Безразмерная величина что это

Безразмерная величина

Безразмерная величина — физическая величина, в размерность которой основные физические величины входят в степени, равной нулю.

Например, плоский угол, определяемый как отношение длины дуги окружности, заключённой между двумя радиусами, к длине радиуса, в системе LMT является безразмерной величиной, так как не зависит от длины радиуса.

К безразмерным величинам относятся также все относительные величины: относительная плотность (плотность тела по отношению к плотности воды), относительное удлинение, относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости и т. д., а также критерии подобия (числа Рейнольдса, Прандтля и другие).

Безразмерная величина в одной системе величин может быть размерной в другой системе. Например, электрическая постоянная ε₀ в электростатической системе является безразмерной величиной, а в системе величин СИ имеет размерность dim ε₀ = L −3 M −1 N 4 I². Величины, являющиеся отношением двух однородных величин, являются безразмерными в любой системе.

Безразмерные величины выражаются в отвлечённых единицах. Относительные величины выражаются также в процентах и промилле, логарифмические — в децибелах (dB, дБ) и неперах (Np, Нп).

Литература

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Безразмерная величина» в других словарях:

безразмерная величина — Величина, в размерность которой основные величины входят в степени, равной нулю (ОСТ 45.159 2000.1 Термины и определения (Минсвязи России)). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN… … Справочник технического переводчика

безразмерная величина — nedimensinis dydis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, kurio dimensijos formulėje pagrindinių dydžių dimensijų laipsnio rodikliai lygūs nuliui. pavyzdys( iai) Santykinė ilginė deformacija, trinties faktorius, Macho… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

безразмерная величина — nedimensinis dydis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. dimensionless quantity; non dimensional quantity vok. dimensionslose Größe, f; unbenannte Größe, f rus. безразмерная величина, f pranc. grandeur adimensionnelle, f; grandeur non… … Fizikos terminų žodynas

безразмерная величина — Величина, численное значение которой не зависит от выбора основных единиц измерения … Политехнический терминологический толковый словарь

Безразмерная величина — 1. Величина, в размерность которой основные величины входят в степени, равной нулю Употребляется в документе: ОСТ 45.159 2000 Отраслевая система обеспечения единства измерений. Термины и определения … Телекоммуникационный словарь

безразмерная величина запаса по устойчивости — (напр. ротора турбины) [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN nondimensional margin of stabilityNMS … Справочник технического переводчика

безразмерная физическая величина — безразмерная величина Физическая величина, в размерность которой основные физические величины входят в степени, равной нулю. Примечание. Безразмерная величина в одной системе величин может быть размерной в другой системе. Например, электрическая… … Справочник технического переводчика

величина — 2.26 величина c (c value): Безразмерная величина, которая выражает степень термического контакта между температурными датчиками и средой, температура которой должна быть измерена. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Величина (физика) — Физическая величина это количественная характеристика объекта или явления в физике, либо результат измерения. Размер физической величины количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе,… … Википедия

БЕЗРАЗМЕРНАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА — фпз. величина, характеризующая количеств. св ва объекта, явления или процесса, в размерности к рой все показатели равны нулю (напр., ослабление или усиление многополюсника, магн. или диэлектрич. проницаемость среды, плоский угол и т. д.). Б. ф. в … Большой энциклопедический политехнический словарь

Источник

Значение словосочетания «безразмерная величина»

Например, плоский угол, определяемый как отношение длины дуги окружности, заключённой между двумя радиусами, к длине радиуса, в силу приведённого выше определения является безразмерной величиной.

К безразмерным величинам относятся также все относительные величины: относительная плотность (плотность тела по отношению к плотности воды), индекс вязкости, относительное удлинение, относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости и т. д., а также критерии подобия (числа Рейнольдса, Прандтля и другие).

Количество каких-либо объектов также является безразмерной величиной. Например, количество электронов в данном атоме или количество атомов в образованной из них молекуле.

Величина, безразмерная в одной системе физических величин, может быть размерной в другой системе. Например, электрическая постоянная ε0 в электростатической системе является безразмерной величиной, а в Международной системе величин (англ. International System of Quantities, ISQ) имеет размерность dim ε0 = L−3M−1T4I2. Величины, являющиеся отношением двух однородных величин, являются безразмерными в любой системе.

Единицами измерения безразмерных величин в общем случае являются числа. Когерентной производной единицей для безразмерной производной величины является число один (обозначение символом «1»), при этом наименование и обозначение единицы измерения один (1) обычно не указывают. В некоторых случаях единицам измерения безразмерных величин присваивают специальные наименования, например, радиан. Относительные величины выражаются также в процентах и промилле, логарифмические — в децибелах (dB, дБ) и неперах (Np, Нп).

безразмерная величина

1. физическая величина, в размерность которой все сомножители, соответствующие основным физическим величинам данной системы физических величин, входят в степени, равной нулю

Источник

Физическая величина

Физи́ческая величина́ — физическое свойство материального объекта, физического явления, процесса, которое может быть охарактеризовано количественно.

Значение физической величины — одно или несколько (в случае тензорной физической величины) чисел, характеризующих эту физическую величину, с указанием единицы измерения, на основе которой они были получены.

Размер физической величины — значения чисел, фигурирующих в значении физической величины.

Например, автомобиль может быть охарактеризован с помощью такой физической величины, как масса. При этом, значением этой физической величины будет, например, 1 тонна, а размером — число 1, или же значением будет 1000 килограмм, а размером — число 1000. Этот же автомобиль может быть охарактеризован с помощью другой физической величины — скорости. При этом, значением этой физической величины будет, например, вектор определённого направления 100 км/ч, а размером — число 100.

Размерность физической величины — единица измерения, фигурирующая в значении физической величины. Как правило, у физической величины много различных размерностей: например, у длины — нанометр, миллиметр, сантиметр, метр, километр, миля, дюйм, парсек, световой год и т. д. Часть таких единиц измерения (без учёта своих десятичных множителей) могут входить в различные системы физических единиц — СИ, СГС и др.

Часто физическая величина может быть выражена через другие, более основополагающие физические величины. (Например, сила может быть выражена через массу тела и его ускорение). А значит, соответственно, и размерность такой физической величины может быть выражена через размерности этих более общих величин. (Размерность силы может быть выражена через размерности массы и ускорения). (Часто такое представление размерности некоторой физической величины через размерности других физических величин является самостоятельной задачей, которая в некоторых случаях имеет свой смысл и назначение.) Размерности таких более общих величин часто уже являются основными единицами той или другой системы физических единиц, то есть такими, которые сами уже не выражаются через другие, ещё более общие величины.

Пример.
Если физическая величина мощность записывается как

P = 42,3 × 10³ Вт = 42,3 кВт,

Р — это общепринятое литерное обозначение этой физической величины, 42,3 × 10³ Вт — значение этой физической величины, 42,3 × 10³ — размер этой физической величины.

Вт — это сокращённое обозначение одной из единиц измерения этой физической величины (ватт). Литера к является обозначением десятичного множителя «кило» Международной системы единиц (СИ).

Содержание

Размерные и безразмерные физические величины

Аддитивные и неаддитивные физические величины

Экстенсивные и интенсивные физические величины

Некоторые физические величины, такие как момент импульса, площадь, сила, длина, время, не относятся ни к экстенсивным, ни к интенсивным.

От некоторых экстенсивных величин образуются производные величины:

Скалярные, векторные, тензорные величины

Система единиц физических величин

Система единиц физических величин — совокупность единиц измерений физических величин, в которой существует некоторое число так называемых основных единиц измерений, а остальные единицы измерения могут быть выражены через эти основные единицы. Примеры систем физических единиц — Международная система единиц (СИ), СГС.

Символы физических величин

В качестве символов физических величин обычно выступают отдельные прописные и строчные литеры латинского или греческого алфавита. Часто к обозначениям добавляют верхние или нижние индексы, обозначающие, к чему относится величина, например E_п часто обозначает потенциальную энергию, а c_p — теплоёмкость при постоянном давлении.

Источник

Качественная единица как элемент размерностного анализа или к вопросу о размерности «безразмерных» величин

А.Н.Митрохин

Нобелевский лауреат В.Гейзенберг следующим образом характеризовал проблему адекватности понятий в науке [6, с.92]: «Первая предпосылка познания явлений природы — введение адекватных понятий; лишь с помощью верных понятий мы в состоянии понастоящему знать, что мы наблюдаем».

В широко известной в мире прикладных наук работе [3], посвященной анализу размерностей физических величин, П.Бриджмен, много сделавший для становления теории размерностного анализа, в конце вводной главы ставит перед собой несколько вопросов, среди которых наибольший интерес для данной статьи представляет следующий: «В чем смысл величин, не имеющих размерностей?».

И хотя упомянутый автор берет на себя обязательство по мере подачи материала последовательно отвечать на поставленные вопросы, однако, к большому сожалению, он как бы забывает о своем обещании и на некоторые из них ответа в его книге мы не находим [4].

Не дан ответ и на вопрос о физическом смысле безразмерных величин. А вместе с этой неопределенностью перед нами в полный рост встает проблема адекватности понятий, которая принципиально важна не только для рассматриваемого случая — данная проблема сопровождает человека постоянно на протяжении всей его жизни, независимо от сферы деятельности. Использование адекватных понятий — это альфа и омега взаимопонимания между людьми на любом уровне их общения.

Древнегреческий мыслитель Сократ о проблеме адекватности понятий высказался так [5, с.50]: «Точное логическое определение понятий — главнейшее условие истинного знания»

Продвинулась ли наука в решении этого вопроса за последнее время? Конечно, эта проблема по­стоянно привлекала внимание специалистов, но по сути ничего не изменилось со времен П.Бриджмена. Современная научно-техническая и учебная литература в изобилии пестрит этим понятием, хотя толком никто не может объяснить, в чем же заключается смысл этой «безразмерности», происхождение которой во многом обязано математической операции деления. Согласно существующим математическим правилам при делении однородных величин остается «безразмерное» число, однако, как мы убедились выше, у прикладников абсолютной идентификации с числом не происходит, напротив, продолжает сохраняться скрытый физический смысл, связанный с исходными величинами. Причем это смысловое наполнение может интерпретироваться неоднозначно, ему могут придаваться различные смысловые оттенки.

Рассмотрим для уяснения проблемы две простые арифметические задачи. В первом случае разделим число 100 на число 10, в результате получим: 100 /10=»10. Во втором случае, отвечая на вопрос — сколько дециметров содержится в отрезке длиной 100 см? — выполним операцию деления над двумя однородными физическими величинами. В результате, поделив числа и сократив размерности, получим: 100 см /10 см=10.

Из приведенных упражнений следует, что результаты деления по форме в обоих случаях совпадают. Однако из сопоставления решений можно сделать очень интересное наблюдение — оказывается, деление чисел и деление величин, состоящих из числа и размерности, — это отличные процедуры. Во втором примере в ответе присутствует не только числовое значение, но будет подразумеваться и смысловое содержание, хотя в обоих примерах математика выдает нам, казалось бы, одинаковый результат. Несмотря на схожесть формы, содержание ответов будет разное. Во втором случае полный ответ будет означать, что в 100 сантиметрах содержится 10 дециметров и, следуя логике международного стандарта [1″], мы можем записать последнее математическое равенство следующим образом: 100 см/10 см=»10=10 дециметров.

В связи с этим напрашивается следующий простой вопрос (подобноП.Бриджмену, в книге которого присутствует критик Мефистофель, задающий каверзные вопросы, в данной статье аналогичные вопросы ученым дядям и тётям будем задавать и мы), а если по каким-либо причинам в качестве основной меры длины был выбран дециметр, то в этом случае метр бы стал безразмерной величиной или не стал? Скорее всего стал бы, поскольку в метрологии сейчас существует положение, когда физическая величина при одних обстоятельствах имеет размерность, при других та же физическая величина может оказаться «безразмерной» [11″].

Особенно отчетливо проблема «безразмерности» видна на примере угловых единиц измерений — радиана, градуса и других, которые никак не хотят вписываться в существующие каноны. Мало того, что они причислены к безразмерным единицам измерений, их периодически относят то к дополнительным, то к производным внесистемным единицам измерений. Отечественная метрология, например, предлагает включить их в состав основных единиц измерений СИ. И полемика об определении статуса угловых единиц измерений идет с давних пор, она продолжается и сейчас. О важности этого вопроса свидетельствует то, что он постоянно находится в центре внимания Международной организации по стандартизации (ISO).

Имеющиеся неувязки, наличие своеобразных «белых пятен» в понятийном поле точных наук, конечно, налагает свой отпечаток на настроения в научном мире, и время от времени неудовлетворенность существующим положением выплескивается на страницы печати. О том, что автор статьи не одинок в стремлении понять и разрешить имеющиеся противоречия и не является в некотором смысле «белой вороной», свидетельствуют нижеследующие примеры. Так, в [12] высказываются следующие замечания в отношении угловых единиц измерений [12, с.56]:

«. физической величине, официально размерности не имеющей, разрешено иметь единицу измерения, которой присвоено наименование «радиан».

Допускаются к применению и такие единицы измерений плоского угла, как градус, минута и секунда, являющиеся долями другой единицы измерения (360°или 2% радиан), которой никакое наименование официально не присвоено. На практике же для обозначения этой единицы измерения пользуются наименованием «оборот», «период». Такая неопределенность не может не приводить к путанице как в учебном процессе, так и при практическомиспользовании, с чем и приходится нередко сталкиваться».

Именно с этой путаницей постоянно сталкиваются при применении ГОСТ 8.417-2002 [13], ГОСТ 24346-80 [14], ГОСТ 24347-80 [15] и оперировании единицами измерений таких физических величин как частота, угловая частота гармонических колебаний, частота вращения, угловая скорость, что и явилось причиной появления [2]. О путанице с единицами измерений упомянутых физических величин свидетельствуют и другие авторы [16, с.9]. Из-за путаницы в упомянутых стандартах встречаются расчетные ошибки в научно-технической литературе, примеры которых даны в [2, 17]. Логично предположить, что имеющаяся путаница вряд ли останется только на бумаге, ибо путаница в нормативных документах где-то обязательно приведет к путанице в практических делах. И если есть возможность избавиться от нее, то необходимо использовать эту возможность. В этом отношении прекрасный пример положительного отношения к разрешению путаницы, имевшейся в свое время с мерами массы и веса, приведен в [18, с.12]. Далее автор этой «сердитой» статьи подвергает критике безразмерные величины, размерность которых, как он верно подмечает «. численно равна единице, хотя физическое содержание этих величин может кардинальноотличаться друг от друга?», заключая свое недовольство существующим положением в следующую фразу, где он с долей издевки констатирует [12, с.56]: «Все перечисленные алогизмы заставляют сделать вывод о том, что пришла пора прекратить политику страуса, прячущего голову в песок».

Следующий автор [22], опять же представитель преподавательского корпуса, поднимает проблему формирования у учащихся физических понятий, определяемых формулой С=а/Ь.

И хотя в статье термин безразмерная величина не фигурирует, характерно следующее высказывание [22, с.73]: «В математике, которая абстрагируется отреального содержания величин, отношение есть число. Смысл физической величины, определяемой через отношение двух других, от учащихсяскрыт. Даже те, кто знает, что отношение означает операцию деления, не видят в ней физического содержания».

Конечно, изложенные мнения — это малая толика информации, которая материализовалась в виде публикаций и которой располагает автор статьи. Можно предположить, что подобный критический взгляд могли бы высказать многие специалисты, в особенности работающие в сфере прикладных наук, но, как это нередко бывает, человеку просто лень браться за перо и, безусловно, приведенные примеры — только видимая часть «айсберга» недовольства существующим положением.

Для разъяснений целесообразно обратиться к нормативным документам по метрологии. В действующем с 01.01.2001 г. межгосударственных рекомендациях РМГ 29-99 [11] существование безразмерной величины узаконено и предложено следующее ее толкование: безразмерная величина — физическая величина, укоторой показатель степени основных величин равен нулю. Может ли снять вышеозначенные проблемы приведенное в РМГ 29-99 определение безразмерной величины, идентично существовавшему ранее в ГОСТ 16263-70 [23]?

Из рассмотренных выше примеров ясно, что проблемы не решаются и «бриджменовский» вопрос сейчас столь же актуален, как и прежде. Новые рекомендации, следуя по накатанной дороге, не расстались со старым багажом — документ хотя и нов, а содержание осталось прежним. В этом отношении показательна статья [21], в которой, дискутируя с [12], а также другими авторами, сделана попытка разрешения имеющихся неувязок и противоречий на основе сохранения прежних подходов. Как и следовало ожидать, рамки существующей метрологической парадигмы не позволили это сделать. Несмотря на ждущий своего разрешения «бриджменовский» вопрос, перед нами в статье [21] мелькают все те же безразмерные величины (условно безразмерные, абсолютно безразмерные), безразмерные единицы измерений. Статья изобилует терминами, связанными с понятием «единица» (насчитывается около двух десятков терминов), в том числе: безразмерная единица, арифметическая единица, естественная единица, единица абсолютной шкалы, радианная единица и т.д., что не способствует пониманию материала.

Рекомендуемая в [21] теория шкал, построенная на основе объединения безразмерных величин и как бы противопоставляемая СИ, в данном случае мало помогает. Поэтому не только содержание статьи, но уже ее заголовок вызывает вопросы.

Во-первых, непонятно о чем идет речь, то ли о единицах измерений, то ли о числовых единицах различных множеств, которые, как отмечалось выше, нет нужды называть безразмерными.

Во-вторых, если под «единицами» подразумеваются единицы измерений, которые вряд ли могут быть безразмерными, то авторы совершают большую ошибку, отождествляя понятия «единица» и «единица измерения». Это равносильно тому, как если бы, например, идиоматический оборот «Ахиллесова пята» заменить словом «пята», смысл в обоих случаях получается различный, подробно этот вопрос автором рассмотрен в [7].

Анализируя полемику в [21], а также исходя из собственного опыта обкатки содержания работ [2, 17], возникает ощущение, что некоторые оппоненты от метрологии, из числа не сомневающихся в существовании безразмерных величин, имеют дело не со зрелыми специалистами, которым имеющиеся в стандартах неувязки мешают в практической работе при использовании единиц измерений, а слабо успевающими подростками, едва осилившими начальный курс математики и физики, и которых надо еще учить и учить уму-разуму, поскольку они и этого не знают, и того не понимают.

Что же следует понимать под «безразмерностью»? Скорее всего, это чистая условность, какая существует, например, в русском языке в названиях безымянный палец или железнодорожная станция Безымянка Куйбышевской железной дороги. Для подтверждения этой условности в точных науках прислушаемся к следующему рассуждению Л.И.Седова, известного отечественного ученого, много уделявшего в своих трудах вопросам анализа размерностей физических величин [4, с. 13]:

«Подразделение величин на размерные и безразмерные является до некоторой степени делом условности. Так, например, угол мы называембезразмерной величиной. Но известно, что углы можно измерять в радианах, в градусах, в долях прямого угла, т.е. в различных единицах. Следовательно, число, определяющее угол, зависит от выбора единицы измерения. Поэтому угол можно рассматривать и как величину размерную».

Эта условность, как уже было отмечено выше, состоит сейчас в том, что физические величины могут оказаться «безразмерными» при переводе в другую размерностную систему [11]. Все это свидетельствует о шаткости границ между размерными и «безразмерными» величинами.

Имеющийся «размерно-безразмерный» дуализм, несомненно, противоречит основным законам логики, т.к. понятия взаимоисключают друг друга, физическая величина не может быть одновременно размерной и «безразмерной».

Откуда возникают безразмерные величины? У истоков их появления стоит, что подтверждается приведенной выше выдержкой из [22], математика, а точнее математическая операция деления, которую следует рассмотреть более внимательно, более придирчиво. Как известно, начиная с первых классов начальной школы, математика, в образе учителя математики, приучает нас к мысли, что математические операции (счет, сложение, вычитание, деление и др.) являются операциями над числами.

В науке принято считать, что математические величины — суть действительные числа [26, т.4; 27, т.1; 28, с.112] и поэтому математика предпочитает заниматься только числами. Анализ размерностей при этом отделен от математики, и по мнению математиков, а точнее «чистых» математиков, это дело физики, метрологии или какой-либо другой ветви науки. Однако, всем нам хорошо известно, что при решении конкретных задач (бытовых, инженерных, научных), например при делении величин, необходимо осуществлять два параллельных математических действия — деление чисел и деление (взаимодействие) размерностей. В случае неоднородности единиц измерений числителя и знаменателя происходит своеобразное сращивание размерностей, объединяемых знаками деления или умножения.

Математическая операция деления в привычном для нас приложении к числам плохо подходит к тому, что происходит в этом случае с размерностями. По сути, никакого деления здесь не наблюдается. Скорее это можно назвать взаимодействием в математическом смысле (подобно тому, как, например, в химических реакциях происходит слияние или разделение атомов и молекул, в результате чего возникают новые свойства веществ) и поэтому автор статьи не смог подобрать лучшего термина в названии [2]. Об этой проблеме свидетельствует полемика ученых в книге П.Бриджмена [3, прил. к гл. 2].

В результате этого математического сращивания возникают новые понятия, новые размерности, что хорошо видно на примере образования единиц измерений скорости движения.

В случае одинаковости единиц измерений при делении происходит их сокращение и формально по существующим математическим правилам мы получаем в результате деления чистое «безразмерное» число.

Но, как показано выше, результат деления математических величин все же не является только числом, частное от деления несет, кроме количественной оценки, и качественное содержание, ассоциируемое у прикладников с безразмерной величиной.

Рассматривая пути решения неувязок понятийного аппарата точных наук и анализируя уравнения математической физики, приходим к выводу, что математические операции следует рассматривать не только как операции над числами, но как операции над математическими величинами, состоящими из числовой и размерностной частей [2].

В силу этого предложено размерностный анализ отнести к математике, он должен стать ее естественной и неотъемлемой частью, поскольку в обоих случаях действуют законы математики, хотя алгебра операций с числами и размерностями различна. Такой подход дает дополнительные возможности для решения имеющихся неувязок, включая проблему безразмерных величин. Одна из таких возможностей состоит в четком различении числовой единицы и качественной (размерностной) единицы, отражающей взаимодействие однородных единиц измерений в операции деления, что более подробно рассмотрено в [2,17].

Для пояснения вернемся к арифметической задаче, помещенной в начале статьи, решение которой получено в виде 100 см/10 см=»10=10 дециметров. Из равенства следует, что после сокращения единиц измерений делимого и делителя исчезновения размерности не происходит (что, заметим, хорошо согласуется с законами сохранения), в последующих рассуждениях мы видим ее «возрождение», поэтому желательно каким-то образом отразитьпромежуточный результат этого взаимодействия, представленный числом 10. Таким средством может стать качественная единица, отражающая результат сокращения размерностей. Поэтому вышеприведенное равенство примет вид 100 [см] / 10 [см] =10[1″]=»10 [дециметров]. Таким образом, при делении однородных математических величин мы получаем не безразмерностное количественное содержание, но полновесную математическую величину, состоящую из количественной (числа) и качественной (размерности) частей, хотя для представления качественной части математике явно не хватает более эффективных, с точки зрения последующей расшифровки их субъектом исследования, средств. При наличии качественной единицы математика, имея ограниченные возможности, предоставляет право самому субъекту исследования принимать решение в зависимости от поставленных вопросов о характере смыслового содержания (характере размерности) математической величины. Это свидетельствует о том, что качественная единица по своему внутреннему содержанию многолика, и суть ее содержания, несмотря на форму, не количество, а качество, т.е. размерность. Аналогичные рассуждения будут справедливы в отношении любой другой математической величины, разумеется мы придем к тем же выводам.

Качественная (размерностная) единица, отражающая взаимодействие размерностей при выполнении операции деления над однородными математическими величинами, вносит существенные коррективы в понимание сущности операции деления.

Во-первых, она исключает «безразмерность» результатов деления математических величин, тем самым давая серьезные основания для избавления от безразмерных величин.

Во-вторых, принимая во внимание, что алгебра операций с символами размерностей отличается от обычной алгебры, некоторые формулы размерностного анализа предстанут перед нами в новом виде.

В частности, поделив длину на длину в выше приведенном примере, мы получим ту же длину или облекая это в математическую форму:

где L в числителе — длина измеряемого отрезка,

L в знаменателе — длина образца (эталона),

L — количество эталонных отрезков длины (в нашем случае дециметров), уложившихся в измеряемом отрезке.

В современной же трактовке формула (1) в анализе размерностей выглядит, как известно, сле­дующим образом [29, 30, 31]: L/L=»1. Следует заметить, что результат деления длины на длину может и не быть длиной, все зависит от содержания вопроса.

Например, ставя задачу выяснения во сколько раз один отрезок больше другого, мы получим в этом случае ответ в разах, хотя в частном от деления будет стоять все та же качественная единица.

Из-за многоликости качественной единицы ее расшифровка полностью зависит не только от содержимого знаменателя и числителя, но и от содержания вопроса, ответ на который предусматривается получить посредством математической операции деления.

Качественная единица дает ключ к уточнению статуса угловых единиц измерений, при этом, как показано в [2], измерению подвергается не угол, который, если следовать существующему определению угла как геометрической фигуры или части площади, однозначно измерить невозможно, а длина дуги окружности между двумя линиями.

В свою очередь мерой длины дуги окружности является радиан — часть окружности, равная по длине радиусу этой же окружности. Такой же мерой является и физическая константа л, содержащая 6,283. радиана.

Под измерением угла следует подразумевать процедуру измерения величины раскрытия (раствора, степени непараллельности) двух линий или двух плоскостей.

Камнем преткновения в совре­менном анализе размерностей для решения вопроса «безразмерности» является также существующее определение размерности, сводящееся к тому, что размерность — это формула. Ограничивая понятие размерности пределами только физических величин и воспринимая ее как формулу, составленную из символов основных физических величин, мы сознательно ограничиваем свои возможности.

Понятию размерность этот формульный «костюмчик» явно тесен, что подтверждается не только исследованиями автора статьи.

Новый подход к математическим операциям дает основание пересмотреть кардинальным образом определение этого понятия, и в авторской редакции размерность трактуется как качественная часть математической величины[2].

Иначе говоря, все то, что прилагается нами к числу в виде смыслового содержания, это и есть размерность.

Автор статьи не одинок в стремлении рассматривать математическую величину как двуединое понятие, состоящее из количественной (числа) и качественной (размерности) частей. Такие вопросы в науке поднимались неоднократно, начиная с Аристотеля. В начале XX века, например, эта тема исследовалась в трудах Н.А. Морозова [32], где он, рассматривая различные математические операции, сформулировал закон изотезичности, звучащий следующим образом: всякое математическое равенство заключает в себе полный и законченный логический смысл только в том случае, когда обе его части изотезичны, т.е. представляют те же самые тезисы, состоящие из одноименных величин.

Разумеется, формульное представление размерности в виде символов физических величин не исключается, такая форма записи становится частным случаем выражения размерности физических величин. При этом не следует искать в размерности какойто особый глубинный смысл, наличие размерности не дает гарантии исключения научного заблуждения.

Для более полного уяснения изменений, которые вносит новый подход к математическим операциям, рассмотрим построенный на принципах Международной системы единиц (СИ) действующий с 01″.09.2003 г. отечественный стандарт ГОСТ 8.417-2002 [13J, фрагмент которого приведен в таблице 1, и сравним с результатами исследований, представленными в таблице 2.

Отличия видны уже в «шапке» таблицы. Далее, измерение длины в таблице 2 предусмотрено двояким образом: измерение прямой линии производится посредством принятой в данной размерностной системе образцовой единицы измерения длины (в СИ, например, это метр), измерение длины дуги окружности (кривой линии) производится посредством неявных единиц измерений — радиуса окружности или физической константы Пи, содержащей 6,283. радиуса, одинаково употребимых для любой размерностной системы.

После пересчета длина кривой линии (части окружности) может измеряться также, как и прямой линии, т.е. посредством образцовой единицы измерения длины.

Важной особенностью таблицы 2 является форма сокращенной записи единиц измерений ряда физических величин, которая претерпела изменения в связи с появлением качественной единицы. Краткая форма записи учитывает новые подходы и приведена в соответствие с содержанием.

Например, при сокращенной записи единицы измерения скорости движения по окружности краткая форма имеет вид «1/с», что означает движение со скоростью один радиус в секунду. Такая форма записи является конечной, она несводима далее к «с-1», по­скольку качественная единица по своему внутреннему содержанию не является числом.

Далее, анализируя такие понятия, как «частота колебания» и «частота вращения», можно видеть, что их размерность не может быть сведена к обратному времени, т.е. к «Т-1», поскольку физические понятия «колебание» и «оборот» имеют самостоятельный понятийный статус, поэтому в формульной трактовке размерность указанных физических величин следует определить как «колебание/время» и «оборот/время».

Следующей особенностью таблицы 2 в сопоставлении с таблицей 1 является устранение совпадения размерностей момента силы и работы (энергии), что сейчас имеет место и отмечается как недостаток [33, с. 17].

В новой трактовке единица измерения момента силы будет представлять собой отношение единицы измерения работы (энергии) к единице измерения длины дуги, каковой является радиан, т.е. [Н м] / [1 ], что следует из формулы А=Мф.

В таблице 1 приведен ряд физи­ческих величин, имеющих одинаковую размерность, обусловленную такой единицей измерения как «метр в минус первой степени» (обратный метр), сокращенно записываемый «м1».

К ним в настоящее время относятся «кривизна линии» [30, с. 133], «волновое число» [13, с.с.4, 24; 30, с.283], «оптическая сила» [13, с.14;30, с.302].

Анализируя оставшиеся две другие физические величины, можно видеть, что в случае определения кривизны линии в качестве контрольного отрезка длины берется радиус, в случае же определения оптической силы — фокусное расстояние линзы. Поэтому единицами измерений упомянутых величин будут соответственно являться «1/[м]» и «диоптрия». Следует остановиться на разъяснении формы записи «обратного метра», который в настоящее время сокращенно записывается в виде «м1». Поскольку эту запись следует воспринимать как «1/м», а это размерность волнового числа, то становится ясным, что существующая краткая форма записи «обратного метра» не соответствует его содержанию.

Правильной сокращенной формой записи «обратного метра» будет являться «1/[м]=»[м]-1», т.е. в этом случае степенная форма записи может быть и приемлема, но минус единица должна быть вынесена за скобки. Здесь единица в числителе — это числовая единица.

В связи с вышеизложенным остановимся на анализе одной математической зависимости, рассматриваемой в разделах теоретической физики, относящейся к изучению волновых процессов.

Эта зависимость выглядит сле­дующим образом [«34, т.2, с.194]:

Из анализа исходных физических величин следует, что в (3) осуществляется умножение скорости движения на время, а это значит, что в результате мы должны получить пройденное расстояние. Поэтому равенство (2) согласно всем физико-математическим правилам приобретет следующий вид:

Полученная формульная трактовка известной зависимости пройденного пути от времени и скорости, независимо от того, что хочет выразить тот или иной автор, соответствует общеизвестным понятийным формам записи, невзирая на уровень изучения проблемы — будь это учебник физики средней школы или самые современные труды по проблемам квантовой механики.

Произведение скорости движения и времени всегда будет характеризоваться не безликой безразмерностной единицей или другим непонятным результатом, а пройденным расстоянием.

Некорректность формулы (2) вызвана двумя обстоятельствами, а именно: тем, что со измеряется согласно существующим научным положениям в «с-1», а также тем, что качественная единица не является элементом размерностного анализа.

Поэтому, конечно, следует считать заблуждением, когда по всему учебнику [34] красной нитью проходит утверждение, что со, т.е. скорость движения по окружности, является частотой (здесь уместен очередной вопрос в адрес «большой» науки— а так ли уж безобидно для физики положение, когда скоростьназывают частотой?).

Примеры ошибочного толкования со можно привести из других учебников и работ, посвященных изучению и решению проблем современной физики [35, с. 10; 36, 37].

В современном анализе размерностей применяется такое преобразование, как рационализация уравнений [29, с. 136; 38, с. 115], заключающееся в исключении множителей 4л и 2л из уравнений, связывающих электромагнитные физические величины, при этом до и после рационализации название физических величин, физических понятий и их единиц измерений как правило сохраняется.

Сказанное выше относится и к постоянной Планка — физической константе, которая в настоящее время имеет два обозначения: в виде h и h, отличающиеся между собой множителем 2Пи. По сути одна из этих физических величин не является постоянной Планка.

В заключение следует сказать, что, как видится автору статьи, качественная (размерностная) единица объективно отражает закономерности, существующие в сфере количественных отношений, ведущая роль в изучении которых принадлежит математике.

Такой вывод не покажется бездоказательным, если размерностный анализ, кстати, не­обоснованно исключенный из школьного курсаматематики, по поводу чего в свое время сетовал академик А.Н.Колмогоров [39], рассматривать как естественную часть математики и физики, а не в качестве особняком стоящей самостоятельной научной ветви, которой изредка уделяют внимание отдельные специалисты.

2. Митрохин А.Н. О взаимодействии размерностей в математических преобразованиях.- М.Транспорт, 1996.-102 с.

3. Бриджмен П.В. Анализ размерностей. / Пер. со второго англ. изд. под ред. акад. С.И.Вавилова. Л.-М.: ОНТИ. Гос. технико-теорет. изд.-1934.-120 с.

4. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.- 8-е изд., перераб.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.-440 с.

5. Исследования по истории физики и механики. 1991-1992 гг. М.: Наука, 1997.-280 с.

6. Гейзенберг В. Шаги за горизонт: Пер. с нем./Сост. А.В.Ахутин; Общ. ред. и вступ. статья Н.Ф.Овчинникова.-М.:Прогресс, 1987.-368 с.

7. Митрохин А.Н. К вопросу об адекватности некоторых понятий, определений и терминов метрологии или слово в защиту единицы измерения // Законодательная и прикладная метрология.-2002.-№ 5.-С.37-45.

8. Веников В.А. Применение теории подобия и физического моделирования в электротехнике. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1949.-168 с.

10. Гухман А.А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепло-массообмена. М.: Высшая школа, 1967.-304 с.

11. Рекомендации по межгосударственной стандартизации РМГ 29-99. Метрология. Основные термины и определения.

12. Коган И.Ш. К вопросу о размерности и единицах измерений безразмерных физических величин // Законодательная и прикладная метрология.-1998.-N4.-C.55-57.

13. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин.

14. ГОСТ 24346-80. Вибрация. Термины и определения.

15. ГОСТ 24347-80. Вибрация. Обозначения и единицы величин.

16. Быховский И.И. Основы вибрационной техники. М.: Машиностроение. 1968.- 362 с.

17. Митрохин А.Н. Математика и ее роль в анализе размерностей и образовании единиц измерения // Законодательная и прикладная метрология.-2000.-N5.-C.39-47.

20. Царева СЕ. Введение удобных единиц измерения как метод решения текстовых задач //Математика в школе.-1997.-№6.-С.58-61.

21. Брянский Л.Н., Дойников А.С., Крупин Б.Н. Безразмерные единицы и числа //Измерительная техника.-1999.-№9.-С.З-10.

22. Свитков Л.П. К изучению физических понятий, определяемых формулой С=а/Ь //Физика в школе.-2002.-№ 7.-С.71-74.

23. ГОСТ 16263-70. Метрология. Термины и определения.

24. Микиша A.M. и Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов.- М.: Рус. яз.,1989.-244 с.

25. Моро М.И. и др. Математика: Учеб. для 1 кл. нач. шк. / М.И.Моро, М.А.Бантова.Г.В.Бельтюкова.- 17-е изд.-М.: Просвещение, 1992.-175 с.

26. Большая Советская Энциклопедия (В 30 томах). Гл. ред. А.М.Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская Энциклопедия». 1970-1981.

27. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М.Виноградов. В 5-и томах. М.: «Советская энциклопедия». 1977-1984.

28. Математический энциклопедический словарь. /Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л.Онищик, А.П.Юшкевич.- М.: Советская Энциклопедия, 1988.- 847 с.

29. Чертов А.Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы): Справ, пособие.- М.: Высш. шк., 1990.- 335 с.

30. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности: Учебно-справочное руководство.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-432 с.

33. Основные термины в области метрологии: Словарь-справочник /М.Ф.Юдин, М.Н.Селиванов, О.Ф.Ти-щенко, А.И.Скороходов; Под ред. Ю.В.Тарбеева.- М.: Издательство стандартов, 1989.- 113 с.

34. Ландау Л.Д. и Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. пособие.-В 10 т. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988-1993.

36. Алексеев К.Н., Берман Г.П., Цифринович В.И., Фришман A.M. Динамический хаос в магнитных системах// УФН. 1992. Т.162. N7. с.81-118.

37. Брагинский В.Б., Халили Ф.Я. Взаимодействие электромагнитных и механических колебаний на уровне основного квантового состояния // УФН. 1993. N6. T.1.C.107-109.

38. Власов А.Д., Мурин Б.П. Единицы физических величин в науке и технике: Справочник.- М.: Энергоатомиздат, 1990.- 335 с.

39. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе //Математика в школе.-2003.-№3.-С.10-11.

Источник