Арифметика что это такое история 6 класс
История появления чисел
По мнению ученых числа появились еще тогда, когда человеку удалось научиться считать окружающие предметы. Это произошло очень и очень давно. Но знаки, обозначающие числа, появились по меркам истории относительно недавно.
Наука считает, что это произошло в 3000-2000 гг. до н. э. Их изобретение приписывают шумерам – народу, проживавшему на территории Месопотамии (в нынешнее время Ирак).
Историки полагают, что глиняные таблички, на которых они выдавливали определенные черточки, привели к изобретению клинописи. Ею обозначали своеобразные разрядные числа: единицы, десятки, сотни, и также они являлись обозначением цифр. Все остальные записи делались при помощи объединения данных знаков.
Использование цифр существенно упрощало подсчеты: вели счет дням недели, количеству голов скота, объемам урожая, считали размеры участков земли. После шумеров в Месопотамии появились вавилоняне. Они получили систему чисел в наследство от шумеров. До наших дней сохранились таблички-клинопись, на которых изображены превращения шумерских единиц для измерений в вавилонские.
Древние египтяне также использовали цифры. Свидетельством тому является находка Ринда – папирус с математическим трактатом, носящим имя изучавшего Египет англичанина и купившего его в 1858 году в стране пирамид. Такой случай представился в Луксоре. Документ содержит записи 84 математических заданий. Все они с решениями. Глядя на папирус, видно использование в Египте такого порядка цифр, где числовое обозначение – это сумма цифровых значений. При обозначении разрядных чисел, кратных десяти: 1, 10, 100, и т.д., египтяне придумали специальный иероглиф. Записывая разные числа, этот символ использовали такое количество раз, сколько в числе единиц данного разряда.
Похожая система счета существовала у римлян. Ей повезло больше других: она оказалась долгожителем среди древних систем счисления. Иногда ее используют и наши современники.
Такие народы, как финикийцы или древние греки, использовали в качестве цифр буквы.
Историки считают, что появление в Индии первых начертаний знакомых нам цифр произошло в 5 веке. Но индийские обозначения чисел появились в Европе лишь в 10-13 веке. Это сделали путешественники с Ближнего Востока. Поэтому их называют «арабские».
Распространение индийских числовых обозначений в арабских странах приписывают работам двух математиков. Это Хорезми, живший ок. 780-ок. 850 гг. в Средней Азии и арабский ученый Кинди (ок.800-ок. 870). Первый, в Багдаде написал трактат о цифрах из Индии. Европейскую известность труд получил после перевода математика из Италии Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Эта работа привела к закреплению арабо-индийской числовой системы в Европе.
Такой подход к написанию чисел предполагает зависимость цифрового значения от местоположения при записи. Например, в числе 151 первая единица – это 100, а последняя – один. По-арабски «ноль» – это сифр, что и преобразовалось в «цифру». Арабское обозначение чисел вошло в обиход в Западной Европе в 15 веке.
Арифметика каменного века
Обучаться счету наши предки стали на заре своего развития. Учила их этому окружающая жизнь. Охота была главным способом добычи еды. Чтобы не упустить жертву, ее окружали с разных сторон. Пять человек с одной стороны, четыре с другой. Здесь счет выходил на первое место. Люди, даже не имея понятий о цифрах, обходились показом на пальцах. До сих пор существуют племена, пользующиеся таким видом счета.
Они используют слово «рука» при счете «пять», 10 – это «две руки». Числительное 20 – это «весь человек», при подсчетах учитываются и пальцы ног.
Число 5 – рука, шестерка – это один палец на второй руке. Десятку составляют две руки или полчеловека. Пятнадцать – плюс пальцы одной ноги, двадцать –полностью человек. А вот 23 – это уже плюс 3 пальца на руке соплеменника. Пересчитывая стадо, состоящее из 128 голов, нужно было 7 человек. Вот так счет начинался с того, чем люди обладали с рождения. Может быть, выражение «Знаю, как свои пять пальцев» означало умение считать вообще, знание того, что на одной руке у человека именно пять пальцев.
Археологи, нашедшие поселение древних людей, обнаружили среди волчьих останков кость, с нанесенными отметинами. 55 нанесенных зазубрин указывают на то, что древний охотник вел расчеты при помощи пальцев. Из рисунка на кости можно узнать, что количество зарубок составляет 11 групп по 5 отметин. Начальные 5 групп отделены от других удлиненной отметиной.
Человечество далеко продвинулось вперед с той поры. Но и поныне швейцарские фермеры, отвозя молоко для обработки, зарубками отмечают количество отправляемых емкостей.
Математика, как наука, начиналась с понятий «меньше», «больше», «столько же». Когда племена производили обмен товарами, можно было обойтись без счета. Просто, рядом с товаром, произведенным одним племенем, раскладывали свой собственный. Этого было достаточно, чтобы произвести обмен между людьми.
Для успешного занятия сельским хозяйством, необходимы были знания арифметики. Не рассчитав количество дней, определить время посева, начало полива составляло определенные трудности. Нужно было определять сроки появления приплода у животных, численность скота в загоне, какое количество урожая помещено в амбары.
Примерно за 6 тыс. лет до н. э. скотоводы того времени начали лепить из глины различные предметы для подсчета животных в стаде. Чтобы узнать, все ли стадо вернулось домой, пастух откладывал в сторону один глиняный кружочек за каждую возвратившуюся овцу. Когда число кружочков и количество животных совпадало, считавший шел отдыхать. Его стадо состояло не только из овец. На пастбища выгоняли коров, коз и других животных. Поэтому возникала потребность в изготовлении и других глиняных фигурок. Люди, обрабатывавшие землю, при помощи таких изделий подсчитывали размеры полученного урожая. Число мешков в амбаре, количество выжатого масла в кувшинах. Сколько у него имеется кусков полотна. Все это требовало подсчета. Когда в стаде случался приплод, хозяин добавлял новые кружочки. При забое скота некоторые фигурки приходилось убирать в сторону.
Так, не зная счета, древние совершали арифметические действия.
Получение названий числами
Постоянное перекладывание фигурок из глины – не самое приятное занятие. Также при больших обменах приходилось вначале пересчитать товары, а затем начинался сам процесс сделки. Но до умения пересчитывать предметы, пролетело немало времени. При этом нужно было найти имена для обозначения количества. «Без названия нет знания» – гласит народная мудрость.
Когда именно числа начали называть определенными именами, историки обнаружили, обратившись к языкам этнических групп и народностей. У нивхов, поселившихся на территории Сахалина и Приамурья, обозначение числительных зависит от вещей, которые пересчитывают. Главную роль при подобных подсчетах играет вид предмета. В языке нивхов при подсчетах «двух яиц», «двух камней», «двух глаз»-числа имеют различные названия. На слово «два» у народности приходятся многие десятки слов. Большое количество несхожих наименований одного и того же числа используют и различные африканские народности, и представители народов, живущих в тихоокеанском регионе.
Прошло немало столетий, или даже тысячелетий, чтобы одинаковые числа стали относиться к различным предметам. В это время и возникли универсальные числовые названия.
Историки думают, что первые названия получили числительные 1 и 2. В радиоэфире и телепрограммах нередко употребляются слова «соло», «солист». Так говорят об одном певце или музыканте. Слово пришло из латинского языка. «Солюс» – один. «Солнце» также походит на «солист». Здесь совсем несложная разгадка. Когда римляне искали название единице, то опирались на свои наблюдения, что Солнце в небе постоянно в одиночестве.
Наименование двойки связывают в различных языковых группах с парными объектами. Это глаза, уши, крылья… Но иногда происходило получение числами 1 и 2 других названий. В этих случаях имена чисел привязывали к местоимениям «я» и «ты». В некоторых языках «один» созвучен «мужчине», «два» повторяет слово «женщина». Числа, после двойки, назывались «много». Позже понадобились и наименования другим числам. Ведь собаки, овцы, стрелы у пастуха или охотника чаще всего были в количестве, большем, чем 2. У небольших народностей не так давно совсем отсутствовали числительных, обозначающих количество предметов, больше двух. И здесь нашелся хороший метод для обозначения чисел. Это повторение названий единиц и двоек.
Позже у некоторых народностей появилось имя у числительного, знакомого нам, как число «три». Это слово применялось для употребления вместо «много», следовавшим за первыми двумя числами.
Сердясь на кого-то, мы произносим: «Я что, три раза должен повторять то же самое!».
В русском фольклоре: «Обещанного три года ждут».
Добры молодцы в сказках ходят за «тридевять земель».
«Четыре» встретить в сказаниях можно не так часто. Но и это числительное имело когда-то свое особое значение. Это видно из правил русского языка. Если вслушаться, то говорится: «одна собака», «две собаки». А начиная с числа 5, говорится: «пять собак», «шесть собак» и так сколько угодно. Хоть миллион, но все равно «собак». Это значит, что во времена наших пращуров, при счете, после числительного «четыре», только начиналось неизведанное. Огромное количество чисел, с таинственным названием «много». И эта область простиралась необозримо далеко.
Реферат «История возникновения арифметики «
История возникновения арифметики и геометрии
Мы знаем, что математика берет свои корни из глубокой древности, и возникла она из практической потребности людей. У каждого народа необходимость в простейших арифметических подсчетах возникала задолго до появления первых зачатков письменности, потому что постижение Мира во всем его многообразии постоянно требовало количественной оценки обретенных знаний. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног, делали зарубки, завязывали узелки.
А вот так выглядело счётное устройство инков.
Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и так далее.
Одна из древнейших нумераций, дошедших до нас в древних папирусах и рисунках – египетская.
Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку. Для записи чисел египтяне использовали картинки иероглифы, означавшие:
Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше.
число-10. Такими путами египтяне связывали коров.
Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
число-100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
число-1 000. Египтяне присвоили такое значение изображению цветущего лотоса.
число-100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
число-1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и поднимет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф.
число-10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца.
Все остальные чис¬ла составлялись из основных чисел, которые приведены в таблице, с помощью сложения. При записи числа иероглифы единицы, десятка, сотни и т. д. писались столько раз, сколько в этом числе единиц соответствующего разряда. Разряды писались справа налево (слева – меньшие, справа – большие) – в обратном порядке, чем у нас сейчас.
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.
Рассмотрим примеры записи некоторых чисел:
Далее постепенно у разных народов и племен стали появляться названия для чисел. Недаром ведь говорят: «Без названия, нет знания». Учёные считают, что сначала названия получили числа 1 и 2.
Как писать, так и считать тогда умели только специально обученные люди, для простых людей счет был так же недоступен, как и письменность. Эта система применялась в Древнем Египте при торговле и сборе податей, особенно распространившись при постройке Великих Пирамид, и постепенно угасла вместе с кастой строителей и счетоводов, при упадке Египта и подчинении его власти Александра Македонского.
Но прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились пересчитывать предметы. Для этого им пришлось придумать названия для чисел.
Третий век до нашей эры был золотым веком античной математики.
В III веке до н. э. в городе Александрия Птолемей I основал Дом Муз и пригласил туда виднейших учёных. Это была первая академии, с богатейшей библиотекой, которая к I веку до н. э. насчитывала 70000 томов.
Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов.
1. греки построили математику как целостную науку;
2. греки провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума.
Математика Востока, в отличие от греческой, всегда носила более практический характер. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия, механика, оптика.
Восточная математика возникала как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. Вначале, естественно, главным делом были арифметические расчеты и измерения. Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Однако в науке, которую столетиями культивировали специалисты, чьей задачей было не только ее применение, но и посвящение в ее тайны, должен был развиться абстрактный уклон. Постепенно наукой стали заниматься ради нее самой. Из арифметики выросла алгебра не только потому, что это облегчало практические расчеты, но и в результате естественного развития науки, культивируемой и совершенствуемой в школах писцов. В силу тех же причин из измерений возникли начатки (но не больше) теоретической геометрии. Обе развивающиеся науки стали использоваться в решении задач, поставленных торговлей, архитектурой, астрономией, географией, оптикой.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
АРИФМЕТИКА
— область знаний о числах и операциях в числовых множествах. Говоря об А., имеют в виду рассмотрение вопросов о происхождении и развитии понятия числа, приемы и средства вычислений, исследование операций с числами различной природы, анализ аксиоматич. структуры числовых множеств, свойства чисел. Когда делается упор на логич. анализе понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика. А. тесно связана с алгеброй, в к-рой, в частности, изучаются свойства операций над числами. Свойства же самих целых чисел составляют предмет теории чисел (см. Элементарная теория чисел, Чисел теория).
Термин «А.» иногда употребляют и тогда, когда имеют дело с операциями над объектами самой различной природы: «А. матриц», «А. квадратичных форм» и т. д.
Культура счета возникла и развивалась задолго до создания дошедших до нас письменных памятников. Наиболее древними письменными математич. памятниками являются кахунские папирусы и знаменитый папирус Ринда, относящийся приблизительно к 2000 до н. э. Аддитивная иероглифич. система счисления позволяла египтянам сравнительно просто производить только операции сложения и вычитания натуральных чисел.
Попытки преодоления трудностей, связанных с обоснованием теории действительных чисел, послужили одним из источников развития конструктивного направления в математике.
Полезное
Смотреть что такое «АРИФМЕТИКА» в других словарях:
АРИФМЕТИКА — (от греч. arithmos число, и toche искусство). Наука, имеющая своим предметом числа. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АРИФМЕТИКА от греч. arithmos, число, и techne, искусство. Наука о числах.… … Словарь иностранных слов русского языка
АРИФМЕТИКА — жен., греч. учение о счете, наука о счислении; основа всей математики (науки о величинах, о измеримом); ·стар. счетная или цифирная мудрость; счет, счисление, цифирная сметка, выкладка. Арифметичный, арифметический, к ней относящийся. Арифметик,… … Толковый словарь Даля
арифметика — цифирное дело, цифирная наука, цифирь, подсчет Словарь русских синонимов. арифметика цифирь (устар.) Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 … Словарь синонимов
Арифметика — (от греч. слов ariJmoV число и tecnh искусство) часть математики, которая занимается изучением свойств определенныхконкретных величин; в более тесном смысле А. есть наука о числах,выраженных цифрами, и занимается действиями над числами. А. можно… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
АРИФМЕТИКА — (от греческого arithmos число), часть математики, изучающая простейшие свойства целых и дробных чисел и действия над ними. Возникла в глубокой древности из практических потребностей счета, измерения расстояний, времени и др. Совершенствование… … Современная энциклопедия
АРИФМЕТИКА — (от греч. arithmos число) часть математики; изучает простейшие свойства чисел, в первую очередь натуральных (целых положительных) и дробных, и действия над ними. Развитие арифметики привело к выделению из нее алгебры и чисел теории … Большой Энциклопедический словарь
АРИФМЕТИКА — АРИФМЕТИКА, способ расчета при помощи сложения, вычитания, умножения и деления. Формальную аксиоматическую базу под эти операции подвел Джузеппе Пеано в конце XIX в. Исходя из некоторых постулатов, например, о том, что имеется лишь одно… … Научно-технический энциклопедический словарь
АРИФМЕТИКА — АРИФМЕТИКА, арифметики, мн. нет, жен. (греч. arithmetike). Учение о числах, выражаемых цифрами, и действиях над ними. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
АРИФМЕТИКА — АРИФМЕТИКА, и, жен. 1. Раздел математики, изучающий простейшие свойства чисел, выраженных цифрами, и действия над ними. 2. перен. То же, что подсчет (во 2 знач.) (разг.). Проверили расходы неутешительная получилась а. | прил. арифметический, ая,… … Толковый словарь Ожегова
арифметика — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN arithmetics … Справочник технического переводчика
Арифметика — (от греческого arithmos число), часть математики, изучающая простейшие свойства целых и дробных чисел и действия над ними. Возникла в глубокой древности из практических потребностей счета, измерения расстояний, времени и др. Совершенствование… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
История арифметики
История арифметики охватывает период от возникновения счёта до формального определения чисел и арифметических операций над ними с помощью системы аксиом. Арифметика — наука о числах, их свойствах и отношениях — является одной из основных математических наук. Она тесно связана с алгеброй и теорией чисел.
Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Первые достоверные сведения об арифметических знаниях обнаружены в исторических памятниках Вавилона и Древнего Египта, относящихся к III—II тысячелетиям до н. э. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности пифагорейцы, которые пытались с помощью чисел определить все закономерности мира. В Средние века основными областями применения арифметики были торговля и приближённые вычисления. Арифметика развивалась в первую очередь в Индии и странах ислама и только затем пришла в Западную Европу. В XVII веке мореходная астрономия, механика, более сложные коммерческие расчёты поставили перед арифметикой новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию.
Теоретические обоснования представления о числе связаны в первую очередь с определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. За ними последовали строгие определения рациональных, действительных, отрицательных и комплексных чисел. Дальнейшее расширение понятия числа возможно только при отказе от одного из арифметических законов.
Возникновение арифметики
Если в двух множествах (наборах предметов) каждый элемент одного набора имеет единственную пару в другом наборе, то эти множества равномощны. Такое фактическое сравнение, когда предметы раскладывались в два ряда, использовалось ещё первобытными племенами при обмене, оно даёт возможность устанавливать количественные соотношения между группами объектов и не требует понятия числа.
В дальнейшем появились естественные эталоны счёта, например, пальцы рук, а затем и множества-эталоны, такие как руки. С появлением эталонов, символизирующих конкретные числа, и связывают возникновение понятия числа. При этом число предметов сравнивали с Луной в небе, количеством глаз, количеством пальцев на руке. Позднее многочисленные эталоны заменились на один наиболее удобный, обычно им становились пальцы рук и/или ног.
Следующим шагом было появление общего понятия натурального числа, отделённого от конкретных предметов. Натуральное число возникло как идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.); соответственно и действия с числами первоначально отражали реальные действия с такими множествами (объединение, разделение и т. п.). Для праиндоевропейского языка, использовавшего десятеричную систему счисления, уже реконструированы названия числительных до ста включительно. Лебег по этому поводу заметил: «Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления».
Для записи результатов счёта использовали зарубки на дереве или костях, узелки на верёвках — искусственные эталоны счёта. Лучевая кость молодого волка с 55 зарубками на ней была найдена в 1937 году около деревни Дольни-Вестонице (Чехия). Возраст находки составляет около 5 тысяч лет (по другим данным, около 30 тысяч лет), долгое время она была старейшей известной записью числа. Б. А. Фролов, специалист по палеолиту из Новосибирска, видит в графике орнаментов верхнего палеолита, начиная с памятников из Дольни-Вестонице, многие свидетельства о том, что люди этой эпохи чётко различали определённые количества одинаковых элементов и особенно часто подчёркивали некоторые количества: по 5 или 7 предметов, а также кратные им (особенно 10 и 14).
При наименовании чисел использовались либо неразложимые наименования (такие числа получили название узловые), либо составленные из узловых наименований — алгоритмические. При этом комбинирование алгоритмических чисел основано на арифметических операциях, осуществляемых над узловыми числами.
Нумерация, так же как и названия чисел, основана на одном из трёх принципов:
Арифметика что это такое история 6 класс
История связана с арифметикой гораздо более прочно, чем можно было бы подумать. Арифметические задачи отражают дух времени, по ним нередко можно судить об отношениях между людьми в прошлые времена.
История связана с арифметикой гораздо более прочно, чем можно было бы подумать. Это не только даты жизни исторических персонажей, площади завоёванных или потерянных земель, стоимость вывезенных сокровищ и длительность экспедиций за ними. Арифметические задачи отражают дух времени, по ним нередко можно судить об отношениях между людьми в прошлые времена. Именно это и демонстрирует первая часть статьи давнего автора журнала «Наука и жизнь» И. Когана, опубликованная в № 12 за прошлый год. В продолжение темы — список литературы, из которой были взяты задачи с указанием их номеров, ответы на задачи и краткая биография автора первого российского учебника арифметики Леонтия Магницкого с рассказом, как решали задачи в конце XVII — начале XVIII веков.
Совайленко В. К., Чураков Д. А., Калинин А. В. Сборник задач по арифметике для V—VI классов. — Ростов н/Д, 1958 (задачи 1, 44, 45).
Попов Г. Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. — М.Л., 1938 (задачи 2—4).
Вопросы и решения вардапета Анании Ширакца, армянского математика VII века /Издал и перевёл И. А. Орбели. — Петроград, 1918 (задачи 5, 6).
Галанин Д. Д. История методических идей по арифметике в России. Ч. 1. XVII век. — М., 1915 (задачи 7—9).
Полный курс чистой математики, сочинённый Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике. Том первый. — М., 1794 (задачи 10—18).
Xмыров И. Азбука икса в задачах из алгебры и геометрии с подробными вычислениями искомого. — СПб., 1880 (задачи 19, 20, 21, 25).
Малинин А., Буренин К. Собрание арифметических задач для гимназий и прогимназий, мужских и женских, реальных, уездных и городских училищ, учительских институтов и семинарий. Изд. сорок первое. Исправлено и переработано В. А. Кондратьевым. — М., 1918 (задачи 22, 24).
Шапошников Н. А., Вальцев Н. К. Сборник арифметических задач с изложением всех главных определений и правил и с объяснением образцовых способов решения задач. Ч. II. Двадцать третье издание. — М.; Петр., 1917 (задача 23).
Арбузов В., Минины А. и В., Назаров Д. Систематический сборник задач для гимназий и прогимназий, мужских и женских, реальных, высших начальных училищ, учительских институтов и семинарий. — М.; Петр., 1918 (задачи 26, 27).
Глазенап С. П. Народный задачник для школ первой ступени. Часть II. — М.; Петр., 1923 (задачи 28, 29).
Арифметический задачник для красноармейских школ. — Харьков, 1921 (задачи 30—33).
Беллюстин В. Арифметический задачник для 3-го года обучения. — Тверь, 1923 (задача 34).
Сафронов В. С., Снегирев Н. И., Синекович В. И. Вопросы индустриализации СССР и техники в математических задачах. — М.; Л., 1931 (задачи 35 — 38).
Березанская Е. С. Сборник задач и упражнений по арифметике для 5-го класса семилетней и средней школы. — М., 1947 (задачи 39, 42).
Березанская Е. С. Сборник задач и упражнений по арифметике для 5-го и 6-го классов семилетней и средней школы. — М., 1935 (задачи 40, 41,43).
Мазани к А. А. Реши сам. — Минск, 1966 (задача 47).
Математика. Учебник для 5-го класса средней школы. Изд. 6/ Под ред. М. И. Маркушевича.— М., 1981 (задачи 50—52).
1. 44548 км; 49728 км; не ранее 1958 года. 2. 84 года. 3. 28 человек. 4. В 1/3 дня. 5. 1760 человек. 6. В 6/11 часа. 7. 124 пуда; 1426 пудов; 499 руб. 10 коп. 8. 2 руб.; 2 руб. 16 коп.; 650 пудов. 9. В 35 дней. 10. 169 307 человек. 11. 1780 картечей. 12. 486 саженей. 13. 107 664 руб. 18 коп. 14. 280 душ; 140 душ; 105 душ; 35 душ. 15. 620 руб.; 295 руб.; 441 руб.; 75 1/4 руб. 16. 6 1/4 коп.; 2 1/2 коп. 17. 5 1/4 коп.; 1 1/2 коп. 18. 10 ран; 1300 руб. 19. 360 руб. 20 коп. 20. Около 10%. 21. За 80 руб. 22. 15 руб.; 30 руб.; 5 руб. 23. 1 руб.; 2/5 руб. 24. 12 детей. 25. От 1 до 11 детей; число мужчин = 4 + 2* (число детей); число женщин = 34 — 3*(число детей); всего 38 нищих. 26. 886 орудий. 27. 34 468 человек. 28. Могут; 24 представителя. 29. 2350 руб. 30. 30 коров. 31. Около 1 1/2 фунта. 32. 1 529 280 патронов. 33. 2173 млн руб. 34. 13 750 снопов. 35. 20 дней. 36. 25 000 цистерн; 500 поездов. 37. На 44,6%. 38. 172 км/ч. 39. 1/40 часть. 40. 8,475 кг. 41. 25 368 чел.; 906 чел. 42. 450 руб.; 640 руб. 43. 1050; 1260; 12 600; 13 860. 44. 200 млн руб. 45. 0,8 км/ч. 46. 750 км. 47. В 24 раза. 48. 34 часа. 49. На 32%. 50. 330. 51. 10 домов. 52. 37.
Леонтий Магницкий и его «арифметика»
Леонтий Филиппович Магницкий родился 9 [19] июня 1669 года в городе Осташков, в семье крестьянина Филиппа по прозванию Теляшин (фамилий у людей «низкого звания» не было). Сведений о его жизни дошло до нас немного. Образование, вероятно, он получил в Славяно-греко-латинской академии, только что открытой в московском Богоявленском монастыре, которую мог окончить в 1694 году. Однако в списке первых выпускников академии ни Магницкий, ни Теляшин не значатся, да и сам Леонтий Филиппович о своём учении и об учителях никогда не упоминал.
14 января 1701 года по указу Петра Первого в Москве открылась Математико-навигацкая школа с целью «быть математических и навигацких хитросно наук учению». Талантливый молодой человек, преуспевший в математике и самоучкой освоивший немецкий, итальянский и голландский языки, понравился царю. Он «пожаловал» ему фамилию Магницкий «в сравнении того, как магнит привлекает к себе железо, так и он природными и самообразованными (! —Ред.) способностями своими обратил внимание на себя». Пётр пригласил Леонтия в Навигацкую школу помощником к выписанным из Англии учителям. С этого времени вся жизнь Леонтия Филипповича связана со школой. Был он сначала младшим, потом старшим преподавателем и закончил заведующим всей школой — «как распорядительной, так и хозяйственной частью».
Из сочинений Магницкого остались «Арифметика» и записка по делу Тверитинова. Дело это к математике не относилось, а было сугубо богословским. Записку его долгое время читали и переписывали как литературное произведение и своего рода научный источник для возражений по поводу различных религиозных вопросов и сомнений.
Когда англичане, работавшие вместе с Л. Ф. Магницким в Москве, переехали в новую столицу — Петербург, ему самому приглашения от Петра не последовало. Он остался в той же Математико-навигацкой школе.
Умер Л. Ф. Магницкий в октябре 1739 года и похоронен в церкви Гребнёвской иконы Божьей Матери, в трапезной храма. Эта церковь находилась на углу Лубянской площади и Мясницкой улицы. По словам В. К. Тредиаковского, который хорошо знал Магницкого, он был «сущий христианин, добросовестный человек и немже лести не было».
«Арифметика» Магницкого появилась в 1703 году. Начиналась она со стихотворного предисловия, где автор излагал основные цели и идеи своего сочинения. По его словам, первая русская «Арифметика» вобрала в себя всё лучшее, существовавшее тогда в Европе.
«. Едину от всех тех избрахом
Арифметику написахов.
Люботрудно ся в ней подщавше,
Из многих разных книг собравше.
Из грецких убо и латинских,
Немецких же и италийских.
И мною аз яко то имать быть,
Что сам себе всяк может учить.
Зане разум здесь собран природный
и чин
Природнорусский, а не немчин».
Состояла книга из двух частей: «Арифметика-политика, или гражданская» и «Арифметика-логистика».
В первой части описывались действия над целыми числами, дробями, решение задач посредством тройных правил, извлечение квадратных и кубических корней и прогрессии. Вторая часть — учение о числах алгебраических, числах логических (так назывались числа, написанные по шестидесятиричной системе), извлечение корней высших степеней, решение квадратных и биквадратных уравнений, рассмотрение тригонометрических линий. Там же он привёл примеры приложений всего этого к некоторым астрономическим вопросам: определение долготы и широты места, времени приливов и отливов и т. д.
Неспроста «Арифметику» Магницкого считали энциклопедией математики своего времени, а Ломоносов назвал её «вратами учёности».
Интересно проследить, как Магницкий учил своих слушателей. Прежде всего, он считал, что «арифметика есть художество». Словарь Даля определяет «художество» как «умение, искусство наделе». Отсюда и «художественные», в смысле «искусственные» способы решения задач.
Возьмём тройственное правило, которое использовали для решения ряда задач. Например: «За 2 пуда заплачено 6 рублей, сколько следует заплатить за 4 пуда? ».
Данные задачи нужно расположить на одной прямой в определённом порядке. Первое — количество, второе — цена или мена, третье — «изобретатель», «зане ново изобретён или по случаю или по изволении положен».