Как понять к чему стремится последовательность

Предел последовательности – основные теоремы и свойства

Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti.

Определение последовательности

Более подробно см. страницу Определение числовой последовательности >>>.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Арифметические действия с пределами

Свойства, связанные с неравенствами

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>>.
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.

Строго убывающая последовательность:
.
Неубывающая последовательность:
.
Невозрастающая последовательность:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Монотонная последовательность – это неубывающая или невозрастающая последовательность.

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Критерий Коши сходимости последовательности

Фундаментальная последовательность – это последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Критерий Коши сходимости последовательности. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Источник

Предел последовательности

п.1. Определение последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.

Например:
1) Формула \(y_n=\frac1n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность дробей:

2) Формула \(y_n=(-1)^n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:

3) Рекуррентная формула \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_(n+2)=y_(n+1)+y_n\) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:

4) Описание «число π точностью до \(10^<-n>\)» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:

Этот ряд можно также задать формулой \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

п.2. Предел последовательности

Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.

1) \(y_n=\frac1n\)
Как понять к чему стремится последовательность. algebra p 36 1. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-algebra p 36 1. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка algebra p 36 1.
Последовательность сходится к 0
2) \(y_n=(-1)^n\)
Как понять к чему стремится последовательность. algebra p 36 2. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-algebra p 36 2. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка algebra p 36 2.
Последовательность ни к чему не сходится
3) числа Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\)
Как понять к чему стремится последовательность. algebra p 36 3. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-algebra p 36 3. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка algebra p 36 3.
Последовательность уходит на бесконечность
4) приближения числа π
Как понять к чему стремится последовательность. algebra p 36 4. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-algebra p 36 4. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка algebra p 36 4.
Последовательность сходится к π

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

\(\varepsilon\)0,10,010,0010,00010,000010,000001
\(N_<\varepsilon>\)797997999799997999997
\(\lg \varepsilon\)-1-2-3-4-5-6
\(\lg N_<\varepsilon>\)0,8451,9872,9994,0005,0006,000

И построим график (в логарифмическом масштабе):
Как понять к чему стремится последовательность. algebra p 36 5. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-algebra p 36 5. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка algebra p 36 5.
Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_<\varepsilon>\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_\frac<1>=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_<\varepsilon>\) разность \(\left|\frac<1>-0\right|\), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

п.5. Как доказать неограниченность последовательности?

Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_n^2=+\infty\)
Ведь для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=[\sqrt]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=n^2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

ε0,10,010,0010,00010,000010,000001
\(N_<\varepsilon>\)151281253125031250031250003

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1\), начиная с которого
\(\left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 2\).
Что и требовалось доказать.

Показанный приём с усилением неравенства часто применяется в математическом анализе. Найденное \(N_<\varepsilon>\) немного больше «точного» значения, которое следует из исходной дроби \(\frac<3(3n^2+n+1)>\), но наша задача в том, чтобы обоснованно построить любое выражение для стартового номера \(N_<\varepsilon>\) в зависимости от ε.
Если найденный номер будет немного больше исходного – не страшно; главное, чтобы он 1) был обоснован; 2) гарантировал размещение всех последующих \(y_n,\ n\geq N_<\varepsilon>\) в ε окрестности предела b.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac<1><3\sqrt<\varepsilon>>\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3n^2+n+1>-\frac13\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 3\).
Что и требовалось доказать.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

ε0,10,010,0010,00010,000010,000001
\(N_<\varepsilon>\)23623960239960024·10 84·10 10

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\left(\frac<1><5\varepsilon>-1\right)^2\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<\sqrt><5\sqrt+1>-\frac15\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_2^n=+\infty \)
По условию: \(y_n=2^n\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin 2^n\gt M\Rightarrow n\gt \log_2M\\ N_M=\left[\log_2M\right]+1 \end Например:

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[\log_2M\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=2^n\gt M\).
Что и требовалось доказать.

M101001 00010 000100 0001 000 000
NM10010 0001 000 00010 810 1010 12

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[M^2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Источник

Числовая последовательность.
Как найти предел последовательности?

На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности. Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики. Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов. Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.

Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:

Понятие числовой последовательности

Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.

Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image002. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image002. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image002.

С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image004. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image004. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image004.по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image006. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image006. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image006.. Тогда говорят, что задана числовая последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image008. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image008. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image008..

Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image010. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image010. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image010.называют первым членом последовательности;
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image012. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image012. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image012.вторым членом последовательности;
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image014. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image014. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image014.третьим членом последовательности;

Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image016. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image016. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image016.энным или общим членом последовательности;

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image018. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image018. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image018.– последовательность положительных чётных чисел:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image020. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image020. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image020.

Таким образом, запись Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image018 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image018 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image018 0000.однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image002 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image002 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image002 0000.в соответствие ставятся числа Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image008 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image008 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image008 0000.. Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:

Последовательность положительных нечётных чисел Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image022. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image022. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image022.:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image024. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image024. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image024.

Ещё одна распространённая последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image026. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image026. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image026.:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image028. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image028. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image028.

Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image030. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image030. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image030.– первый член, а Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image032. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image032. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image032.шаг арифметической прогрессии. Тогда:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image034. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image034. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image034.– второй член данной прогрессии;
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image036. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image036. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image036.– третий член данной прогрессии;
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image038. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image038. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image038.– четвертый;
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image040. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image040. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image040.– пятый;

И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image042. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image042. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image042.

Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.

Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image044. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image044. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image044., нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image046. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image046. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image046.. В нашем случае:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image048. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image048. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image048.

Подставьте в формулу Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image050. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image050. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image050.натуральные номера Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image052. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image052. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image052.и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.

Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image054. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image054. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image054., где Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image056. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image056. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image056.– первый член Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image058. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image058. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image058., а Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image060. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image060. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image060.знаменатель прогрессии Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image062. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image062. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image062.. В заданиях по матану первый член частенько равен единице.

прогрессия Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image064. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image064. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image064.задаёт последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image066. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image066. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image066.;
прогрессия Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image068. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image068. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image068.задаёт последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image070. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image070. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image070.;
прогрессия Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image072. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image072. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image072.задаёт последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image074. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image074. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image074.;
прогрессия Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image076. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image076. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image076.задаёт последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image078. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image078. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image078..

Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.

Прогрессию называют бесконечно убывающей, если Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image080. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image080. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image080.(последние два случая).

Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:

Последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image082. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image082. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image082.на математическом жаргоне называют «мигалкой»:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image084. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image084. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image084.

Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.

А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image086. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image086. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image086.задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image088. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image088. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image088.

Факториал: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image090. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image090. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image090.
Всего лишь свёрнутая запись произведения:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image092. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image092. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image092.

Отнюдь не графомания, пригодится для задач 😉 Рекомендую осмыслить-запомнить и даже переписать в тетрадь. …Пришёл тут в голову один вопрос: а почему никто не создаёт такие полезные граффити? Едет себе человек в поезде, смотрит в окно и изучает факториалы. Панки отдыхают =)

Возможно, некоторым читателям всё-таки ещё не до конца понятно, как расписать члены последовательности, зная общий член. Тот редкий случай, когда контрольный выстрел возвращает к жизни:

Разберёмся с последовательностью Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image094. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image094. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image094..

Сначала подставим в энный член значение Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image096. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image096. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image096.и внимательно проведём вычисления:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image098. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image098. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image098.

Далее подставим в общий член Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image100. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image100. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image100.:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image102. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image102. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image102.

Потом подставим следующий номер Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image104. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image104. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image104.:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image106. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image106. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image106.

Четвёрку:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image108. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image108. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image108.

Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image110. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image110. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image110.

и так далее… пока разогреется самый последний чайник!

Понятие предела последовательности. Простейшие примеры

Для лучшего осмысления нижеследующей информации желательно ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Конечно, в стандартном курсе математического анализа сначала рассматривают предел последовательности и только потом предел функции, но дело в том, что о самой сущности предела я уже подробно рассказывал. Более того, в теории числовая последовательность считается частным случаем функции, и людям, которые знакомы с пределом функции, будет заметно веселее.

Впрочем, дальше могут читать все-все-все, однако если у вас возникнет непонимание или недопонимание чего-либо, то, пожалуйста, начните с пределов функций.

Пригласим на танец незамысловатую подругу Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image112. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image112. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image112.:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image114. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image114. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image114.

Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image116. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image116. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image116.

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.

В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:

Изобразим на числовой прямой члены последовательности Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image112 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image112 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image112 0000.и симметричную относительно нуля (предела) Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image118. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image118. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image118.-окрестность:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image120. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image120. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image120.
Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image122. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image122. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image122.является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image118 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image118 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image118 0000.-окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность.

Последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image125. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image125. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image125.тоже бесконечно малА: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image127. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image127. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image127.с той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.

Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image129. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image129. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image129.

Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».

Если у последовательности Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image006 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image006 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image006 0000.существует конечный предел Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image132. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image132. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image132., то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image122 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image122 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image122 0000.). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:

Последовательности Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image135. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image135. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image135.являются бесконечно большими, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image137. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image137. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image137.

Арифметическая прогрессия с первым членом Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image030 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image030 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image030 0000.и шагом Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image032 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image032 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image032 0000.тоже бесконечно великА:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image140. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image140. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image140.

К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image142. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image142. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image142.бесконечно добавляется Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image144. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image144. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image144.. Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.

У последовательностей Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image146. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image146. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image146.схожая судьба:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image148. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image148. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image148.

Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image150. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image150. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image150.

Если знаменатель геометрической прогрессии Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image152. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image152. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image152., то последовательность бесконечно великА:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image154. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image154. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image154.

Если же Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image156. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image156. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image156., например, Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image158. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image158. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image158., то предела Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image160. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image160. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image160.вообще не существует, так как члены Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image070 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image070 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image070 0000.без устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.

После небольшого разоблачения Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image162. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image162. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image162.становится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image164. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image164. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image164.легко подобрать Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image118 0001. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image118 0001. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image118 0001.-окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image118 0002. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image118 0002. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image118 0002.-окрестность своего предела. Вывод: предела Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image166. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image166. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image166.не существует.

Факториал Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image090 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image090 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image090 0000.является бесконечно большой последовательностью:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image169. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image169. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image169.

Причём, растёт он как на дрожжах, так, Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image171. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image171. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image171.представляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.

С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:

Как найти предел последовательности?

А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image173. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image173. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image173.

В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image002 0001. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image002 0001. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image002 0001..
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.

Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.

По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.

Начнём с прогрессий:

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image002 0002. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image002 0002. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image002 0002.

Решение: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image004 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image004 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image004 0000.

Так как Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image006 0001. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image006 0001. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image006 0001., то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image008 0001. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image008 0001. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image008 0001..

Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image010 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image010 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image010 0000.

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image008 0002. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image008 0002. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image008 0002.. В данном случае: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image013. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image013. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image013.– первый член, Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image015. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image015. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image015.– знаменатель прогрессии.

Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби:

Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image017. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image017. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image017.

Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image019. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image019. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image019.

Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image021. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image021. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image021.в числителе потребуется применить формулу суммы Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image023. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image023. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image023.первых членов арифметической прогрессии:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image025. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image025. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image025., где Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image027. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image027. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image027.– первый, а Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image029. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image029. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image029.– энный член прогрессии.

Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image021 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image021 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image021 0000.– одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций
!

Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image031. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image031. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image031.

Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры № 1-3 урока Пределы. Примеры решений.

А может быть что-нибудь посложнее наподобие Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image033. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image033. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image033.? Ознакомьтесь с Примером № 3 статьи Методы решения пределов.

С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.

Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image035. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image035. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image035.. Как решать пределы вроде Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image037. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image037. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image037.можно узнать из Примеров № 11-13 той же статьи.

Чтобы разобраться с пределом Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image039. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image039. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image039., обратитесь к Примеру № 7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.

Следующие четыре примера (№ 3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image041. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image041. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image041.

Решение: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image043. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image043. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image043.

(1) В числителе дважды используем формулу Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image045. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image045. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image045..

(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.

(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image047. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image047. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image047.(«эн» в старшей степени).

Как видите, ничего сложного.

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image049. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image049. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image049.

Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.

В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image051. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image051. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image051.

Решение оформим по той же схеме:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image053. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image053. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image053.

(1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».

(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image055. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image055. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image055.и выбираем последовательность с наибольшим основанием: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image057. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image057. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image057.. В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image057 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image057 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image057 0000..

(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image059. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image059. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image059.является бесконечно убывающей геометрической прогрессией Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image061. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image061. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image061., то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image063. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image063. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image063.. Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image065. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image065. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image065.

Это пример для самостоятельного решения.

Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image067. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image067. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image067.

Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image021 0001. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image021 0001. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image021 0001.нужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image069. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image069. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image069..

Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.

Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image071. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image071. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image071.

Очевидно, что последним множителем в произведении будет Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image073. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image073. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image073..

Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image075. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image075. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image075.

Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image077. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image077. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image077..

Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image079. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image079. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image079.

Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image081. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image081. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image081.

С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы.

Оформляем решение:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image083. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image083. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image083.

(1) Расписываем факториалы

(2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image085. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image085. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image085.. Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью.

(3) Сокращаем числитель и знаменатель на Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image085 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image085 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image085 0000.…. …хммм, флуда тут и впрямь много.

(4) Упрощаем числитель

(5) Сокращаем числитель и знаменатель на Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image087. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image087. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image087.. Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени.

Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image089. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image089. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image089.

Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен.

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image091. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image091. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image091.

Это пример для самостоятельного решения.

Желающие набить руку на рассмотренных типах пределов могут обратиться к сборнику Кузнецова. Около 150 прорешанных примеров можно найти здесь >>> (задачи № 2-6).

Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности.

Теорема: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность.

Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках.

Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image093. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image093. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image093.

Решение: последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image095. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image095. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image095.– ограничена: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image097. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image097. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image097., а последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image099. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image099. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image099.– бесконечно малА, значит, по соответствующей теореме:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image101. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image101. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image101.

Просто и со вкусом. Да-да, так и оформляем.

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image103. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image103. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image103.

Это пример для самостоятельного решения.

Ещё две распространённые ограниченные функции – арктангенс и арккотангенс:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image105. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image105. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image105.

Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены!

Иногда в ходе вычисления пределов последовательностей приходится использовать довольно неожиданные приёмы:

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image107. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image107. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image107.

Решение: неопределённость Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image109. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image109. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image109.можно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив, как ни странно, и для последовательностей:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image111. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image111. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image111.

(1) Используем формулу Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image113. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image113. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image113..

(2) Избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице.

(3) Неопределённость Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image109 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image109 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image109 0000.не устранена, но теперь вместо тангенса у нас синус, и появляется возможность организовать 1-й замечательный предел. Проводим стандартный искусственный приём: делим всё выражение на Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image116 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image116 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image116 0000.и, чтобы ничего не изменилось, домножаем на Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image118 0003. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image118 0003. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image118 0003..

(4) Используем первый замечательный предел Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image120. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image120. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image120., при этом, в качестве бесконечно малой величины выступает Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image122 0001. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image122 0001. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image122 0001., которая, понятно, стремится к нулю при Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image006 0002. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image006 0002. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image006 0002..

Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image125 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image125 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image125 0000.

Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image127 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image127 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image127 0000.при Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image129 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image129 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image129 0000..
В данном случае Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image131. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image131. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image131.

Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image133. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image133. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image133.

Найти предел последовательности
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image135 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image135 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image135 0000.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность.

Оба рассмотренных примера справедливы и для функций, похожие пределы также разобраны в Примерах 12-13 урока о бесконечно малых величинах.

В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос:

Как найти предел знакочередующейся последовательности?

Такая последовательность уже неоднократно встречалась в статье, например, первая скрипка теоретического параграфа Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image137 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image137 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image137 0000..

Действительно, как аналитически найти предел знакочередующейся последовательности, если знак то «плюс», то «минус»?

И я, наконец-то, заряжаю в свой револьвер тот самый волшебный патрон:

Найти предел последовательности Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image139. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image139. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image139.

Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image141. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image141. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image141., которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image141 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image141 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image141 0000., нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image144 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image144 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image144 0000.

Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image146 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image146 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image146 0000.

Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему. Собственно, это проиллюстрировано на единственном рисунке данного урока.

Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image148 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image148 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image148 0000..

Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image150 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image150 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image150 0000., то Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image152 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image152 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image152 0000..

Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image154 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image154 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image154 0000.получен бесконечный результат Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image156 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image156 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image156 0000.(или если предела нет), то у последовательности Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image158 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image158 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image158 0000.предела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image160 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image160 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image160 0000..

Наше увлекательное путешествие в мир последовательностей подошло к концу и, надеюсь, оно составило достойную конкуренцию Вконтакте =) =) =)

Пример 2: Решение:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image162 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image162 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image162 0000.
Найдём предел последовательности:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image164 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image164 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image164 0000.
Используем формулу суммы Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image023 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image023 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image023 0000.первых членов арифметической прогрессии Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image025 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image025 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image025 0000..
В данном случае Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image167. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image167. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image167.
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image169 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image169 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image169 0000.

Пример 4: Решение:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image171 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image171 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image171 0000.

Пример 6: Решение:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image173 0000. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image173 0000. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image173 0000.

Пример 8: Решение:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image175. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image175. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image175.

Пример 10: Решение: последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image177. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image177. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image177.– ограничена: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image179. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image179. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image179., а последовательность Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image181. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image181. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image181., значит, по соответствующей теореме:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image183. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image183. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image183.

Пример 12: Решение:
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image185. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image185. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image185.
Заменим бесконечно малую эквивалентной: Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image187. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image187. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image187.при Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image129 0001. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image129 0001. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image129 0001..
В данном примере Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image189. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image189. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image189..
Как понять к чему стремится последовательность. predel posledovatelnosti clip image191. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-predel posledovatelnosti clip image191. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка predel posledovatelnosti clip image191.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как понять к чему стремится последовательность. mark. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-mark. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка mark. Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Как понять к чему стремится последовательность. mark. Как понять к чему стремится последовательность фото. Как понять к чему стремится последовательность-mark. картинка Как понять к чему стремится последовательность. картинка mark. Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *