что в математике нельзя доказать
Недоказанные теоремы современности, за которые полагается награда
Иногда усердное изучение точных наук может принести свои плоды – вы станете не только известны на весь мир, но и богаты. Награды даются, впрочем, не за что попало, и в современной науке очень много недоказанных теорий, теорем и задач, которые плодятся по мере развития наук, взять хотя бы Коуровские или Днестровские тетради, этакие сборники с неразрешимыми физико-математическими, и не только, задачами. Однако есть и поистине сложные теоремы, которые не могут разгадать уже не один десяток лет, и вот за них то и выставлена награда американским институтом Клэя в размере 1 млн. долларов США за каждую. До 2002 года общий джекпот равнялся 7 миллионам, так как «задач тысячелетия» было семь, однако российский математик Григорий Перельман решил гипотезу Пуанкаре, эпически отказавшись от миллиона, даже не открыв дверь математикам США, которые хотели вручить ему его честно заработанные премиальные. Итак, включаем Теорию Большого Взрыва для фона и настроения, и смотрим, за что еще можно срубить круглую сумму.
Равенство классов P и NP
Простыми словами говоря, проблема равенства P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно довольно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно довольно быстро найти (также за полиномиальное время и используя полиномиальную память)? Другими словами, действительно ли решение задачи проверить не легче, чем его отыскать? Суть здесь в том, что некоторые расчеты и вычисления легче решать по алгоритму, а не вычислять перебором, и таким образом экономить кучу времени и ресурсов.
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году и состоит в том, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.
Здесь объясняя простыми словами можно сказать следующее: в 20 веке были открыты очень сложные геометрические формы, типа искривленных бутылок. Так вот, было высказано предположение, что чтобы сконструировать эти объекты для описания, надо применять совсем головоломные формы, которые не имеют геометрической сути «этакие страшные многомерные каляки-маляки» или же все – таки можно обойтись условно-стандартной алгеброй+геометрией.
Гипотеза Римана
Здесь человеческим языком объяснить довольно сложно, достаточно знать, что решение данной проблемы будет иметь далеко идущие последствия в области распределения простых чисел. Проблема настолько важна и насущна, что даже выведение контрпримера гипотезы – на усмотрение ученого совета университета, проблему можно будет считать доказанной, так что здесь можно попробовать и метод «от обратного». Даже если удастся переформулировать гипотезу в более узком смысле – и тут институт Клэя выплатит некоторую сумму денег.
Теория Янга — Миллса
Уравнения Навье-Стокса
Здесь нам наверняка бы помог Говард Воловиц, если бы существовал в реальности – ведь это загадка из гидродинамики, причем основа основ. Уравнения описывают движения вязкой ньютоновской жидкости, имеют огромное практическое значение, а главное описывают турбулентность, которую никак не удается загнать в рамки науки и предугадать ее свойства и действия. Обоснование построения этих уравнений позволило бы не тыкать пальцем в небо, а понять турбулентность изнутри и сделать самолеты и механизмы более устойчивыми.
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
Здесь я, правда, пытался подобрать простые слова, однако тут такая дремучая алгебра, что без глубокого погружения не обойтись. Тем же, кто не хочет нырять с аквалангом в матан, надо знать, что данная гипотеза позволяет быстро и безболезненно находить ранг эллиптических кривых, а если бы этой гипотезы не было, то для вычисления этого ранга нужна была бы простыня вычислений. Ну и естественно также надо знать, что доказательство этой гипотезы обогатит вас на миллион долларов.
Нельзя не отметить, что почти в каждой области есть уже продвижения, и даже доказаны случаи для отдельных примеров. Поэтому не стоит медлить, а то получится как с теоремой Ферма, которая поддалась Эндрю Уайлсу через 3 с лишним века в 1994 году, и принесла ему Абелевскую премию и около 6 млн. норвежских крон (50 миллионов рублей по сегодняшнему курсу).
masterok
masterokМастерок.жж.рф
Хочу все знать
Многие не знают например, что знаменитая и Великая теорема Ферма уже доказана, а есть ведь вообще пока не доказанные математические задачи.
В августе 1900 года в Париже состоялся II Международный Конгресс математиков. Он мог бы пройти незамеченным, если бы на нем не выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей и пр.
На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.
Вот собственно весь список:
Вот как выглядят на сегодняшний день проблемы Гильберта и их статус:
1. Континуум-гипотеза. Существует ли бесконечное кардинальное число строго между кардиналами множеств целых и действительных чисел? Решена Полом Коэном в 1963 г. — ответ на вопрос зависит от того, какие аксиомы используются в теории множеств.
2. Логическая непротиворечивость арифметики. Доказать, что стандартные аксиомы арифметики не могут привести к противоречию. Решена Куртом Геделем в 1931 г.: с обычными аксиомами теории множеств такое доказательство невозможно.
3. Равносоставленность равновеликих тетраэдров. Если два тетраэдра имеют одинаковый объем, то всегда ли можно разрезать один из них на конечное число многоугольников и собрать из них второй? Решена в 1901 г. Максом Деном, ответ отрицательный.
4. Прямая как кратчайшее расстояние между двумя точками. Сформулировать аксиомы геометрии на основе данного определения прямой и посмотреть, что из этого следует. Слишком расплывчатая задача, чтобы можно было рассчитывать на определенное решение, но сделано немало.
5. Группы Ли без опоры на дифференцируемость. Технический вопрос теории групп преобразований. В одной из интерпретаций ее решил Эндрю Глисон в 1950-е гг., в другой — Хидехико Ямабе.
6. Аксиомы физики. Разработать строгую систему аксиом для математических областей физики, таких как теория вероятностей или механика. Систему аксиом для вероятностей построил Андрей Колмогоров в 1933 г.
7. Иррациональные и трансцендентные числа. Доказать, что определенные числа являются иррациональными или трансцендентными. Решена в 1934 г. Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером.
8. Гипотеза Римана. Доказать, что все нетривиальные нули римановой дзета-функции лежат на критической линии. См. главу 9.
9. Законы взаимности в числовых полях. Обобщить классический закон квадратичной взаимности (о квадратах по определенному модулю) на более высокие степени. Частично решена.
10. Условия существования решений диофантовых уравнений. Найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данное полиномиальное уравнение со многими переменными решения в целых числах. Невозможность доказал Юрий Матиясевич в 1970 г.
11. Квадратичные формы с алгебраическими числами в качестве коэффициентов. Технические вопросы решения диофантовых уравнений со многими переменными. Решена частично.
12. Теорема Кронекера об абелевых полях. Технические вопросы обобщения теоремы Кронекера. Не доказана до сих пор.
13. Решение уравнений седьмой степени при помощи функций специального вида. Доказать, что общее уравнение седьмой степени не может быть решено с использованием функций двух переменных. В одной из интерпретаций возможность такого решения доказали Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд.
14. Конечность полной системы функций. Расширить теорему Гильберта об алгебраических инвариантах на все группы преобразований. Опроверг Масаёси Нагата в 1959 г.
15. Исчислительная геометрия Шуберта. Герман Шуберт нашел нестрогий метод подчета различных геометрических конфигураций. Задача в том, чтобы сделать этот метод строгим. Полного решения до сих пор нет.
16. Топология кривых и поверхностей. Сколько связанных компонент может иметь алгебраическая кривая заданной степени? Сколько различных периодических циклов может иметь алгебраическое дифференциальное уравнение заданной степени? Ограниченное продвижение.
17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов. Если рациональная функция всегда принимает неотрицательные значения, то должна ли она обязательно выражаться в виде суммы квадратов? Решили Эмиль Артин, Д. Дюбуа и Альбрехт Пфистер. Верно для действительных чисел, неверно в некоторых других числовых системах.
18. Заполнение пространства многогранниками. Общие вопросы о заполнении пространства конгруэнтными многогранниками. Имеет отношение к гипотезе Кеплера, ныне доказанной (см. главу 5).
19. Аналитичность решений в вариационном исчислении. Вариационное исчисление отвечает на такие вопросы, как «найти кратчайшую кривую с заданными свойствами». Если подобная задача формулируется при помощи красивых функций, то должно ли решение тоже быть красивым? Доказали Эннио де Джорджи в 1957 г. и Джон Нэш.
20. Граничные задачи. Разобраться в решениях дифференциальных уравнений физики в определенной области пространства, если заданы свойства решения на ограничивающей эту область поверхности. В основном решена (вклад внесли многие математики).
21. Существование дифференциальных уравнений с заданной монодромией. Особый тип комплексного дифференциального уравнения, в котором можно разобраться при помощи данных о его точках сингулярности и группе монодромии. Доказать, что может существовать любая комбинация этих данных. Ответ «да» или «нет» в зависимости от интерпретации.
22. Униформизация с использованием автоморфных функций. Технический вопрос об упрощении уравнений. Решил Пауль Кебе вскоре после 1900 г.
23. Развитие вариационного исчисления. Гильберт призывал к выдвижению новых идей в области вариационного исчислении. Многое сделано, но формулировка слишком неопределенная, чтобы задачу можно было считать решенной.
Очередной раз убедился, что это слова не из «моего мира». Так что у кого то еще есть шанс прославиться …
КСТАТИ За что еще дадут миллион долларов…
В 1998 году на средства миллиардера Лэндона Клея (Landon T. Clay) в Кембридже (США) был основан Математический институт его имени (Clay Mathematics Institute) для популяризации математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь самых, по их мнению, головоломных проблем. И назначили по миллиону долларов за каждую.
Нужно определить: может ли проверка правильности решения какой-либо задачи быть более длительной, чем получение самого решения. Эта логическая задача важна для специалистов по криптографии — шифрованию данных.
Существуют так называемые простые числа, например, 2, 3, 5, 7 и т. д., которые делятся только сами на себя. Сколько их всего, не известно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения. Кто найдет — тоже окажет услугу криптографии.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера
Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.
В ХХ веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.
5. Уравнения Навье – Стокса
О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас уравнения решают приблизительно, по приблизительным формулам. Нужно найти точные и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение уравнений, которое всегда верно.
6. Уравнения Янга – Миллса
В мире физики есть гипотеза: если элементарная частица обладает массой, то существует и ее нижний предел. Но какой — не понятно. Нужно до него добраться. Это, пожалуй, самая сложная задачка. Для ее решения необходимо создать «теорию всего» — уравнения, объединяющие все силы и взаимодействия в природе. Тот, кто сумеет, наверняка получит и Нобелевскую премию.
Почему теорему Гёделя о неполноте сложно доказать: дело в формулировках, а не только в сути
Грубо говоря, теорема Гёделя о неполноте утверждает, что существуют истинные математические утверждения, которые невозможно доказать. Когда я был в 11-м классе, мы втроём с учителем геометрии г-н Олсеном и моим другом Умой Рой провели пять недель, читая оригинальное доказательство Гёделя. Почему так долго? Отчасти потому, что мы были ещё школьниками. Отчасти потому, что 24-летний Гёдель был не самым талантливым писателем. Но главным образом потому, что доказательство на самом деле довольно трудное.
Это может показаться удивительным, ведь всё доказательство по сути можно уместить в один абзац. Гёдель начинает с построения математического утверждения, по существу эквивалентного предложению,
Это утверждение невозможно доказать.
Затем Гёдель рассматривает, что будет в случае, если это утверждение ложно. То есть если это утверждение можно доказать. Но любое утверждение, которое может быть доказано, должно быть истинным — здесь противоречие. Из этого Гёдель делает вывод, что утверждение должно быть истинным. Но, поскольку утверждение истинно, из этого следует, что утверждение не может быть доказано. Обратите внимание, что это заключительное утверждение не является противоречием. Наоборот, это и есть доказательство теоремы Гёделя.
Так почему же реальное доказательство настолько сложное? Хитрость в том, что то, что может звучать как действительное математическое утверждение на английском языке, часто таковым не является (особенно когда предложение ссылается само на себя). Рассмотрим, например, такое предложение:
Предложение бессмысленно: оно не может быть ложным (поскольку это сделало бы его истинным) и оно не может быть истинным (поскольку это сделало бы его ложным). И его, конечно, нельзя записать в виде формального математического утверждения.
Вот ещё один пример (известный как парадокс Берри):
Определите
как наименьшее натуральное число, которое нельзя описать менее чем 100 словами.
Это может выглядеть как допустимое математическое определение. Но опять же, оно не имеет смысла. И, что важно для здравомыслия математики, никакое аналогичное утверждение невозможно записать формально, то есть математически.
Даже утверждения на языке математики могут быть бессмысленными:
(то есть 
— это множество множеств 
, которые не являются элементами самих себя).
Это снова бессмысленное определение (известное как парадокс Рассела). В частности, как только мы определили , мы можем задать вопрос, содержит ли себя? Если это так, то не может быть членом — противоречие; а если нет, то будет членом — опять противоречие.
Смысл этих трёх примеров в том, что если вы хотите доказать теоремы о математических утверждениях, то следует быть очень осторожным насчёт того, что вы реально оперируете математическими утверждениями. И действительно, от 46 определений в начале до удивительно плотных доказательств в конце оригинальная статья Гёделя — ни что иное, как массивное упражнение в осторожности.
Как в математике называется теорема не требующая доказательства?
Как в математике называется теорема не требующая доказательства?
Это аксиома. Только вопрос поставлен не совсем точно. В математике есть два утверждений
Т.о. теоремы не требующей доказательства вроде как и быть не должно.
Утверждение не требующее доказательств, потому, что оно, якобы, очевидно, а может просто недоказуемо, называется аксиомой.
Например, в геометрии их пять и самая последняя, пятая, о параллельности прямых, самая длинная и самая сомнительная и самая загадочная с далеко идущими выводами.
Аксиома-именно такое название носит утверждение,которое не требует доказательства.То есть это утверждение очевидно.
Одной из аксиом,которые мне запомнились из школьных учебников,является аксиома о том,что параллельные прямые не пересекаются.А ведь и правда очевидное утверждение!
Данная теорема говорит нам следующее:
если дана произвольная окружность и к ней из точки, лежащей вне этой окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек пересечения секущей с окружностью.
Что касается недоказанных теорем, то почитай список 23 проблем Гильберта, составленный Гильбертом в конце 19 века.
Правда, большинство этих проблем либо доказано, либо опровергнуто, либо доказано, что их нельзя доказать.
Никакой теоремы Рема мне найти не удалось.
Есть Теорема Римана о рядах: Пусть ряд сходится условно, тогда можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда может стать равна произвольному действительному числу или ряд разойдется.
Она доказана, и на Вики вы можете найти ее доказательство.
Еще есть Теорема Римана об отображении (в комплексном анализе именуемая просто теоремой Римана).
Пусть U — область на расширенной комплексной плоскости, являющаяся односвязной, причём её граница содержит более одной точки. Тогда существует голоморфная функция f на единичном круге, отображающая его на U взаимно однозначно.
Еще есть Гипотеза Римана о распределении нулей дзета-функции Римана, была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.
В то время как не найдено какой-либо закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x — функция распределения простых чисел, обозначаемая π ( x ) — выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.
Круг не имеет длины, а «теорема о дощечках», известная более сорока как задача венгерского математика Ласло Тота утверждает, что
изящное решение этой теоремы дискретной геометрии предложил Александр Полянский из Московского физтеха в Долгопрудном
Абсолютно надуманная и бесполезная в реальной жизни проблема.
Так ли точна математика, как кажется?
Наверное, данный вопрос задавал себе каждый, чуточку интересующийся математикой человек. Прочитав статью 2 х 2 = 4, было сделано заключение, что эта тема также может понравиться хабралюдям. Речь пойдет об аксиомах в математике, противоречиях и парадоксах. Кому интересно — добро пожаловать под кат.
Вместо предисловия
Каждый из нас в школе не сомневался в справедливости тех или иных математических утверждений. Ну и правда, что учитель сказал, то и истина. Но, познакомившись со строгой математикой (не люблю слово «высшей»), мы начали понимать, что чем больше мы стараемся формализовать предмет, тем сложнее это сделать, а иногда совсем не получается.
Так нам привычные действительные числа, для Леопольда Кронекера не являлись таковыми, он говорил: «Бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих» («Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»)
После того, как Георг Кантор доказал, что отрезок равномощен (А и B равномощны, если существует биекция между ними) n-мерному пространству, он провозгласил: «Я вижу это, но я не верю в это!» («Je le vois, mais je ne le crois pas!»)
Немного философии
Речь в этой статье пойдет об аксиоматике тех или иных математических множеств, операций и т.д., но все же закономерным вопросом будет, а зачем нам аксиомы вообще нужны? Приведу простой пример. Возьмем русский язык и слово, например, «дежавю». Посмотрим его значение, «Дежавю́ — психическое состояние, при котором человек ощущает, что он когда-то уже был в подобной ситуации». Но мы дотошные, посему теперь вместо одного слова перед нами возникнет куда больше. Что такое «психический», «состояние», «человек», «ощущать», «подобный», «ситуация». Как вы можете заметить, у нас получается дерево слов, а в силу того, что слов, имеющих значение в русском языке конечное множество, у нас получится путь в дереве, в котором встречается дважды одно и то же слово, т.е. мы определили его через самого себя.
Вот для этого и нужны аксиомы. Нам всегда нужен фундамент, с которого мы можем стартовать, что-то, что и так всем интуитивно понятно. Неточность 1. В математике часто бывают утверждения, интуитивно понятные, но приводящие к парадоксам. Например аксиома выбора(Axiom of Choice), но об этом мы поговорим чуть позже.
Больше конкретики. Аксиомы Пеано натуральных чисел.
Я, как программист, люблю считать, что 0 принадлежит натуральным числам, это удобно. Что-ж, теперь наиболее знаменитая аксиоматика Пеано.
1. 0 является натуральным числом.
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным.
3. 0 не следует ни за каким натуральным числом.
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c совпадают.
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 0 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Разберемся по-порядочку.
1-я аксиома говорит, что существует хотя бы одно натуральное число. Иначе бы мы сказали, что это вообще пустое множество и все аксиомы бы для него выполнялись бы.
2 и 3 вроде бы и так ясны.
4. Эта аксиома нужна для того, чтобы не появились «ответвления». Иначе мы могли бы сказать, что 3 следует за 2 и 2′, а дальше 2 и 2′ за 1 и 1′ соответственно, и т.д. В принципе, такая модель имеет право на существование, но на ней крайне сложно ввести отношение порядка.
5. Первый человек в очереди женщина. За каждой женщиной идет женщина. В реальной жизни это значит, что вся очередь состоит из женщин. А так как мы хотим описывать все же более жизненные объекты, то и вводим аксиому индукции, ибо из предыдущих она никак не следует.
Удобная модель, все отлично, все счастливы. Вопрос, в чем же подвох? Оказывается, что если мы добавим новое натуральное число с к нашим привычным натуральным числам и скажем, что оно больше всех наших привычных, то мы не придем ни к какому противоречию. Т.е. у нас есть не только наша модель N, но и, к примеру, N + Z. Где в N и Z (целые числа) обычное сравнение чисел, а также любое число из N меньше любого числа из Z.
Вопрос, можно ли ввести аксиомы так, чтобы мы описали наши привычные натуральные числа, и только их (т.е. существует ли формула, подставив в которую естественное натуральное число она выдаст True, а любое другое число False)? Ответ — нет. Идея доказательства в том, что все формулы можно закодировать натуральными числами. А далее, написав хитрую формулу, и подставив ее код в Ф (формула, которая по предположению умеет определять естественную натуральность), мы получим противоречие.
Больше конкретики. Аксиоматика множеств Цермело-Френкеля (ZF)
1. Аксиома объемности. Если два множества состоят из одинаковых элементов, то они равны.
2. Аксиома подмножеств. Если у нас есть некоторая формула, то из любого множества она «вырезает» также множество.
3. Аксиома замены. Если для каждого мн-ва х, F(x) = также является множеством, то для любого а, — также множество.
4. Аксиома степени. Множество подмножеств также является множеством.
5. Аксиома бесконечности. Существует множество, которое содержит пустое множество, а также вместе с каждым элементом x содержит множество <
6. Аксиома регулярности. Не существует бесконечных по включению цепочек множеств, т.е. нельзя, чтобы множество a1 сожержало a2, то в свою очередь a3, и т.д.
Противоречия и парадоксы
Во-первых, не доказано, что аксиомы ZF непротиворечивы, если же они противоречивы, то можно вывести любое утверждение, например 0 = 1, и грош цена нашей науке. Даже более, доказано, что нельзя доказать непротиворечивость ZF. Забавная штука получается, но в этом нет ничего страшного. Если мы чего-то не можем доказать, не значит, что этого нет, в данном случае непротиворечивости. Движемся дальше.
Математика получается достаточно скупой наукой, то есть мало всего можно доказать, если не добавить аксиому выбора. А что это за аксиома такая? В трех словах — из любого непустого множества можно выбрать элемент. Казалось бы, очень естественная аксиома, но она приводит к парадоксу Банаха-Тарского, заключающегося в том, что шар можно разбить на 5 кусков и собрать из них 2 таких же шара. Т.е. яблоко можно разрезать на 5 частей и собрать два яблока?! Посему и парадокс. Что еще интереснее, доказано, что если теория ZF непротиворечива, то добавив к ней аксиому выбора (ZF + Axiom of Choice = ZFC) мы получим непротиворечивую аксиоматику!
Искорка надежды
То мы что-то не можем доказать, то какие-то парадоксы. Может, математика — полная чушь? Может не следует ее изучать? Ответ: никакая не чушь, изучать следует. Почему же, спросит читатель. Я приведу достаточно физическое доказательство. Обычно в физике бывает так. «Ого, в течении 100 лет мы наблюдали за падением бутербродов и оказалось, что они падают маслом вниз, назовем это законом». Думаете, шучу? А попытайтесь доказать, что тела состоят из молекул. Ничего более строгого, чем то, что в течение 2000 лет эта теория не давала сбой, вы не придумаете. Так вот с математикой примерно та же ситуация. Мы используем ее, вроде бы машины едут, самолеты летят, здания стоят и все хорошо. Интуитивно ясно, что если бы в математике было противоречие, то, чем глубже бы мы копались в дебрях этой науки, тем легче бы были доказательства теорем, но такого не происходит.
И все же, откуда парадокс Банаха-Тарского возникает, все же достаточно логично! На самом деле, если аккуратно заметить, то во Вселенной нет ничего бесконечного. Нет ничего бесконечно малого и т.д. Просто удобно работать с бесконечными множествами. Так что вполне нормально, что могут получаться результаты не применимые к жизни.