Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости (ЕГЭ 2022)

В пространстве перпендикулярными могут быть:

Давай для полного понимания рассмотрим не только перпендикулярность прямой и плоскости, а все три случая перпендикулярности в пространстве.

Все относящиеся к ним определения и формулировки теорем.

А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

И ты будешь знать о перпендикулярности в пространстве все!

Поехали!

Перпендикулярность в пространстве — коротко о главном

Перпендикулярность двух прямых

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними \( 90<>^\circ \).

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен \( 90<>^\circ \).

Критерий перпендикулярности плоскостей

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая \( a\), не лежащая в плоскости \( \alpha \), перпендикулярна прямой \( b\), лежащей в плоскости \( \alpha \), тогда и только тогда, когда проекция \( a\prime \) прямой a перпендикулярна прямой \( b\).

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Перпендикулярность двух прямых

Определение:

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними \( \displaystyle 90<>^\circ \).

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Прямая \( \displaystyle a\) перпендикулярна прямой \( \displaystyle b\), хотя и не пересекается с нею. Как так?

Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\), нужно через произвольную точку \( \displaystyle O\) на прямой a провести прямую \( \displaystyle ’\parallel b\).

И тогда угол между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) (по определению!) будет равен углу между \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle <’>\).

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае – если окажутся перпендикулярны прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle <’>\), то нужно считать перпендикулярными прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).

Для полной ясности давай рассмотрим пример

Эти прямые не пересекаются – они скрещиваются. Чтобы найти угол между \( \displaystyle AC\) и \( \displaystyle <_<1>><_<1>>\), проведём \( \displaystyle BD\).

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Из-за того, что \( \displaystyle B<_<1>><_<1>>D\) — параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что \( \displaystyle <_<1>><_<1>>\parallel BD\).

А из-за того, что \( \displaystyle ABCD\) – квадрат, выходит, что \( \displaystyle AC\bot BD\). Ну, и значит \( \displaystyle AC\bot <_<1>><_<1>>\).

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение:

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Прямая \( \displaystyle h\) перпендикулярна плоскости \( \displaystyle \alpha \), если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и \( \displaystyle a\), и \( \displaystyle b\), и \( \displaystyle c\), и даже \( \displaystyle d\)!

И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит!

Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Если найдутся всего лишь две пересекающиеся прямые (\( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\)) в плоскости \( \displaystyle\alpha\), которым перпендикулярна прямая \( \displaystyle h\), то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости \( \displaystyle \alpha \),

То есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой \( \displaystyle c\)).

Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Что это за арка? Это значок «пересечение»! Хороший способ быстрее писать конспекты 🙂

Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым!

И опять рассмотрим пример

Пусть нам дан правильный тетраэдр \( \displaystyle ABCD\).

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Задача: доказать, что \( \displaystyle BD\bot AC\).

Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Давай отметим середину \( \displaystyle M\) ребра \( \displaystyle AC\) и проведём \( \displaystyle BM\) и \( \displaystyle DM\).

Это медианы в \( \displaystyle \Delta ABC\) и \( \displaystyle \Delta ADC\).

Треугольники – правильные \( \displaystyle \Rightarrow BM\bot AC\) и \( \displaystyle DM\bot AC\).

Вот оно, чудо: получается, что \( \displaystyle AC\bot BMD\), так как \( \displaystyle AC\bot BM\) и \( \displaystyle AC\bot DM\).

И далее, \( \displaystyle AC\bot BMD\Rightarrow AC\bot \) всем прямым в плоскости \( \displaystyle BMD\), а значит, и \( \displaystyle AC\bot BD\).

И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Перпендикулярность плоскостей

Определение:

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен \( \displaystyle 90<>^\circ \).

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (\( \displaystyle \alpha\) и \( \displaystyle \beta\)) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (\( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\)) к линии пересечения этих плоскостей равен \( \displaystyle 90<>^\circ \).

И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется: Критерий перпендикулярности плоскостей.

Критерий перпендикулярности плоскостей

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

(естественно, здесь \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) — плоскости).

Теорема о трёх перпендикулярах

Эта теорема – одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Прямая \( \displaystyle a\), не лежащая в плоскости \( \displaystyle \alpha \), перпендикулярна прямой \( \displaystyle b\), лежащей в плоскости \( \displaystyle \alpha \), тогда и только тогда, когда проекция \( \displaystyle <’>\) прямой a перпендикулярна прямой \( \displaystyle b\).

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача: дана правильная шестиугольная пирамида \( \displaystyle SABCDEF\). Найти угол между прямыми \( \displaystyle AS\) и \( \displaystyle CE\).

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая \( \displaystyle AD\) — проекция прямой \( \displaystyle AS\).

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике \( \displaystyle AD\bot CE\). Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

\( \displaystyle AD\bot CE\Rightarrow AS\bot CE\)

И пишем ответ: \( \displaystyle 90<>^\circ \).

Источник

Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости

Статья раскрывает понятие о перпендикулярности прямой и плоскости, дается определение прямой, плоскости, графически иллюстрировано и показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. Сформулируем признак перпендикулярности прямой с плоскостью. Рассмотрим условия, при которых прямая и плоскость будут перпендикулярны с заданными уравнениями в плоскости и трехмерном пространстве. Все будет показано на примерах.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения

Прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Верно то, что и плоскость перпендикулярна к прямой, как и прямая к плоскости.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. image004 p8gLTo6. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-image004 p8gLTo6. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка image004 p8gLTo6.

Например, если прямая перпендикулярна к плоскости, тогда возможно провести только одну прямую, благодаря которой две смежных стены комнаты пересекутся. Прямая считается перпендикулярной к плоскости потолка. Канат, расположенный в спортзале рассматривается в качестве отрезка прямой, который перпендикулярен плоскости, в данном случае полу.

При наличии перпендикулярной прямой к плоскости, угол между прямой и плоскостью считается прямым, то есть равен 90 градусов.

Перпендикулярность прямой и плоскости – признак и условия перпендикулярности

Для нахождения выявления перпендикулярности необходимо использовать достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости. Оно гарантирует выполнение перпендикулярности прямой и плоскости. Данное условие считается достаточным и называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости.

При условии параллельности хоть одной из прямых плоскости, считается, что вторая прямая также перпендикулярна к данной плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости рассматривается еще со школы, когда необходимо решить задачи по геометрии. Рассмотрим подробнее еще одно необходимое и достаточное условие, при котором прямая и плоскость будут перпендикулярны.

Данное доказательство основывается на необходимом и достаточном условии перпендикулярности прямой и плоскости, направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Данное условие применимо для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, так как достаточно найти координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора в трехмерном пространстве, после чего производить вычисления. Используется для случаев, когда прямая определена уравнением прямой в пространстве, а плоскость уравнением плоскости некоторого вида.

Необходимо произвести проверку выполнимости условия. Получаем, что

Ответ: прямая и плоскость перпендикулярны.

Чтобы ответить на вопрос перпендикулярности, необходимо, чтобы было выполнено необходимое и достаточное условие, то есть для начала нужно найти вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости.

Ответ: прямая и плоскость не перпендикулярны.

Источник

Содержание:

Перпендикулярность прямой и плоскости:

Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая а перпендикулярна плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111310. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111310. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111310.

Представление о части прямой, перпендикулярной плоскости, дает прямая пересечения поверхностей стен комнаты по отношению к плоскости пола. Колонны здания расположены перпендикулярно по отношению к плоскости фундамента.

В дальнейшем понадобится следующая теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей прямой.

Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111316. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111316. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111316.

Пусть а и b — параллельные прямые и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111320. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111320. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111320.Докажем, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111321. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111321. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111321.Возьмем точку О на прямой b и через нее проведем прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111322. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111322. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111322., параллельную прямой с. Тогда угол между прямыми b и с равен углу между пересекающимися прямыми b и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111326. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111326. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111326.Так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111325. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111325. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111325.то угол между прямыми б и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111328. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111328. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111328.равен углу между прямыми а и с, т. е. равен Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111330. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111330. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111330.Отсюда следует, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111331. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111331. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111331.(рис. 144, а, б).

Теперь докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью плоскости.

Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Пусть прямые а и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111333. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111333. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111333.параллельны и прямая а перпендикулярна плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111334. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111334. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111334.Докажем, что прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111336. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111336. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111336.также перпендикулярна плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111335 UZgjJQp. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111335 UZgjJQp. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111335 UZgjJQp.Рассмотрим произвольную прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111338. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111338. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111338.в плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111339. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111339. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111339.(рис. 145, а., б). Так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111340. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111340. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111340.Из теоремы 1 следует, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111342. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111342. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111342.Таким образом, прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111346. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111346. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111346.перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111339. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111339. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111339., т. е. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111347. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111347. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111347.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111351. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111351. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111351.

Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

Пусть прямые а и b перпендикулярны плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111360. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111360. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111360.(рис. 146, а). Докажем, что прямые а и b параллельны. Допустим, что прямая b не параллельна прямой а. Через произвольную точку О прямой b проведем прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111365. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111365. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111365.параллельную прямой а. По теореме 2 прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111366. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111366. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111366.перпендикулярна плоскости а. Рассмотрим плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111368. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111368. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111368., в которой лежат прямые b и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111366. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111366. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111366.. Пусть Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111373. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111373. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111373.— прямая, по которой пересекаются плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111375. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111375. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111375.и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111376. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111376. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111376.(рис. 146, б). Тогда в плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111369. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111369. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111369.через точку О проходят две прямые b и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111366. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111366. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111366., перпендикулярные прямой I. Но это невозможно, следовательно, наше предположение неверно и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111378. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111378. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111378.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111384. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111384. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111384.

Для установления факта перпендикулярности прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность прямой только двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Это вытекает из следующей теоремы.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пусть прямая а перпендикулярна прямым р и q, лежащим в плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111387. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111387. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111387.и пересекающимся в точке О. Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111389. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111389. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111389.. Для этого нужно доказать, что прямая a перпендикулярна произвольной прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111373. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111373. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111373.плоскостиКак доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111390. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111390. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111390..

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111413. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111413. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111413.

Рассмотрим первый случай, когда прямая а проходит через точку О. Проведем через точку О прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111415. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111415. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111415.параллельную прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111417. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111417. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111417.(если прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111418. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111418. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111418.проходит через точку О, то в качестве Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111421. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111421. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111421., возьмем прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111418. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111418. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111418.). Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую прямые р, q и I соответственно в точках Р, Q и L. Пусть для определенности точка Q лежит между точками Р и L (рис. 147, а, б).

Заметим, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111423. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111423. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111423.так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111426. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111426. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111426.и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111427 DnjZYUK. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111427 DnjZYUK. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111427 DnjZYUK.(указанные треугольники равны по двум катетам). Следовательно, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111429. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111429. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111429.(так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111431. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111431. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111431.Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111433. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111433. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111433.— общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, чтоКак доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111435. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111435. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111435.

Треугольники APL и BPL равны (так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111437. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111437. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111437.— общая сторона, a Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111439. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111439. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111439.), следовательно, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. . Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка .Таким образом, треугольник ABL — равнобедренный, и его медиана OL является высотой, т. е. прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111444. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111444. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111444.перпендикулярна прямой а. Так как прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111449. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111449. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111449.параллельна прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111418. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111418. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111418.то по теореме 1 Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111452. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111452. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111452.Прямая а перпендикулярна каждой прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111418. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111418. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111418.плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111457. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111457. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111457.значит, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111455. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111455. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111455.

Если прямая а не проходит через точку О, тогда проведем через точку О прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111459. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111459. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111459.параллельную прямой а. Тогда по теореме 1 Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111462. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111462. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111462.Следовательно, по доказанному в первом случае Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111465. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111465. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111465.Теперь по теореме 2 прямая а перпендикулярна плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111467. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111467. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111467.Теорема доказана.

Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111473. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111473. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111473.

I. Докажем существование плоскости.

Пусть а — данная прямая, а точка О — произвольная точка пространства. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку О и перпендикулярная прямой а.

1)Рассмотрим плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111475. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111475. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111475.проходящую через прямую а и точку О, и плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111476. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111476. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111476.проходящую через прямую а (рис. 148, а, б).

2)В плоскости а через точку О проведем прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111477. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111477. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111477.перпендикулярную прямой а. Пусть точка Е — точка пересечения прямых а и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111479. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111479. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111479.

3)Через точку Е в плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111481. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111481. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111481.проведем прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111483. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111483. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111483.перпендикулярную прямой а.

4)Плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111485. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111485. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111485.проходящая через прямые Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111486. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111486. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111486.является искомой. Действительно, прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111487. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111487. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111487.плоскости у, следовательно, она перпендикулярна плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111488. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111488. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111488.

II. Докажем единственность плоскости.

Допустим, что через точку О проходит еще одна плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111489. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111489. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111489.перпендикулярная прямой а. Пусть плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111491. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111491. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111491.пересекает плоскость а по прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111490. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111490. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111490.Тогда Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111492. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111492. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111492.Следовательно, в плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111493. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111493. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111493.через точку О проходят две прямые Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111494. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111494. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111494.перпендикулярные прямой а. Как известно из планиметрии, этого быть не может. Таким образом, наше предположение неверно и плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111495. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111495. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111495.единственная.

Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111496. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111496. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111496.

I.Докажем существование прямой.

Пусть дана плоскость а и точка О — произвольная точка пространства. Докажем, что существует прямая, проходящая через точку О и перпендикулярная плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111497. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111497. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111497.(рис. 149, а, б).

1)Проведем в плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111498. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111498. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111498.некоторую прямую а и рассмотрим плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111499. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111499. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111499.проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а.

2)Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111500. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111500. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111500.

3)В плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111501. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111501. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111501.через точку О проведем прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111503. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111503. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111503., перпендикулярную прямой b. Прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111502. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111502. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111502.— искомая прямая. Действительно, прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111502. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111502. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111502.перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и b плоскости a ( Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111504. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111504. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111504.по построению и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111505. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111505. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111505.так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111506. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111506. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111506.), следовательно, она перпендикулярна плоскости а (см. рис. 149, а, б).

II.Докажем единственность плоскости.

Предположим, что через точку О проходит еще одна прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111507. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111507. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111507.перпендикулярная плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111508. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111508. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111508.Тогда по теореме 3 прямые Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111509. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111509. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111509.параллельны, что невозможно, так как прямые Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111510. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111510. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111510.пересекаются в точке О. Таким образом, наше предположение неверно и через точку О проходит одна прямая, перпендикулярная плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111511. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111511. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111511.

Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину.
Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111512. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111512. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111512.

Пусть Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111513. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111513. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111513.— прямоугольный параллелепипед (все его грани прямоугольники). Докажем, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111514. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111514. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111514.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111515. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111515. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111515.

Из условия следует, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111516. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111516. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111516.Значит, по признаку перпендикулярности прямой плоскости прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111517. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111517. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111517.перпендикулярна плоскости, в которой лежит грань ABCD. Отсюда следует, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111518. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111518. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111518.В прямоугольном треугольнике Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111519. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111519. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111519.по теореме Пифагора Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111520. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111520. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111520.Кроме того, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111521. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111521. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111521.(так как АС — диагональ прямоугольника ABCD). Следовательно, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111522. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111522. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111522.(рис. 150, а, б, в).

Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Пример:

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то эта прямая перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111523. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111523. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111523.параллельны, а прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111524. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111524. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111524.Докажем, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111525. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111525. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111525.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка А не лежит на плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111536. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111536. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111536.Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111537. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111537. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111537.и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111538. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111538. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111538.(рис. 163, а). Перпендикуляром., проведенным из точки А к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111539. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111539. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111539., называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО — перпендикуляр к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111540. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111540. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111540.а М — произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111541. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111541. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111541.а точка М — основанием, наклонной. Отрезок ОМ — ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной AM на плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111542. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111542. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111542.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111543. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111543. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111543.

Например, если Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111544. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111544. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111544.— прямая треугольная призма, то перпендикуляр, проведенный из точки Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111545. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111545. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111545.к плоскости ее основания АВС, есть ребро Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111546. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111546. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111546.отрезок СB — проекция наклонной Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111547. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111547. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111547.на плоскость АБС (рис. 163, б).

Теорема о трех перпендикулярах

Докажем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111548. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111548. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111548.а — прямая, проведенная в плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111550. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111550. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111550.и перпендикулярная проекции ОМ (рис. 164, а, б). Докажем, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111549. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111549. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111549.

Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и ОМ этой плоскости ( Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111551. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111551. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111551.по условию, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111552. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111552. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111552.так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111553. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111553. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111553.). Следовательно, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АОМ, т. е. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111554. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111554. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111554.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111555. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111555. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111555.

Теорема 2. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость.

Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки А к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111556. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111556. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111556.прямая а лежит в плоскости а и перпендикулярна наклонной AM (см. рис. 164, а, б). Докажем, что прямая а перпендикулярна проекции ОМ. Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и AM этой плоскости ( Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111557. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111557. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111557.по условию, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111558. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111558. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111558.так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111559. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111559. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111559.). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости АОМ, в частности Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111560. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111560. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111560.

Пример №1

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111561. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111561. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111561.— куб, точка О — точка пересечения диагоналей грани Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111562. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111562. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111562.a F — середина ребра Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111563. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111563. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111563.Докажите, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111564. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111564. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111564.

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111565. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111565. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111565.

1) Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111566. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111566. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111566.— проекция Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111567. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111567. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111567.на плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111568. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111568. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111568.Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111569. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111569. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111569.

2) Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111570. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111570. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111570.(так как OF — средняя линия треугольника Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111572. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111572. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111572.), значит, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111571. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111571. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111571.(рис. 165, а, б).

Теорема 3. Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

1)две наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2)из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Пусть АО — перпендикуляр к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111573. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111573. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111573.АВ и АС — наклонные к этой плоскости (рис. 166, о). По условию Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111574. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111574. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111574.следовательно, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111575. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111575. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111575.Из прямоугольных треугольников АОВ и АОС найдем Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111576. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111576. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111576.
Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111577. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111577. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111577.

Значит, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111581. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111581. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111581.наименьшим является расстояние до основания О перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111583. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111583. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111583..

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

Расстояние от точки А до прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111586. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111586. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111586.обозначается d (А, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111584. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111584. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111584.) (читают: «Расстояние от точки А до прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111585. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111585. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111585.»).
Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111587. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111587. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111587.

Пусть Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111588. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111588. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111588.— параллельные плоскости. Из любых точек А и Б плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111589. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111589. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111589.проведем к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111590. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111590. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111590.перпендикуляры Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111591. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111591. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111591.(рис. 166, б). Так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111592. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111592. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111592.то Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111593. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111593. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111593.Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны, следовательно, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111594. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111594. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111594.Отсюда следует, что все точки плоскости а находятся на одном и том же расстоянии от плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111596. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111596. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111596.. Аналогично, все точки плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111595. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111595. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111595.находятся на том же расстоянии от плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111597. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111597. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111597.

Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111598. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111598. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111598.обозначается d Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111599. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111599. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111599.(читают: «Расстояние между плоскостями Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111598. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111598. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111598.»).

Аналогично, каждая точка прямой, параллельной некоторой плоскости, находится на одном и том же расстоянии от этой плоскости.

Определение. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

Расстояние между прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111600. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111600. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111600.и параллельной ей плоскостью а обозначается d (Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111601. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111601. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111601., Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111602. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111602. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111602.) (читают: «Расстояние между прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111601. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111601. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111601.и плоскостью Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111603. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111603. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111603.»).

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит единственная плоскость, параллельная другой.

Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми а и b обозначается d (а, b) (читают: « Расстояние между прямыми а и b »).

Например, в прямоугольном параллелепипеде Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111604. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111604. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111604.расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат грани Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111605. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111605. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111605.равно длине ребра AD, так как AD перпендикулярно каждой из указанных плоскостей. Расстояние от прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111606. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111606. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111606.до параллельной ей плоскостиКак доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111607. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111607. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111607.равно длине ребра DC (рис. 166, в).

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111608. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111608. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111608.

Пример №2

Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111609. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111609. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111609.— куб. Постройте основание перпендикуляра, проведенного из точки Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111611. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111611. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111611.к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111610. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111610. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111610.

Решение:

1)Заметим, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111612. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111612. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111612.— проекция Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111613. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111613. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111613.на плоскость граниКак доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111614. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111614. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111614.следовательно, по теореме о трех перпендикулярах Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111615. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111615. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111615.Аналогично, DB — проекция Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111616. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111616. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111616.на плоскость грани AJBCD и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111617. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111617. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111617.значит, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111618. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111618. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111618.Таким образом, прямая В,В перпендикулярна двум пересекающимся прямым Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111619. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111619. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111619.и АС плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111620. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111620. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111620.следовательно, прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111621. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111621. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111621.перпендикулярна плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111622. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111622. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111622.(рис. 167, а).

2)Так как Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111623. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111623. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111623.то искомое основание перпендикуляра есть точка пересечения прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111624. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111624. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111624.с плоскостью Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111625. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111625. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111625.(см. рис. 167, а).

3)Строим точку Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111626. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111626. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111626.(рис. 167, б).

4)Точка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111627. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111627. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111627.— искомое основание перпендикуляра (точка X лежит в плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111628. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111628. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111628.так как она лежит на прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111629. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111629. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111629.(рис. 167, в)).

Пример №3

Дан куб Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111630. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111630. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111630.Найдите расстояние между прямыми Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111631. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111631. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111631.если длина ребра куба равна а.
Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111632. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111632. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111632.

Решение:

1)Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111633. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111633. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111633.и параллельную прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111634. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111634. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111634.Такой плоскостью является плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111635. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111635. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111635.в которой лежит граньКак доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111636. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111636. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111636.Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111637. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111637. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111637.следовательно, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111638. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111638. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111638.) ( рис. 168, а, б).

2)Расстояние между прямыми Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111639. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111639. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111639.есть расстояние от любой точки прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111640. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111640. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111640.до плоскости а. Отрезок Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111641. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111641. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111641.— перпендикуляр, проведенный из точки Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111643. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111643. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111643.к плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111644. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111644. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111644.значит, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111646. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111646. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111646.), следовательно, его длина а равна расстоянию между прямыми Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111647. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111647. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111647.Ответ: Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111648. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111648. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111648.

Угол между прямой и плоскостью

Ортогональная проекция прямой

Пусть в пространстве даны плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111650. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111650. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111650.и прямая а. Ортогональной проекцией прямой а на плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111651. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111651. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111651.называется проекция этой прямой на плоскость а в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111652. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111652. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111652.Например, если Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111653. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111653. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111653.— куб, тогда ортогональной проекцией прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111654. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111654. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111654.на плоскость грани Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111655. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111655. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111655.является прямая Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111656. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111656. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111656.а ортогональная проекция этой прямой на плоскость основания ABCD куба есть прямая RD (рис. 171, а).Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111657. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111657. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111657.

Дадим определение угла между прямой и плоскостью, при этом воспользуемся понятием ортогональной проекции прямой на плоскость.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее ортогональная проекция на эту плоскость есть точка пересечения этой прямой с плоскостью. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается равным Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111658. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111658. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111658.

Угол между прямой и плоскостью

Рассмотрим понятие угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

Теорема. Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

Пусть прямая а пересекает плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111659. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111659. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111659.в точке О, Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111660. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111660. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111660.— ортогональная проекция прямой а на плоскость Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111659. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111659. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111659., b — произвольная прямая, лежащая в плоскости а, проходящая через точку О и не совпадающая с прямой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111660. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111660. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111660.. Обозначим буквой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111661. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111661. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111661.угол между прямыми а и Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111660. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111660. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111660., а буквой Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111662. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111662. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111662.— угол между прямыми а и b. Докажем, что Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111663. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111663. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111663.(рис. 171, б).

Если прямые а и b не перпендикулярны, то из точки Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111664. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111664. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111664.проведем перпендикуляры МА и MB к прямым Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111660. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111660. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111660.и b соответственно. Из прямоугольных треугольников МАО и МВО найдем Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. 111666. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости-111666. картинка Как доказать что прямая перпендикулярна плоскости. картинка 111666.Так как МА

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *