что возрастает быстрее факториал или степенная функция
Какая функция растет быстрее, экспоненциальная или факториальная?
Какая функция растет быстрее, экспоненциальная (например, 2^n, n^n, e^n и т.д.) или факториальная (n!)? Ps: Я только что где-то прочитал, что n! растет быстрее, чем 2^n.
n! в конечном итоге растет быстрее, чем экспонента с постоянным основанием (2^n и e^n), но n^n растет быстрее, чем n!, поскольку основание растет по мере увеличения n.
Каждый член после первого в n^n больше, поэтому n^n будет расти быстрее.
Что касается других случаев, читайте дальше:
Мы используем формулу Стирлинга и основные манипуляции с логарифмами:
Я хочу показать вам более графический метод очень легко доказать. Мы’ре собирается использовать разделение на график функции, и он будет показывать очень легко нам это.
Позвольте’ы использовать простой и скучный функции отдела, чтобы объяснить свойство деления.
Как увеличивает, оценка этого выражения также увеличивается. А уменьшается б, в оценке этого выражения также уменьшается.
Используя эту идею, можно построить график, основываясь на том, что мы рассчитываем на увеличение и планируете уменьшить, и сделать сравнение, какой растет быстрее.
В нашем случае, мы хотим знать, является ли экспоненциальных функций будет расти быстрее, чем факториалы, или наоборот. У нас есть два случая, постоянной переменной экспонента и факториал переменной, а переменной степени против переменной факториал.
Графики этих инструментов с desmos (никаких связей, он’s просто хороший инструмент), показывает нам это:
График постоянная в переменной степени, против переменной факториал
Хотя изначально кажется, что экспоненциальный выражений увеличивается быстрее, чем она попадает в точку, где она уже не растет так быстро, и вместо того, факториал выражения растет быстрее.
График переменной к переменной степенью, против переменной факториал
Хотя он первоначально, кажется, медленнее, она начинает стремительно расти после ссылки, поэтому можно сделать вывод, что экспоненциальный должна быть возрастающей быстрее, чем факториал.
Вопрос по Главе 7. Задача про скорость роста функций
Расположите следующие 4 функции в порядке увеличения скорости роста (каждая функция есть O(следующая)), не исключено, что некоторые функции имеют одинаковую скорость
1) f1(n) = n!;
2) f2(n) = n2;
3) f3(n) = ln n ;
4) f4(n) = n(ln n).
А поясните, пожалуйста, почему Вы так считаете? Спасибо
1. Любой полилогарифм растет быстрее любого полинома. Значит, ln n=O(n). Следовательно, ln n=O(n (ln n)), т.к. n (ln n) растёт ещё быстрее, чем n.
2. Из ln n=O(n) также следует, что n(ln n)=O(n^2).
3. Факториал по скорости роста обгоняет даже показательную функцию, а любая показательная функция растёт быстрее полинома. Значит, n^2=O(n!). Можно ещё следующим образом показать, что факториал «больше» полинома. Чем выше степень полинома, тем он быстрее растёт. Например, n^2=O(n^3), n^3=O(n^5) и т.д. Представим факториал в виде произведения: n!=n*(n-1)*(n-2)*. *1. Если раскрыть первые 3 скобки, мы уже получим функцию, «не меньшую» чем n^3. Следовательно, т.к. n^2=O(n^3), то n^2=O(n!).
Ольга, но ведь n * (ln n) растёт в n раз быстрее, чем ln n.
Кроме того, где сравнение функций ln n и n * (ln n) с функцией n!?
Т.к. n^2=O(n!) и n*ln n=O(n^2), то n*ln n=O(n!).
Т.к. n*ln n=O(n!) и ln n=O(n*ln n), то ln n=O(n!).
Отношение «расти быстрее» транзитивно, поэтому сравнивать функции, которые «меньше» n^2, с факториалом особого смысла нет.
По поводу первого замечания: n * (ln n) действительно растет быстрее, чем ln n. Только я не поняла, к чему данное замечание относилось. Поясните, пожалуйста.
Значит, в Вашем первом ответе опечатка,
А по условиям задачи мы умеем следующее:
Следовательно, в Вашем ответе функция ln n растёт быстрее, чем n(ln n).
А про факториал, поправьте пожалуйста, если не прав, я читал, что это самая быстро растущая функция.
В моём ответе всё верно. В задании просят расположить функции в порядке увеличения скорости роста, т.е. ln n, n*ln n, n^2, n!, или f3, f4, f2, f1.
Поправка: в данном случае речь идёт о множестве не действительных чисел, а натуральных.
Другое дело, что скорость роста n! не слишком хороша для сравнения, и не очень понятно, где ее можно использовать. Удобнее пользоваться показательной функцией (экспонентой).
Извините, для какого сравнения не слишком хороша скорость роста факториала?
Тут я ошибся, переклинило и я решал обратную задачу, вот и всё. выше про это уже извинялся.
EugenO, не согласен, мы же смотрим не значения в точках, а скорость роста функции.
Или же, поясните подробнее, в чём именно на Ваш взгляд выражено это не удобство в сравнении.
Для меня удобство экспоненты в том, что она очень хороша для анализа. Она легко представима в виде a^x, элементарно дифференцируема (скорость роста) и интегрируема, причем многократно, связана со вторым замечательным пределом, кроме того, интуитивно (для меня) понятна, я ее график много раз рисовал в детстве и с удовольствием ассоциирую с всевозможными процессами, происходящими в реальной жизни, поэтому вижу естественным применение в асимптотике. В то же время не смогу указать ни одного естественного инерционного процесса, который изменялся бы «со скоростью выше экспоненциальной». Кстати, известна Stirling’s approximation для оценки факториала, а оценки экспоненты через факториал что-то не припомню (наверное, в ней смысла нет).
Хотелось бы узнать, зачем при анализе сложности алгоритмов Вы дифференцируете, интегрируете (причем многократно) экспоненту, как используете второй замечательный предел и формулу Стирлинга. Я не отрицаю, что, возможно, в теории сложности вычислений без этого нельзя обойтись. К сожалению, в данной области у меня очень скромный опыт((. А Вы, наверное, в этом вопросе отлично разбираетесь (может, даже на профессиональном уровне!). Поэтому очень интересно посмотреть, как применяет математический, комплексный и функциональный анализы в асимптотике настоящий специалист. Приведите, пожалуйста, пример.
Является ли факториал самой быстрорастущей формулой?
Дан файл, содержащий строки. Если третья строка не является самой длинной или самой короткой, то скопировать в новый
Я сделал половину, но здесь почему то max и min он выводит нули, следовательно он не может считать.
Является ли формулой следующее выражение?
Добрые люди помогите решить пару задачек: 1. Исходя из определения логической.
Является ли данное выражение формулой
Помогите, пожалуйста, установить, является ли данное выражение формулой, а если да, то определить.
Проверить, что выражение является формулой
Ребят подскажите пожалуйста. ∃x∀yA(x,y)&B(x,y) ; от чего оттолкнутся? А&B является.
Решение
Igor, строго обоснования это не даст,но увидеть закономерность можно.
Добавлено через 39 секунд
Зотов_из_ОСА, чем вам не подходит вариант,который я предложил в первом сообщении?
Решение
контекст есть, но я его дословно не помню. Своими словами: самая быстрорастущая функция среди функций имеющих широкое применение.
Гамма функция, двойная экспонента и им подобные применяются при необходимости.
Например зачем обычному студенту вообще знать о существовании таких чисел
, которые даже суперкомпьютер обработать не в состоянии.
Если кто-то считает что я не прав, скажите пожалуйста в каком Универе проходят такие вещи. В ЮФУ до такой степени не заморачиваютя.
GpHUO7uk, вы о такой знаете или вычитали специально для комментария.
Товарищ модератор Catstail ваш пост заставил задуматься и создать новую тему.
Добавлено через 3 часа 17 минут
я подумал и решил ее не создавать. вопрос был относительно факториала и и то в рамках функций учебной программы. Дальнейшее придумывание «самых быстрорастущих функций» считаю неуместным.
Установить, является ли данное выражение формулой
Нужна ваша помощь. Необходимо установить, является ли данное выражение формулой Если да, то.
Является ли данная строка символов пропозициональной формулой?
Задание №1. Написать программу для реализации следующего алгоритма определения является ли данная.
Доказать, что данное выражение является формулой
Пользуясь определением формулы исчисления высказываний проверить является ли данное выражение.
Определить, является ли данная строка символов пропозициональной формулой
РЕБЯТ ПОМОГИТЕ МНЕ ПОЖАЛУЙСТА КТО МОЖЕТ НАПИСАТЬ ПРОГРАММУ.ОЧЕНЬ СРОЧНО НАДО.Я ПРОБОВАЛА НАПИСАТЬ.
Что растет быстрее факториал или степенная функция.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт. Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «. дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось. к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса. » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
среда, 4 июля 2018 г.
Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.
Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.
Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.
Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.
Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».
воскресенье, 18 марта 2018 г.
Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.
1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.
3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.
4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.
Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.
Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.
Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.
Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
Открывает дверь и говорит:
Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?
Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,
Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:
Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.
Обозначается вот так: n! То есть,
Рассмотрим не очень понятное с точки зрения определения факториала выражение 0! Так уж в математике договорились, что
Следующие два очень похожих свойства:
Доказываются они элементарно. Прямо по смыслу факториала.)
Во-вторых, с помощью этих формул можно упрощать и считать некоторые хитрые выражения с факториалами. Типа таких.
Как действовать будем? Последовательно перемножать все натуральные числа от 1 до 1999 и от 1 до 2000? Это одуреешь! А вот по свойствам пример решается буквально в одну строчку:
Или такое задание. Упростить:
Снова работаем прямо по свойствам:
n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_
Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так :
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция e^
Свойства
Рекуррентная формула
1 & n = 0,\\ n \cdot (n-1)! & n > 0. \end
Комбинаторная интерпретация
Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что
Разложение на простые числа
Кратный факториал
Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением :
Неполный факториал
Убывающий факториал
Убывающим факториалом называется выражение
n = 7; k = 4, (n − k ) + 1 = 4, n k = 7 6 5 4 = 840.
Возрастающий факториал
Возрастающим факториалом называется выражение
Праймориал или примориал
Праймориал или примориал (англ. primorial ) числа n обозначается p n # и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,
Последовательность праймориалов (включая <\textstyle<1\# \equiv 1>> ) начинается так :
Суперфакториалы
См. также
Напишите отзыв о статье «Факториал»
Примечания
Что растет быстрее Факториал или степенная функция?
Факториал по скорости роста обгоняет даже показательную функцию, а любая показательная функция растёт быстрее полинома. Значит, n^2=O(n!).
Какая из функций растёт быстрее N или n2?
растет быстрее, чем 2^n.
Что растет быстрее Факториал или X X?
функция xx растет еще быстрее факториала.
Что такое 5 Факториал?
| n | n! |
|---|---|
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
Чему равен 1 Факториал?
Определяется она следующим образом: F (0) = F (1) = 1; F (n) = n * F (n-1). По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). приблизительно равен 2.28803779534.
Что растет быстрее n или n n?
По поводу первого замечания: n * (ln n) действительно растет быстрее, чем ln n.
Что растет быстрее логарифм и корень?
Сравнивая обе величины, мы заключаем, что вторая из них больше, так как корень растёт быстрее логарифма, и потому корень из логарифма растёт быстрее двойного логарифма.
Что растет быстрее логарифм и степенная?
Показательная функция растет быстрее степенной, а степенная – быстрее логарифмической.
Ещё бы доказательство такое же простое почему 0 в 0-й степени равно 1 🙂 По аналогии 00 = сколько раз «ничего» встречается в «ничего» = тоже лишь 1 раз. Кстати, есть альтернативная точка зрения, при которой принято считать что значение 0 в 0-й степени неопределено.
Как правильно посчитать факториал?
Факториалом числа называют произведение всех натуральных чисел до него включительно. Например, факториал числа 5 равен произведению 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.
Для чего используется Факториал?
Факториал очень активно используется в различных разделах математики, особенно там, где заходит речь о различных вариантах, перестановках, комбинациях и т. п. Он применяется в комбинаторике, теории чисел, математическом анализе и других областях.
Что такое Факториал определение?
Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал». Факториал определен для целых неотрицательных чисел.
Что делает Факториал?
Слово факториал произошло от латинского factor (делающий, производящий). Факториал числа — это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). … Обозначается факториал восклицательным знаком «!».
Сколько будет 50 Факториал?
В таблице приведены значения факториалов для чисел от 0 до 50.
| число | факториал числа |
|---|---|
| 48! | 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000 |
| 49! | 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000 |
| 50! | 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000 |
Что такое 100 Факториал?
Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на ноль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей, которые 100! … Все, кроме последней пары, входят в сотню составляющих факториала 100.
Можно ли сократить Факториал?
В дроби равные факториалы можно сокращать).