают монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем характер сходимости:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image164. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image164. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image164.
Используем признак Даламбера:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image166. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image166. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image166.
Таким образом, рядК чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image089 0003. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image089 0003. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image089 0003. сходится.
Ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image091. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image091. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image091.сходится абсолютно.

Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним какие-нибудь соседние члены ряда:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image169. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image169. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image169.и К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image171. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image171. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image171., следующий член ряда к предыдущему: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image173. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image173. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image173.
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image171 0000. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image171 0000. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image171 0000.и К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image176. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image176. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image176., следующий член ряда к предыдущему: К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image178. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image178. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image178.

К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image180. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image180. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image180.

Таким образом, ряд сходится. Выясним, абсолютно или условно:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image190. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image190. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image190.
Используем признак Даламбера:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image192. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image192. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image192., следовательно , ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image089 0004. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image089 0004. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image089 0004.сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 10: Используем признак Лейбница.
1) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image195. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image195. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image195.
Ряд является знакочередующимся.
2) К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image197. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image197. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image197.– члены ряда убывают по модулю, и очевидно, что К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image790. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image790. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image790. каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: К чему сходится ряд. leibnica primery reshenii clip image002. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-leibnica primery reshenii clip image002. картинка К чему сходится ряд. картинка leibnica primery reshenii clip image002., т.е. убывание монотонно.

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд, составленный из модулей:
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image199. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image199. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image199.
Используем интегральный признак.
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image201. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image201. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image201.
Подынтегральная функция непрерывна на К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image203. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image203. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image203..
К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image205. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image205. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image205.
Таким образом, ряд К чему сходится ряд. priznak leibnica primery reshenii clip image089 0005. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-priznak leibnica primery reshenii clip image089 0005. картинка К чему сходится ряд. картинка priznak leibnica primery reshenii clip image089 0005.расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследуемый ряд сходится условно.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

К чему сходится ряд. mark. К чему сходится ряд фото. К чему сходится ряд-mark. картинка К чему сходится ряд. картинка mark. Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *