Бином ньютона что это простыми

Бином Ньютона.

Навигация по странице.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля.

Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
Бином ньютона что это простыми. 010. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-010. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 010.

Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n :

Бином ньютона что это простыми. 011. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-011. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 011.

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов.

Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.

Доказательство формулы бинома Ньютона.

Приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем справедливость равенства Бином ньютона что это простыми. 001. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-001. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 001..

Получили верное равенство.

Докажем, что верно равенство Бином ньютона что это простыми. 001. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-001. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 001., основываясь на предположении второго пункта.

Поехали!
Бином ньютона что это простыми. 021. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-021. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 021.

Раскрываем скобки
Бином ньютона что это простыми. 022. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-022. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 022.

Группируем слагаемые
Бином ньютона что это простыми. 023. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-023. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 023.

Так как Бином ньютона что это простыми. 024. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-024. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 024.и Бином ньютона что это простыми. 025. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-025. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 025., то Бином ньютона что это простыми. 026. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-026. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 026.; так как Бином ньютона что это простыми. 027. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-027. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 027.и Бином ньютона что это простыми. 028. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-028. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 028., то Бином ньютона что это простыми. 029. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-029. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 029.; более того, используя свойство сочетаний Бином ньютона что это простыми. 030. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-030. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 030., получим
Бином ньютона что это простыми. 031. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-031. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 031.

Подставив эти результаты в полученное выше равенство
Бином ньютона что это простыми. 023. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-023. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 023.
придем к формуле бинома Ньютона Бином ньютона что это простыми. 001. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-001. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 001..

Этим доказана формула бинома Ньютона.

Рассмотрим подробные решения примеров, в которых применяется формула бинома Ньютона.

Напишите разложение выражения (a+b) 5 по формуле бинома Ньютона.

Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения Бином ньютона что это простыми. 008. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-008. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 008..

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Доказать, что значение выражения Бином ньютона что это простыми. 016. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-016. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 016., где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Представим первое слагаемое выражение как Бином ньютона что это простыми. 017. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-017. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 017.и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Бином ньютона что это простыми. 018. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-018. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 018.

Источник

Бином ньютона

Бином Ньютона — это формула

Бином ньютона что это простыми. d1d3db19efed3550e3b98401f8310658. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-d1d3db19efed3550e3b98401f8310658. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка d1d3db19efed3550e3b98401f8310658.,

где Бином ньютона что это простыми. c2d02458d8c35f11e465c639ba62f081. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-c2d02458d8c35f11e465c639ba62f081. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка c2d02458d8c35f11e465c639ba62f081.— биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

Содержание

Доказательство

Бином ньютона что это простыми. 9a797beebb5374641e8cea6db07ffc38. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-9a797beebb5374641e8cea6db07ffc38. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 9a797beebb5374641e8cea6db07ffc38.

Докажем это равенство, используя метод математической индукции:

Пусть утверждение для n верно:

Бином ньютона что это простыми. 9a797beebb5374641e8cea6db07ffc38. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-9a797beebb5374641e8cea6db07ffc38. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 9a797beebb5374641e8cea6db07ffc38.

Тогда надо доказать утверждение для n + 1 :

Бином ньютона что это простыми. e359c8057b8b08c5920a00cc62d83147. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-e359c8057b8b08c5920a00cc62d83147. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка e359c8057b8b08c5920a00cc62d83147.

Бином ньютона что это простыми. 76e615f3cae7f3f9199480dba80c4592. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-76e615f3cae7f3f9199480dba80c4592. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 76e615f3cae7f3f9199480dba80c4592.

Извлечём из первой суммы слагаемое при k = 0

Бином ньютона что это простыми. 43387c1110351a884c865b5d60c6141e. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-43387c1110351a884c865b5d60c6141e. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 43387c1110351a884c865b5d60c6141e.

Извлечём из второй суммы слагаемое при k = n

Бином ньютона что это простыми. 827fd0ae6db3a546040bb27d6dd9c6a1. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-827fd0ae6db3a546040bb27d6dd9c6a1. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 827fd0ae6db3a546040bb27d6dd9c6a1.

Теперь сложим преобразованные суммы:

Бином ньютона что это простыми. 2efdb68ef4af0086f0e3727f2730c68f. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-2efdb68ef4af0086f0e3727f2730c68f. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 2efdb68ef4af0086f0e3727f2730c68f. Бином ньютона что это простыми. 4afb90d37fb8cf1555879b41c32c636f. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-4afb90d37fb8cf1555879b41c32c636f. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 4afb90d37fb8cf1555879b41c32c636f.

Что и требовалось доказать

Бином ньютона что это простыми. 5fa253d6490f83f2545d5a543931b0fb. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-5fa253d6490f83f2545d5a543931b0fb. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 5fa253d6490f83f2545d5a543931b0fb.— одно из тождеств биномиальных коэффициентов

Для ненатуральных степеней

Бином ньютона что это простыми. 3a319cf391d9e89bc5fccff501df6e54. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-3a319cf391d9e89bc5fccff501df6e54. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 3a319cf391d9e89bc5fccff501df6e54.

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты находятся по формуле:

Бином ньютона что это простыми. 0c3c41843bd650fc039c0da07c3ce813. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-0c3c41843bd650fc039c0da07c3ce813. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 0c3c41843bd650fc039c0da07c3ce813.

Бином ньютона что это простыми. 041a96698cafa8e375bd5368d37dec16. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-041a96698cafa8e375bd5368d37dec16. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 041a96698cafa8e375bd5368d37dec16..

сходится при Бином ньютона что это простыми. 2909893a6903ab83c9a91d72120ccccf. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-2909893a6903ab83c9a91d72120ccccf. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 2909893a6903ab83c9a91d72120ccccf..

В частности, при Бином ньютона что это простыми. 7a79ad709533c0e66f4121804575f321. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-7a79ad709533c0e66f4121804575f321. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 7a79ad709533c0e66f4121804575f321.и Бином ньютона что это простыми. fe724d060d5c5023b7af230145a73a99. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-fe724d060d5c5023b7af230145a73a99. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка fe724d060d5c5023b7af230145a73a99.получается тождество

Бином ньютона что это простыми. ea4314549557c9c2a96c7bbc947ea0ec. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-ea4314549557c9c2a96c7bbc947ea0ec. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка ea4314549557c9c2a96c7bbc947ea0ec.

Переходя к пределу при Бином ньютона что это простыми. 9b0d62cbd861b2b559771f78f24871cb. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-9b0d62cbd861b2b559771f78f24871cb. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 9b0d62cbd861b2b559771f78f24871cb.и используя второй замечательный предел Бином ньютона что это простыми. b809857f51b7b6f5656b0e664d0978a9. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-b809857f51b7b6f5656b0e664d0978a9. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка b809857f51b7b6f5656b0e664d0978a9., выводим тождество

Бином ньютона что это простыми. 47d3e28c8f462e77fe9e717e4f383607. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-47d3e28c8f462e77fe9e717e4f383607. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 47d3e28c8f462e77fe9e717e4f383607.

именно таким образом впервые полученное Эйлером.

История

Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и философ Омар Хайям.

Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.

Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский [1].

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Бином ньютона» в других словарях:

бином ньютона — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита» … Словарь русского арго

БИНОМ НЬЮТОНА — БИНОМ НЬЮТОНА, математическое правило разложения алгебраического выражения (а+b)n в ряд степеней численных значений х и у (где n положительное число). При n 2 разложение выглядит таким образом: (х+у)2=х2+2ху+у2 … Научно-технический энциклопедический словарь

Бином Ньютона — алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: (х + а)n = хn + n/1(axn 1) + [n/(n 1)/1.2](а2хn 2) + …[n(n 1)(n 2)…(n m+1)/1.2.3…m](anxn m) + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! =… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Бином Ньютона — Разг. Шутл. О чём л. сложном, запутанном. Елистратов, 41 … Большой словарь русских поговорок

Подумаешь, бином Ньютона! — Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 1940). Слова Коровьева Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на… … Словарь крылатых слов и выражений

бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего … Исторический словарь галлицизмов русского языка

БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… … Словарь иностранных слов русского языка

Бином — (лат. bis дважды, nomen имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также … Википедия

Источник

Бином Ньютона

Вы будете перенаправлены на Автор24

Бином Ньютона — это формула, использующаяся для разложения суммы двух чисел или переменных, возведённых в степень. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

$C_n^k=(a + x)^n = a^n + C^1_n \cdot a^x + … + C^k_n \cdot a^x^k + C^n_n \cdot x^n$,

Биномиальные коэффициенты при этом определяются по следующей формуле:

Вывод формулы бинома Ньютона и доказательство

Все мы помним наизусть формулы разложения квадрата суммы и куба, для тех, кто всё же имеет какие-то сомнения, ниже мы привели их:

Эти формулы есть не что иное, как частные случаи второй и третьей степени для бинома Ньютона.

$(a + x)^n = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3 + … +A_nx^n \left(1\right)$

$((a + x)^n)’ = n(a + x)^(a + x)’ = n \cdot (a+ x)^$

$(A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3 + … +A_nx^n)’ = A_1 + 2A_2x + 3A_3x^2 + … +nA_n \cdot x^$

$n \cdot (a+ x)^ = A_1 + 2A_2x + 3A_3x^2 + … +nA_n \cdot x^\left(3\right)$

Готовые работы на аналогичную тему

$n(n-1)a^ =2A_2$, следовательно,

$n(n-1)\cdot … \cdot (n-k + 1)a^= 1 \cdot 2 \cdot … \cdot kA_k$

Полученное выражение используется для вычисления биномиальных коэффициентов.

Сосчитаем биномиальные коэффициенты:

Теперь воспользуемся вычисленными коэффициентами для разложения бинома Ньютона:

Бином Ньютона: треугольник Паскаля

Как вы уже заметили, биномиальные коэффициенты имеют свойство повторяться, поэтому все их можно записать в виде специальной таблицы, называемой треугольником Паскаля:

Рисунок 1. Бином Ньютона: треугольник Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

По рисунку 1 видно, что каждый коэффициент равен сумме двух стоящих слева и справа над ним в предыдущей строчке, так что этой таблицей можно пользоваться для более быстрого вычисления биномиальных коэффициентов в случае показателей степеней, представленных целыми неотрицательными числами.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 02 2021

Источник

Ньютона бином

Бином ньютона что это простыми. 0116355872. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-0116355872. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 0116355872.

Бином ньютона что это простыми. 0167071597. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-0167071597. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 0167071597.

Полезное

Смотреть что такое «Ньютона бином» в других словарях:

НЬЮТОНА БИНОМ — формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или : Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 … Большой Энциклопедический словарь

Ньютона бином — формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают ): Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и… … Энциклопедический словарь

НЬЮТОНА БИНОМ — название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые была предложена Ньютоном в 1664 1665: Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n положительное целое… … Энциклопедия Кольера

НЬЮТОНА БИНОМ — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен, расположенный по степеням одного из слагаемых двучлена: где биномиальные коэффициенты. Для пслагаемых формула (*) принимает вид При произвольном показателе т,… … Математическая энциклопедия

НЬЮТОНА БИНОМ — ф ла, выражающая целую положит. степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых; Частными случаями Н. б. при п = 2 и п = 3 являются ф лы квадрата и куба суммы двух слагаемых х и у … Большой энциклопедический политехнический словарь

БИНОМ — (от би. и лат. nomen имя) то же, что двучлен. О биноме вида (x+y)n см. в ст. Ньютона бином … Большой Энциклопедический словарь

бином — а; м. [от лат. bis дважды и греч. nomē часть, доля] Матем. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность двух одночленов; двучлен. * * * бином (от би. и лат. nomen имя), то же, что двучлен. О биноме вида (х + y)n см. Ньютона… … Энциклопедический словарь

Бином — (от би (См. Би. ). и лат. nomen имя) двучлен, сумма или разность двух алгебраических выражений, называемых членами Б.; например a + b, и т.д. О степенях Б., то есть выражениях вида (х + у) n, см. Ньютона бином … Большая советская энциклопедия

Источник

Бином Ньютона — математическая формула с примером решения и объяснением

Рассматривая эти произведения, замечаем, что все они составлены по одному и тому же закону, а именно:

Произведение составляет многочлен, расположенный по убывающим степеням буквы х.

Показатель первого члена равен числу перемножаемых биномов; показатели при х в следующих членах убывают на 1; последний член не содержит х (содержит его в нулевой степени).

Коэффициент первого члена есть 1; коэффициент второго члена есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов; коэффициент третьего члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по два; коэффициент четвёртого члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по три. Последний член есть произведение всех вторых членов.

Итак, допустим, что верно следующее равенство:
(x+α) (x+b) (х+с)… (x+k) =Бином ньютона что это простыми. image 29670. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29670. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29670.
где для краткости мы положим:
Бином ньютона что это простыми. image 29673. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29673. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29673.

Умножим обе части допущенного равенства на бином x+l:
Бином ньютона что это простыми. image 29677. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29677. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29677.

Рассматривая это новое произведение, убеждаемся, что оно подчиняется такому же закону, какой мы предположили верным для m биномов. Действительно, во-первых, этому закону следуют показатели буквы х; во-вторых, ему же следуют и коэффициенты, так как коэффициент второго члена S+l есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов, включая сюда и l; коэффициент третьего члена S₂+lS₁ есть сумма парных произведений всех вторых членов, включая сюда и l, и т. д.; наконец, Бином ньютона что это простыми. image 29698. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29698. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29698.есть произведение всех вторых членов: abc… kl.

Мы видели, что закон этот верен для произведения двух, трёх и четырёх биномов; следовательно, по доказанному теперь, он должен быть верен и для произведения 4+1, т. е. для произведения пяти биномов, если же он верен для произведения пяти биномов, то он верен и для произведения 5+1, т. е. для произведения шести биномов, и т. д.

Бином ньютона что это простыми. lfirmal 3. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-lfirmal 3. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка lfirmal 3.

Формула бинома Ньютона

Предположим, что в доказанном нами равенстве
Бином ньютона что это простыми. image 29708. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29708. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29708.
все вторые члены биномов одинаковы, т. е. что a=b=c= … =k. Тогда левая часть будет степень бинома Бином ньютона что это простыми. image 29714. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29714. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29714.. Посмотрим, во что обратятся коэффициенты S₁, S₂, …, Бином ньютона что это простыми. image 29727. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29727. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29727..

Коэффициент S₁, равный a+b+c+ … +k, обратится в та. Коэффициент S₂, равный ab+ac+ad+ …. обратится в число α², повторённое столько раз, сколько можно составить сочетаний из m элементов по 2, т. е. обратится в Бином ньютона что это простыми. image 29760. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29760. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29760.. Коэффициент S₃, равный abc+abd+…, обратится в число а³, повторённое столько раз, сколько можно составить сочетаний из т элементов по 3, т. е. Бином ньютона что это простыми. image 29769. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29769. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29769.и т. д. Наконец, коэффициент Бином ньютона что это простыми. image 29727. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29727. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29727., равный abc...k, обратится в Бином ньютона что это простыми. image 29788. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29788. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29788.. Таким образом, мы получим:
Бином ньютона что это простыми. image 29797. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29797. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29797.
Бином ньютона что это простыми. image 29800. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29800. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29800.

Это равенство известно как формула бинома Ньютона, причём многочлен, стоящий в правой части формулы, называется разложением бинома. Рассмотрим особенности этого многочлена.

Свойства формулы бинома Ньютона

Из этих свойств мы укажем следующие 10:

1) Показатели буквы х уменьшаются на 1 от первого члена к последнему, причём в первом члене показатель х равен показателю степени бинома, а в последнем он есть 0; наоборот, показатели буквы а увеличиваются на 1 от первого члена к последнему, причём в первом члене показатель при а есть 0; а в последнем он равен показателю степени бинома. Вследствие этого сумма показателей при х и а в каждом члене одна и та же, а именно: она равна показателю степени бинома.

2) Число всех членов разложения есть m+1, так как разложение содержит все степени а от 0 до m включительно.

3) Коэффициенты равны: у первого члена — единице, у второго члена — показателю степени бинома, у третьего члена — числу сочетаний из m элементов по 2, у четвёртого члена — числу сочетаний из m элементов по 3; вообще коэффициент (n+1)-ro члена есть число сочетаний из m элементов по n. Наконец, коэффициент последнего члена равен числу сочетаний из т элементов по m, т. е. 1.

Заметим, что эти коэффициенты называются биномиальными.

4) Обозначая каждый член разложения буквой T с цифрой внизу, указывающей номер места этого члена в разложении, т. е. первый член T₁, второй член T₂ и т. д., мы можем написать:
Бином ньютона что это простыми. image 29825. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29825. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29825.

Эта формула выражает общий член разложения, так как из неё мы можем получить все члены (кроме первого), подставляя на место n числа: 1, 2, 3,…. m.

5) Коэффициент первого члена от начала разложения равен единице, коэффициент первого члена от конца тоже равен единице. Коэффициент второго члена от начала есть m, т. е. Бином ньютона что это простыми. image 29856. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29856. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29856.; коэффициент второго члена от конца есть Бином ньютона что это простыми. image 29860. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29860. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29860.; но так как Бином ньютона что это простыми. image 29863. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29863. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29863., то эти коэффициенты одинаковы. Коэффициент третьего члена от начала есть Бином ньютона что это простыми. image 29876. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29876. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29876., а третьего члена от конца есть Бином ньютона что это простыми. image 29865. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29865. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29865.; но Бином ньютона что это простыми. image 29870. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29870. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29870., поэтому и эти коэффициенты одинаковы и т. д. Значит:

Коэффициенты членов, одинаково удалённых от концов разложения, равны между собой.

6) Рассматривая биномиальные коэффициенты:
Бином ньютона что это простыми. image 29872. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29872. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29872.
мы замечаем, что при переходе от одного коэффициента к следующему числители умножаются на числа, всё меньшие и меньшие (на m—1, на m — 2, на m — 3 и т. д.), а знаменатели умножаются на числа, всё большие и большие (на 2, на 3, на 4 и т. д.). Вследствие этого коэффициенты сначала возрастают (пока множители в числителе остаются большими соответственных множителей в знаменателе), а затем убывают. Так как коэффициенты членов, равно отстоящих от концов разложения, одинаковы, то наибольший коэффициент должен находиться посередине разложения. При этом, если число всех членов разложения нечётное (что бывает при чётном показателе бинома), то посередине будет один член с наибольшим коэффициентом; если же число всех членов чётное (что бывает при нечётном показателе бинома), то посередине должны быть два члена с одинаковыми наибольшими коэффициентами. Например:
(х+α)⁴=x⁴+4αx³+6α²x²+4α³x+α⁴;
(x+α)⁵=x⁵+5αx⁴+10α²x3+10α³x²+5α⁴x+α⁵∙

7) Из сравнения двух рядом стоящих членов:
Бином ньютона что это простыми. image 29925. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29925. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29925.
Бином ньютона что это простыми. image 29928. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29928. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29928.
заключаем, что:

Для получения коэффициента следующего члена достаточно умножить коэффициент предыдущего члена на показатель буквы х в этом члене и разделить на число членов, предшествующих определяемому.

Пользуясь этим свойством, можно сразу писать, например, (x+a)⁷=x⁷+7ax⁶+…

Теперь уже выписаны члены до середины ряда, остальные получим, основываясь на свойстве пятом:
(х+а)⁷ =х⁷-7αx⁶+21α²x⁵+35α³x⁴+35α⁴x³+21α⁵x²+7α⁶x+α⁷.

8) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна Бином ньютона что это простыми. image 29974. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29974. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29974.. Действительно, положив в формуле бинома x=a=1, получим:
Бином ньютона что это простыми. image 29979. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29979. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29979.

Например, сумма коэффициентов в разложении (х+a)⁷ равна
1+7+21+35+35 +21+7+1 = 128=2⁷.

9) Заменив в формуле бинома а на — а, получим:
Бином ньютона что это простыми. image 29992. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 29992. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 29992.
т. е.
Бином ньютона что это простыми. image 30000. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 30000. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 30000.
следовательно, знаки + и — чередуются.

10) Если в последнем равенстве положим x=α =1, то найдём:
Бином ньютона что это простыми. image 30008. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 30008. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 30008.

Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах.

Применение формулы бинома к многочлену

Формула бинома Ньютона позволяет возвышать в степень многочлен. Так:
(α+ b+c)⁴ = [(а+b)+с]⁴= (a+b)⁴+4c (а+b)³+6c² (а+b)²+4c³ (a+b)+c⁴.

Вывод формулы бинома ньютона

Бином ньютона что это простыми. image 90919. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90919. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90919.

Возникает вопрос, будет ли закономерность, наблюдаемая в этих формулах, обладать общностью, т. е. будет ли справедливой формула

Бином ньютона что это простыми. image 90921. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90921. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90921.

при всяком натуральном значении n?

Воспользуемся методом полной индукции. Допустим, что формула верна для произвольно взятого натурального числа р, т. е. предположим справедливым следующее равенство:

Бином ньютона что это простыми. image 90924. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90924. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90924.

Умножим обе части этого предполагаемого равенства на Бином ньютона что это простыми. image 90925. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90925. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90925.

Бином ньютона что это простыми. image 90927. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90927. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90927.

Бином ньютона что это простыми. image 90930. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90930. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90930.

и приняв во внимание, что

Бином ньютона что это простыми. image 90931. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90931. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90931.

Бином ньютона что это простыми. image 90933. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90933. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90933.

Из предположения, что формула верна при Бином ньютона что это простыми. image 90935. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90935. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90935.мы пришли к тому, что формула оказалась верной и при Бином ньютона что это простыми. image 90937. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90937. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90937.Но поскольку, кроме того, формула верна при Бином ньютона что это простыми. image 90940. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90940. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90940.то она должна быть верна и при любом натуральном значении n.

Теперь легко получить разложение и для Бином ньютона что это простыми. image 90942. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90942. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90942.

Бином ньютона что это простыми. image 90944. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90944. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90944.

Бином ньютона что это простыми. image 90947. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90947. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90947.

Последняя формула и называется формулой бинома Ньютона. Ее правая часть называется разложением степени бинома.

Числа Бином ньютона что это простыми. image 90949. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90949. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90949.называются биномиальными коэффициентами.

Свойства разложения бинома

В разложении бинома содержится членов на один больше, чем показатель степени бинома.

Все члены разложения имеют относительно букв а и b одно и то же измерение, равное показателю степени бинома. (Измерением одночлена относительно букв а и b называется сумма показателей степеней этих букв, входящих в этот одночлен.)

Поскольку все члены разложения имеют одинаковое измерение относительно букв а и b, то это разложение является однородным многочленом относительно букв а и b (см. стр. 450).

В разложении показатель степени буквы а последовательно понижается на единицу, начиная с показателя n, а показатель степени буквы b последовательно повышается на единицу, начиная с показателя, равного нулю.

Член разложения Бином ньютона что это простыми. image 90953. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90953. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90953.является Бином ньютона что это простыми. image 90954. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90954. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90954.членом разложения и обозначается символом Бином ньютона что это простыми. image 90955. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90955. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90955.

Бином ньютона что это простыми. image 90956. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90956. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90956.

называется формулой общего члена разложения, так как, давая букве k целые значения от 0 до n, мы можем получить из нее любой член разложения.

Теперь напишем разложение для выражения Бином ньютона что это простыми. image 90960. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90960. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90960.

Бином ньютона что это простыми. image 90965. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90965. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90965.

Бином ньютона что это простыми. image 90963. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90963. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90963.

Свойства биномиальных коэффициентов

1. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой. Действительно, по первому свойству числа сочетаний имеем:

Бином ньютона что это простыми. image 90968. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90968. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90968.

2. Сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома.

Доказательство:

Положим, в формуле бинома

Бином ньютона что это простыми. image 90970. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90970. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90970.

Бином ньютона что это простыми. image 90971. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90971. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90971.

Бином ньютона что это простыми. image 90974. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90974. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90974.

3. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме, биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Доказательство:

Полагая в тождестве

Бином ньютона что это простыми. image 90984. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90984. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90984.

Бином ньютона что это простыми. image 90980. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90980. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90980.

Перенеся все отрицательные члены в левую часть, получим:

Бином ньютона что это простыми. image 90981. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90981. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90981.

что и требовалось доказать.

Если вместо биномиальных коэффициентов Бином ньютона что это простыми. image 90989. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90989. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90989. Бином ньютона что это простыми. image 90991. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90991. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90991.подставить их значения, то формула бином Ньютона примет вид:

Бином ньютона что это простыми. image 90994. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90994. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90994.

Формулу бинома Ньютона принято записывать ради краткости в следующем символическом виде:

Бином ньютона что это простыми. image 90995. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90995. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90995.

Бином ньютона что это простыми. image 90997. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90997. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90997.

Читателю может показаться непонятным, почему столь элементарная формула

Бином ньютона что это простыми. image 90999. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 90999. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 90999.

где n — целое положительное число, носит имя великого ученого Ньютона, тем более что эта формула была известна до Ньютона. Например, ее знал Аль-Каши (XV век) и она встречается в трудах Паскаля. Объясняется это тем, что именно Ньютоном была обобщена эта формула для любого действительного показателя.

Ньютон впервые показал, что выражение

Бином ньютона что это простыми. image 91003. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91003. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91003.

где Бином ньютона что это простыми. image 91005. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91005. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91005.и Бином ньютона что это простыми. image 91006. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91006. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91006.— любое действительное число, равняется сумме следующего сходящегося, ряда:

Бином ньютона что это простыми. image 91008. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91008. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91008.

Например, если Бином ньютона что это простыми. image 91011. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91011. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91011.то

Бином ньютона что это простыми. image 91014. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91014. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91014.

Арифметический треугольник, или треугольник паскаля

Написанная ниже таблица

Бином ньютона что это простыми. image 91024. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91024. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91024.

называется треугольником Паскаля *.

По боковым сторонам этой таблицы стоят единицы, внутри же стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел предыдущей строки. Например, число 21 в 8-й строке получается сложением стоящих над ним чисел 6 и 15.

Бином ньютона что это простыми. image 91026. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91026. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91026.строка этой таблицы дает биномиальные коэффициенты разложения n-й степени бинома. Например:

Бином ньютона что это простыми. image 91029. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91029. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91029.

Треугольник Паскаля получается из следующей таблицы:

Бином ньютона что это простыми. image 91030. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91030. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91030.

Бином ньютона что это простыми. image 91031. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91031. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91031.

Треугольник Паскаля приведен в книге Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», изданной после его смерти в 1665 году.

Примеры с решением на Бином Ньютона

1. В разложении Бином ньютона что это простыми. image 91035. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91035. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91035.коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, т. е. член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от х, будет тот, который содержит х в нулевой степени).

Решение:

Бином ньютона что это простыми. image 91038. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91038. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91038.Отсюда Бином ньютона что это простыми. image 91041. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91041. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91041.

Бином ньютона что это простыми. image 91045. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91045. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91045.

Приравняв показатель степени буквы х к нулю, получим:

Бином ньютона что это простыми. image 91047. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91047. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91047.Отсюда Бином ньютона что это простыми. image 91049. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91049. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91049.

Искомым свободным членом будет четвертый, и он будет равен Бином ньютона что это простыми. image 91052. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91052. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91052.т. е. 165.

2. Сколько рациональных членов содержится в разложении

Бином ньютона что это простыми. image 91054. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91054. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91054.

Решение:

Бином ньютона что это простыми. image 91056. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91056. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91056.

Для рациональности члена разложения необходимо, чтобы число k было кратно четырем. Но тогда Бином ньютона что это простыми. image 91057. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91057. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91057.будет числом четным и Бином ньютона что это простыми. image 91058. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91058. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91058.будет числом рациональным.

Число k может принимать целые значения 0, 1, 2….. 100. Среди этих чисел кратными четырем будут

Бином ньютона что это простыми. image 91061. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91061. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91061.

Пользуясь формулой Бином ньютона что это простыми. image 91063. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91063. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91063.получим: Бином ньютона что это простыми. image 91068. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91068. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91068. Бином ньютона что это простыми. image 91070. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91070. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91070.или Бином ньютона что это простыми. image 91071. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91071. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91071.Следовательно, в разложении Бином ньютона что это простыми. image 91073. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91073. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91073.рациональных членов будет 26.

3. Доказать, что значение выражения

Бином ньютона что это простыми. image 91075. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91075. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91075.

где n — натуральное число, делится на 9.

Доказательство:

Бином ньютона что это простыми. image 91078. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91078. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91078.

Каждое слагаемое последней суммы делится на 9, следовательно, и вся эта сумма, т. е. значение выражения Бином ньютона что это простыми. image 91080. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-image 91080. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка image 91080.делится на 9, что и требовалось доказать.

Дополнение к Бином Ньютону

Бином ньютона что это простыми. 1 4540. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-1 4540. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка 1 4540.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Бином ньютона что это простыми. lfirmal 3. Бином ньютона что это простыми фото. Бином ньютона что это простыми-lfirmal 3. картинка Бином ньютона что это простыми. картинка lfirmal 3.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *