что в математике не требует доказательств
а к с и о м а
не требующее доказательства утверждение
• бесспорная, не требующая доказательств истина
• доказательство без доказательства
• исходная бездоказательность, истина, не требующая доказательств
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости. Александр Круглов
• положение, принимаемое без логического доказательства
• утверждение, которое неопровержимо, пока в нем хватает соединительной силы
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости
• истина, на которую не хватило доказательств
• само собой разумеющееся
• положение, не требующее доказательств
• постулат в геометрии
• принятая в науке истина
• постулат в математике
• догма в математике
• положение, принимаемое без доказательств
• не требует доказательств
• положение, принимаемое без доказ.
• истиное исходное положение теории
• истинное исходное положение теории
• Истина, не требующая доказательства
• Исходное положение какой-либо теории или науки, принимаемое без доказательств
• Положение, принимаемое без доказательств
• ж. греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина
• положение не требующее доказательств
• положение, принимаемое без доказ
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Доказательство через синтез
Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.
Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство:
Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.
Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Доказательство через анализ
Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.
Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дан параллелограмм: ABCD.
Доказательство:
Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.
Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол напротив стороны а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Почему аксиома не требует доказательства?
В основе любой теории лежит какой-нибудь незыблемый постулат. Это та база, которая не требует доказательств, и в рамках данной теории принимается безоговорочно. Это и есть аксиома-постулат, не требующий доказательств. Понятно, что с этим можно и поспорить. Ведь любую, даже самую правдивую теорию, можно подвергнуть сомнению. Но при таком проходе создать целый ряд наук было бы просто невозможно. Не было бы той же евклидовой геометрии, которая базируется на пятом постулате, а также других наук. К тому же, никакую теорему доказать без аксиомы невозможно. Этот постулат необычайно важен, так как именно на него опирается любое доказательство. Без аксиомы любое утверждение нуждалось бы в доказательстве, и этот процесс был бы бесконечным. Чтобы этого не произошло, нужно отдельные утверждения выставлять в качестве аксиомы, и принимать без доказательства.
Другое дело, как относиться к этим аксиомам. Их можно либо принять, либо отвергнуть. То есть, в данном случае мы говорим об истинности аксиом. Но это уже совершенно другой вопрос, который решается в рамках каждой отдельной теории.
В научных кругах есть такой термин, как степень аксиоматизации теории. Он отражает количество аксиом, которым подчинены отношениям между всеми изучаемыми в данной теории объектами. Все дальнейшие теоремы и утверждения должны базироваться на этих аксиомах. Что касается набора аксиом, то он выбирается, исходя из чисто логических рассуждений, которые не должны вступать в противоречия друг с другом.
Математик Курт Гедель доказал, что математических аксиомных систем может быть сколько угодно. На их основании большинство математических утверждений невозможно ни доказать, ни опровергнуть. При этом такая система ни в коем разе не будет противоречивой. Свой труд Гедель назвал «теоремой о неполноте».
Первым аксиомы стал использовать Аристотель. Присутствуют они в математических учениях Древних Греков, а также в математике Евклида. Древние ученые считали аксиому очевидной истиной, не нуждающейся в доказательстве. Аналогичным образом интерпретирует понятие аксиомы и Даль.
Все изменилось с появлением геометрии Лобачевского. Он попытался опровергнуть некоторые аксиомы Евклида в научном труде, который получил название неевклидова геометрия. Так, например, он высказывал мнение, что пятый постулат Евклида, касающийся непересекающихся параллельных прямых, является всего лишь частным случаем, и не может быть использован для пространства с «отрицательной кривизной».
Так, или иначе, но пятый постулат Евклида оказался аксиомой, принятой за основу без доказательств. Это говорит о том, что его не следует доказывать, так как это приведет к возникновению целого ряда противоречий. Пусть пятый постулат и вызывал у Лобачевского определенные сомнения, но именно на его основе была построена геометрическая система Евклида.
Идеи Лобачевского также не были оставлены без внимания. Они получили свое развитие в новом виде непротиворечивой геометрии, которая получила название геометрии Лобачевского. Она также базируется на математической системе аксиом.
Аксиоматизацию математики выполнял и Гильберт. Он считал, что это необходимо сделать для доказательства ее непротиворечивости. Осуществить задуманное он так и не смог, ввиду появления теорем Геделя о «неполноте». Но это уже иная история.
а к с и о м а
не требует доказательств
• бесспорная, не требующая доказательств истина
• доказательство без доказательства
• исходная бездоказательность, истина, не требующая доказательств
• не требующее доказательства утверждение
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости. Александр Круглов
• положение, принимаемое без логического доказательства
• утверждение, которое неопровержимо, пока в нем хватает соединительной силы
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
• полная недоказуемость, равная полной неопровержимости
• истина, на которую не хватило доказательств
• само собой разумеющееся
• положение, не требующее доказательств
• постулат в геометрии
• принятая в науке истина
• постулат в математике
• догма в математике
• положение, принимаемое без доказательств
• положение, принимаемое без доказ.
• истиное исходное положение теории
• истинное исходное положение теории
• Истина, не требующая доказательства
• Исходное положение какой-либо теории или науки, принимаемое без доказательств
• Положение, принимаемое без доказательств
• ж. греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина
• положение не требующее доказательств
• положение, принимаемое без доказ
• у древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести»
Что в математике не требует доказательств
Истина, не требующая доказательства
Бесспорная истина (аксиома)
Бесспорная истина, принимаемая без доказательств (аксиома)
Бесспорная, не требующая доказательств истина (аксиома)
Догма в математике (аксиома)
Доказательство без доказательства (аксиома)
Заместитель истины (аксиома)
Истина на веру (аксиома)
Истина, которую принято считать очевидной, потому что ее никто не может доказать (аксиома)
Исходная бездоказательность. истина, не требующая доказательств (аксиома)
Исходное положение какой-либо теории или науки, принимаемое без доказательств (аксиома)
Не надо доказывать (аксиома)
Не требующее доказательства утверждение (аксиома)
Недоказуемая истина (аксиома)
Неоспоримая истина (аксиома)
Переведите на греческий язык «оценка» (аксиома)
Полная недоказуемость, равная полной неопровержимости. (Александр Круглов) (аксиома)
Положение, принимаемое без доказательств (аксиома)
Принятая истина (аксиома)
Утверждённая истина (аксиома)
Утверждение, которое неопровержимо, пока в нем хватает соединительной силы (аксиома)
Утверждение, принимаемое истинным без доказательств, и которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств в рамках какой-либо теории, дисциплины и т. д (аксиома)
Ход рассуждений, умозаключений (аксиома)
Что такое «теорема без доказательства (аксиома)
Истина, на которую не хватило доказательств (аксиома)
Исходное положение теории, лежащее в основе доказательств других положений этой теории (аксиома)
Исходное утверждение теории, положенное в основу доказательств других её утверждений (аксиома)
Полная недоказуемость, равная полной неопровержимости (аксиома)
Положение, принимаемое без доказательства (аксиома)
Постулат в теореме (аксиома)
У древних греков, таких как Пифагор и Евклид, это слово означало «то, что достойно почести» (аксиома)
Что не только Пифагор, но и Евклид считал достойным почести? (аксиома)
беспорная истина (аксиома)
верность действий и суждений (аксиома)
ж. греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина (аксиома)
математическая догма (аксиома)
непреложная истина (аксиома)
положение, принимаемое без доказ (аксиома)
положение, принимаемое без логического доказательства (аксиома)
Исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений (аксиома)
(c) База Бушмена: ответы на сканворды и кроссворды 2022