баруча рид а т элементы теории марковских процессов и их приложения
Баруча рид а т элементы теории марковских процессов и их приложения
От редактора русского перевода Предисловие
Глава 1. Процессы, дискретные в пространстве и во времени
§ 1.2. Основные определения и свойства
§ 1.3. Вычисление моментов и семиинвариантов (кумулянтов)
§ 1.4. Фундаментальная теорема о ветвящихся процессах
§ 1.5. Замечания относительно числа поколений перед вырождением
§ 1.6. Предельные теоремы
§ 1.7. Представление процессами случайного блуждания
§ 1.8. N-мерные ветвящиеся процессы
Глава 2. Процессы, дискретные в пространстве и непрерывные во времени
§ 2.2. Основные уравнения для разрывных марковских процессов
§ 2.3. Бесконечные системы дифференциальных уравнений
§ 2.4. Некоторые разрывные марковские процессы и их свойства
§ 2.5. Ветвящиеся вероятностные процессы, зависящие от возраста
§ 2.6. Предельные теоремы
§ 2.7. N-мерные разрывные процессы
Глава 3. Процессы, непрерывные в пространстве и во времени
§ 3.2. Диффузионные процессы на действительной прямой. Теория Колмогорова
§ 3.3. Диффузионные процессы на действительной прямой. Теория Фел-лера
§ 3.4. Задача о времени первого прохождения для диффузионных процессов
§ 3.5. Приближение дискретных процессов процессами диффузионного типа
§ 3.6. N-мерные диффузионные процессы
Часть II. ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава 4. Приложения к биологии
§ 4.3. Рост популяций, подверженных мутации
§ 4.4. Вероятностная теория эпидемий
§ 4.5. Диффузионные процессы в теории частот генов
Глава 5. Приложения к физике. Теория каскадных процессов
§ 5.2. Электронно-фотонные каскады
§ 5.3. Нуклонные каскады
§ 5.4. Ионизационные каскады
§ 5.5. Метод Рамакришнана—Сринивасана в теории каскадов
§ 5.6. Некоторые дополнения к теории каскадных процессов
Глава 6. Приложения к физике. Дополнительные приложения
§ 6.2. Теория радиоактивных преобразований
§ 6.3. Теория счетчиков частиц
§ 6.4. Некоторые вопросы теории детекторов ядерного деления
§ 6.5. Теория следов (треков) в ядерных фотоэмульсиях
§ 6.6. Некоторые вопросы теории ядерных реакторов
Глава 7. Приложения к задачам астрономии и астрофизики
§ 7.2. Теория флуктуации яркости Млечного Пути
§ 7.3. Теория пространственного распределения галактик
§ 7.4. Вероятностная теория переноса излучения
Глава 8. Приложения к химии
§ 8.2. Некоторые вероятностные модели химической кинетики
§ 8.3. Замечания по поводу других приложений
Глава 9. Приложения к исследованию операций. Теория массового обслуживания
§ 9.2. Представление процессов обслуживания. Общая теория
§ 9.3. Применения к телефонии
§ 9.4. Применения к обслуживанию машин
§ 9.5. Некоторые специальные процессы обслуживания
Приложение А. Производящие функции
Приложение Б. Преобразования Лапласа и Меллина
Приложение В. Применение метода Монте-Карло при изучении вероятностных процессов
Баруча рид а т элементы теории марковских процессов и их приложения
Значительные успехи, достигнутые в последнее время в гидродинамике, связаны в первую очередь с развитием методов математического моделирования. Современное математическое моделирование каждого физического процесса подразумевает решение нескольких задач:
1) формулирование математической модели конкретного физического процесса (или группы процессов);
2) формулирование алгоритма решения этой задачи;
3) отображение численного алгоритма на архитектуру используемой вычислительной системы.
Все указанные задачи тесно связаны между собой. Прежде чем исследовать математическими методами какие-либо природные процессы, необходимо выделить те основные принципы и движущие моменты, которые позволяют достаточно удовлетворительно и просто описать в количественном и качественном отношениях их протекание, т.е. создать модель. Действительное строение земной коры намного сложнее, чем те простые объекты, которые доступны для исследования методами современной теории. Гидродинамические явления описываются уравнениями, основанными на законах сохранения массы и количества движения, уравнениями состояния и законами термодинамики. Все эти уравнения являются приближенными.
Решение ряда задач для случайных процессов любого вида представляет большие трудности. Однако, удается получить сравнительно простые методы расчета, если отказаться от рассмотрения случайных процессов общего вида и ограничиться только процессами, обладающими некоторыми специальными свойствами, но тем не менее имеющими непосредственный практический интерес. Такими процессами и являются марковские процессы. Марковские процессы являются одной из важнейших моделей для реально протекающих процессов в природе и аппарат их достаточно хорошо разработан.
Спектральный метод позволяет непосредственно по линейным уравнениям записать явное выражение их решения в замкнутой форме, пользуясь символикой матриц, что имеет очевидное теоретическое и практическое значение для решения задач анализа, идентификации и синтеза. Все задачи, решаемые методами моделирования, в случае линейных нестационарных систем решаются спектральным методом без упрощения математического описания системы. Форма спектральных алгоритмов не зависит от вида базисной системы функций, что придает спектральному методу простоту и универсальность. От вида базисной системы зависят лишь численные выражения спектральных характеристик систем [3], [4]. Достоинством спектрального метода является его корректность.
Заключение
Математические методы можно применять к экспериментальному и эмпирическому материалу в геологии по- разному. Для гидрогеологии основным приложением их является выявление и прогноз процессов водообмена. Правильные оценки водообмена, учитывающие максимальное число факторов, влияющих на эти процессы, на основе хорошо разработанной теории, позволит выяснить роль подземных вод, например, в формировании нефтяных залежей.
2. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М:Наука, 1969, 511с.
3. Солодовников В. В., В.В. Семенов, Спектральный метод расчета нестационарных систем управления летательными аппаратами. М. Машиностроение, 1975, 271 с.
4. Солодовников В. В., Дмитриев А.Н., Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. М. Машиностроение,1986, 439 с.
Баруча рид а т элементы теории марковских процессов и их приложения
Электронная библиотека
Альтернативный подход к изучению влияния потребительской лояльности на рыночную долю продукта
Федоров Д.С.
Структура количественного исследования для рынков в состоянии стагнации;
Ориентированный взвешенный граф переходов потребителей между брендами (гипотетические данные);
Структура количественного исследования для сокращающихся рынков;
Прогноз изменения рыночных долей брендов;
Аннотация
Оценка влияния потребительской лояльности к продукту на его рыночную долю является одной из важных маркетинговых проблем. При постоянном росте стоимости инвестиций в привлечение и удержание клиентов ключевым вопросом становится прогнозирование эффективности данных вложений. При этом проведение подобной оценки на базе традиционных методик имеет определенные ограничения. В статье предложен альтернативный способ оценки влияния потребительской лояльности к продукту на его рыночную долю, основанный на использовании марковских процессов.
Библиографическая ссылка: печать / интернет
1. Розанов Ю. А. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1982. — 128 с.
2. Андреев В. Н., Иоффе А. Я. Эти замечательные цепи. — М.: Знание, 1987. — 188 с.
3. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. — М.: Наука, 1969. — 512 с.
4. Гитомер Дж. Удовлетворение покупателя — ничто, покупательская лояльность — все. — СПб.: Питер, 2004. — 256 с.
5. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учеб. пособ. — М.: Инфра-М, 2003. — 448 с.
Баруча рид а т элементы теории марковских процессов и их приложения
В Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана с 1998/1999 учебного года читается обязательный семестровый курс «Дополнительные главы теории случайных процессов» для студентов специальности «Прикладная математика» факультета «Фундаментальные науки». В учебном курсе излагаются основы аналитического метода для случайных процессов с дискретными состояниями. Для решения уравнений Колмогорова для пеpеходных веpоятностей марковских процессов используются методы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, интегральные преобразования. Даются примеры прикладных задач, возникших в различных областях естествознания и техники на основе теории случайных процессов. Программа курса включает следующие разделы.
Целочисленные случайные величины и их производящие функции. Факториальные моменты. Мультипликативное свойство. Экспоненциальные производящие функции. Многомерные производящие функции.
Переходные вероятности однородных марковских процессов со счетным множеством состояний N = <0,1,2. >. Инфинитезимальные характеристики и их вероятностная интерпретация. Классификация состояний. Вывод первой и второй (линейных) систем дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей.
Процессы гибели и размножения, вложенная цепь Маркова для которых является случайным блужданием. Оператор обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева. Свертка с помошью производящих функций первой и второй систем уравнений для переходных вероятностей. Асимптотическое поведение средних для процессов чистого размножения пуассоновского, степенного и линейного типов. Процессы квадратичного и полиномиального типов.
Приложения в формальной химической кинетике. Виды кинетических уравнений. Детерминированная и вероятностная модели мономолекулярной реакции T1 ® T2. Явное решение уравнений Колмогорова. Предельная теорема при большом начальном числе частиц. Бимолекулярная реакция T1 + T2 ® T3 и закон действующих масс. Бимолекулярная реакция 2T ® T. Приложения в экологии. Детерминированная и вероятностная модели системы «хищник-жертва». Применение статистического моделирования. Стохастическая модель эпидемии. Пороговая предельная теорема для финальных вероятностей. Приложения в технике. Вычисление стационарного распределения для системы массового обслуживания 0 ® T, T ® 0.
Сведения из истории развития теории случайных процессов. Макроскопический и микроскопический, детерминистический и стохастический, непрерывный и дискретный подходы при построении математических моделей сложных систем. Перечисление основных схем взаимодействий, задача классификации схем. Проблема вывода третьего (нелинейного) уравнения для специальных классов марковских процессов.
Для более глубокого освоения специального курса студентами выполняется типовой расчет по решению уравнений Колмогорова для марковских процессов. Методические материалы по дисциплине отражены в учебном пособии [5]. Содержание представляемого курса определено в основном монографиями и работами [1], [2], [3], [4], [6].
В докладе рассматривается следующая схема литературных ссылок:
Колмогоров, 1931 | Леонтович, 1935 / | \ Боголюбов, 1946 | Колмогоров, Дмитриев, 1947 | / | Севастьянов, 1949 Севастьянов, 1971
и задача вывода кинетического уравнения сводится к поиску осредняющей меры H(t,y) и выводу уравнения для одночастичной условной функции распределения j (x|y) [9], [10], [11].
Для ветвящегося процесса в [4] получено уравнение вида (1) для одночастичной производящей функции переходных вероятностей. Первая система уравнений Колмогорова для марковских процессов классов [4], [5] является цепочкой уравнений для i-частичных функций распределения [9], [11].
В рассматриваемых работах использованы условия независимости: марковское свойство; корреляция между положениями микрочастиц ослабевает по мере увеличения расстояния между ними; независимое протекание акта столкновения атомов, молекул и т. п. в разреженном газе. Последнее условие используется в кинетическом уравнении Больцмана; применительно к марковским процессам со счетным числом состояний это условие введено в [2] для бимолекулярных процессов, и в [5] для ветвящихся процессов с взаимодействием частиц [8].
Для некоторых процессов из классов B1, B2 стационарное распределение при совпадает с принятыми в равновесной статистической физике каноническими распределениями [2, 8].
В работе [5] была определена структура M É B2 É B1.
На множестве состояний N 2 = <( a 1, a 2), a 1, a 2 = 0,1. > рассматривается однородный во времени марковский процесс x (t) = ( x 1(t), x 2(t)), t Î [0, ¥ ), с переходными вероятностями
принадлежащий специальному классу процессов со счетным числом состояний [3]: ветвящийся процесс с двумя типами частиц T1, T2 и тремя комплексами взаимодействия e 1 = (1,1), e 2 = (1,0), e 3 = (0,1). Возможные взаимодействия представим схемой [4, с. 27]:
Введем производящие функции переходных вероятностей (|s1| £ 1, |s2| £ 1)
Вторая (прямая) система дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей процесса x (t) равносильна линейному уравнению в частных производных второго порядка параболического типа ( l ³ 0, m ³ 0, r ³ 0) [3],
При r = 0 имеем марковскую модель эпидемии [2].
прямую и обратную системы уравнений Колмогорова для ветвящегося процесса с взаимодействием частиц записывают в виде
Для некоторых моделей ветвящихся процессов с взаимодействием частиц имеют место предельные теоремы для числа финальных частиц, аналогичные теоремам для ветвящихся процессов с независимыми частицами (см. [4], [5]). См. также Эпидемии процесс.
УДК 531.19:519.21 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
В работе анализируются условия, при выполнении которых описание неравновесных состояний физических систем может быть сведено к решению кинетического уравнения для одночастичной функции распределения. Обсуждается применимость принципа тождественности частиц и теоремы Финетти-Хинчина о симметрии к выводу кинетического уравнения. Утверждается, что принцип тождественности частиц является наиболее общим содержательным положением неравновесной физической статистики.
В качестве примера стохастической системы взаимодействующих частиц взята модель бимолекулярной химической реакции T + T ® T в виде марковского случайного процесса при дискретном фазовом пространстве N = <0,1,2. >. Показано, что обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова для марковского процесса гибели и размножения является цепочкой уравнений для n-частичных функций распределения (n Î N). Путем преобразования фазового пространства траекторий частиц процесса с парными взаимодействиями к множеству лесов (возможного для произвольной системы взаимодействующих частиц), получено кинетическое уравнение рассмотренной системы.
УДК 519.218.27 МАТЕМАТИКА
при t ¯ 0 ( l > 0) приведено нелинейное свойство переходных вероятностей Pij(t):
УДК 519.21 МАТЕМАТИКА
В работе рассматриваются марковские процессы со счетным множеством состояний, интерпретируемые как системы из частиц нескольких типов с взаимодействием комплексами. Результат взаимодействия комплекса частиц не зависит от наличия других частиц в системе. Для нахождения точных замкнутых решений первой и второй систем дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей используется аппарат многомерных производящих функций. Приведены примеры применения аналитических методов при рассмотрении реальных процессов превращения частиц из различных областей естественных наук.
Лит. 126. СОДЕРЖАНИЕ
Г л а в а 1. Cпециальные классы марковских процессов
Г л а в а 2. Приложения в формальной кинетике
Г л а в а 3. Стационарные и финальные вероятности
Г л а в а 4. Третье уравнение Колмогорова
Г л а в а 5. Принцип тождественности частиц и условия независимости
(1) Основным математическим аппаратом современного естествознания остаются дифференциальные уравнения. Условием его применения является рассмотрение детерминированных процессов, или изменения с течением времени макроскопических характеристик физических явлений.
Вероятностные рассмотрения в естествознании возникли во второй половине девятнадцатого века и развивались при микроскопическом подходе к физическим процессам, прежде всего в газах и химических реакциях. Молекулярно-кинетическая теория рассматривает, например, газ как совокупность огромного числа хаотически движущихся частиц (молекулы, атомы и т. д.), взаимодействующих между собой; взаимодействие осуществляется при столкновении частиц или при помощи тех или иных сил. Были выявлены основные требования, накладываемые на вероятностный подход, первоочередная задача формулируется следующим образом: зная законы поведения частиц, из которых построена система, установить, при предельном переходе к большому числу частиц, законы поведения макроскопического количества вещества; в частности, феноменологические законы, которые устанавливают связи между непосредственно наблюдаемыми величинами (давление, объем, концентрация реагентов и т. д.) [102]. Рядом физических экспериментов в первой трети двадцатого века была доказана вероятностная природа микромира, что окончательно привело к пониманию необходимости построения адекватного математического аппарата. «После того, как молекулярные воззрения на строение вещества получили господство в физике, появление в физических теориях новых статистических (или вероятностных) методов исследования стало неизбежным» ([65], с. 7).
Задача построения основания теории случайных процессов решена в 30-40-е годы прошлого столетия работами, в основном, советских математиков. В дальнейшем развитие теории случайных процессов в значительной степени было связано с изучением определенных в этот период теоретико-вероятностных схем.
Прогресс в понимании природы микромира в последние десятилетия, появление инструментальных средств исследования молекулярного строения вещества, привел к практической необходимости математического описания конкретных микроскопических процессов. Введено значительное число не строго определенных моделей (выполняющих свои функции для узких классов физических явлений), в которых сочетаются элементы детерминированного и вероятностного подходов. Часто эти модели несовместимы с понятием пространства событий; они ограничены в применении аналитических методов. Также исследуются модели на основе классических теоретико-вероятностных схем, в которые включены возникшие в механике понятия, например, при описании взаимодействия потенциал заменяется случайным потенциалом [17], определяются случайные силы и т. д. В таких моделях рассматриваемые для вероятностных схем предельные переходы, в тех или иных случаях, приводят к детерминированным связям. Трудности в приложениях показывают незавершенность теории случайных процессов; в частности, неоднократно отмечалась необходимость введения взаимодействия в теоретико-вероятностных схемах [110].
Общее определение марковских процессов с взаимодействием при дискретном фазовом пространстве возникает в результате сопоставления ряда работ, связанных последовательностью литературных ссылок [45]:
Колмогоров, УМН, 1938(1931) | Леонтович, ЖЭТФ, 1935 / | \ Боголюбов, 1946 | Колмогоров, Дмитриев, ДАН, 1947 | / | Севастьянов, УМН, 1949 Севастьянов, УМН, 1951
Взаимосвязи между указанными работами рассматриваются в главе 5 с точки зрения следующего ряда понятий, данных при исследованнии введенных в (0.1) теоретико-вероятностных схем: одночастичные и многочастичные функции распределения; условия независимости; симметрия функций распределения; определение взаимодействия через условия независимости; цепочка уравнений; фазовое пространство траекторий; кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения. По мнению автора [49], [50] анализ совокупности данных понятий применительно к марковским процессам приводит к возможности определенного, вытекающего из схемы (0.1), шага в развитии теории случайных процессов. Для подтверждения этого предположения строятся явные решения линейных уравнений Колмогорова для марковских процессов [46], [56].
В статье приведены как известные решения уравнений Колмогорова, так и новые решения. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием характеризуются применением производящих функций для записи уравнений для переходных вероятностей в виде уравнений в частных производных. Изложенные результаты и постановки задач направлены на вывод замкнутых решений таких уравнений в частных производных. При решении нестационарных и стационарных уравнений Колмогорова получаются выражения для производящих функций искомых вероятностей в виде рядов по специальным функциям; основные аналитические трудности связаны с суммированием этих рядов. Приведение рядов к замкнутой форме дает интегральное представление для производящих функций и при этом подъинтегральные выражения преобразуются к имеющему вероятностную интерпретацию виду. Использовались ортогональные многочлены [46], [47], [61], [62], бесселевы функции [43], [46], гипергеометрические функции [44], [59], [62], эллиптические функции [51], [61].
Отметим, что замкнутые решения уравнений Колмогорова дают возможность простого вывода тех или иных предельных теорем для марковских процессов; примеры таких предельных теорем приведены в статье.
Работа состоит из пяти глав. Каждая глава предваряется кратким описанием ее содержания. Глава 1 содержит вывод основных уравнений, на эту главу опираются все последующие главы. Изложение в каждой из глав 2, 3, 4 не зависит от двух других; выводы главы 5 опираются на результаты главы 4. Главы 2 и 5 являются обзорными, главы 3 и 4 основаны на результатах автора. В работе приведены доказательства теорем, анонсированных в кратких заметках [50], [48], [40], и даны некоторые новые результаты.
Автор благодарен Б.А. Севастьянову за постановку задачи о ветвящихся процессах с взаимодействием, Я.Г. Синаю за предложение о написании статьи, А.М. Зубкову и В.А. Малышеву за ряд замечаний, способствовавших улучшению содержания статьи.