Как доказать что последовательность ограничена снизу

Числовая последовательность

Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.

Обозначается числовая последовательность так:

где −i-ый член последовательности.

При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.

Последовательность нечетных чисел:

Последовательность простых чисел :

Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.

Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой

Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.

Пример задания рекуррентной последовательности:

В этой последовательности

Пример стационарной последовательности:

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей :

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей :

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

Найдем разность членов и :

.

(3)

Так как n=1,2,3. то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (b_n) является возрастающей и при каких, убывающей:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов и :

(4)

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a 10, то . Тогда последовательность является убывающей. При a=10 . Последовательность имеет одинаковые члены:

т.е. имеем дело с последовательностью

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 5. Последовательность (y_n) называется ограниченной сверху, если существует такое число k, что y_n Определение 6. Последовательность (y_n) называется ограниченной снизу, если существует такое число k, что y_n>k при любом n.

Определение 7. Последовательность (y_n) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 3. Показать, что последовательность (a_n) является монотоннной и ограниченной:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов и :

(6)

Правая часть равенства (6) положительна при любых натуральных чисел n. Следовательно последовательно (a_n) возрастающая (и монотонная).

Далее, сделаем эквивалентное преобразование для проследовательности (5):

Из выражения (7) видно, что при любых n a_n≤1. Т.е. хотя последовательность возрастает, то остается меньше числа 1 (ограничена сверху). Запишем несколько членов данной последовательности, задав n=1,2,3.

Так как последовательность возрастающая, то все члены последовательности не меньше . Тогда последовательность ограничена также и снизу. Таким образом последовательность ограничена и всерху, и снизу, т.е. является ограниченной последовательностью.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (y_n), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n₀, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n₀ содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (y_n), то пишут ( стремится к k или сходится к k).

Обозначают это так:

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности , при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал , где радиус этой окрестности ( >0). По определению, существует номер n₀, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

.

Если же взять другую окресность (пусть ), то найдется другой номер n₁, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n₁ > n₀.

Пример 4. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы .

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения

.

В качестве n₀ берем 501. Имеем:

.

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

.

Далее, учитывая (13), имеем:

.

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность . А по определению 8, это означает:

Пример 5. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы

.

.

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n₀ натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что для любого n₀). Из неравенства (16) можно найти номер n₀, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда . Тогда нужно брать n₀=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

.

Легко проверить, что . Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

.

Пример 6. Найти предел последовательности

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

(19)

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:.

Теорема. Если , то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

2. Предел произведения равен произведению пределов:

3. Предел частного равен частному пределов:

4. Постоянный множитель можно вывести за знак предела:

Пример 7. Найти предел последовательности:

Решение. Так как , то

.

Пример 8. Найти предел последовательности:

Решение. Применив правило «предел суммы» теоремы, получим

.

Пример 9. Вычислить:

Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на наивысшую из имеющихся степень переменного n. Далее используем правило «предел суммы» для числителя и знаменателя и правило «предел частного»:

Источник

Вопрос 2. Ограниченная последовательность.

Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.

Числовая последовательность – функция натурального аргумента: f(n)=x_n

Определение: если по некоторому закону каждом натуральному числу n поставлено в соответствие вполне оптимальное число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность < x_n >.

1) 2,4,6..2n,…(монотонная, неограниченная)

2) 1,0,1,0,…(немонотонная, ограниченная)

Вопрос 2. Ограниченная последовательность.

Послед. x_n называется ограниченной, если существуют два числа m,M такие, что x_n находится в пределах m≤ x_n≤M.

-Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

Вопрос 3. Предел числовой последовательности.

Определение: число А называется пределом последовательности < а_n >, если для любого положительного числа ε>0 найдется такой N(номер, зависящий от ε), начиная с которого будет выполняться неравенство: |х _n-а| N имеем

,

И, поскольку ε является как угодно малым положительным числом, как единственно возможное, имеем

Вопрос 5. Ограниченность сходящейся последовательности.

Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена.

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство: пусть последовательность сходится, то есть . Тогда по определению выполняется . Пусть =1, тогда .

Пусть M=max < >

m=min < >, тогда .

Значит, по определению последовательность является ограниченной.

Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости, но не является достаточным. Существуют ограниченные последовательности, которые не являются сходящимися.

Например, .

Пусть последовательность ограничена, будет ли она сходящейся? – Ограниченная сходимость следует не всегда.

неограниченная

ограниченная

Вопрос 6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями (для последовательности)

4)

Вопрос 7. Переход к пределу в неравенствах

Пусть и ; ,

Тогда

Вопрос 30. Теорема Ролля

Пусть функция f(x) дифференцируема внутри интервала (a;b)- непрерывна на сегменте и на f(a)=f(b) (на концах отрезка принимает равные значения)найдется такая точка, в которой производная равна 0.

Геометрический смысл теоремы: Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равняться 0.

Проиллюстрируем эту теорему геометрически:

Найдет такая точка С, в которой касательная будет горизонтальна в этой точке производная равна 0.

Доказательство: Пусть функция f(x) – постоянна х ∈ (a;b), тогда значение производной во всех точках равно 0.

f(x)- не является константой.

Пусть f(x)>f(a), значение на концах функции равны

Пусть f(x)>f(a), по условию f(a)=f(b)=>f(x)>f(b)

Теорема Коши.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), тогда справедлива следующая формула:

, где — какая-то точка из интервала (a;b)

Экстремум функции

— в точке х₀ у функции будет max, если в окрестности точки х₀ f(x₀)>f(x)

Тогда функция в точке х=х₀ не может не возрастать, не убывать.

—Достаточное условие экстремума.

Вопрос 47. Таблица интегралов.

Таблица интегралов проверяется дифференцированием.

Вопрос 60.Числовые ряды

Числовым рядом называется сумма , a_n— общий член ряда.

Признак Коши.

Пусть существует предел , тогда:

1)q 1-ряд расходится

3)q=1- ничего сказать нельзя(признак не работает)

Доказательство:

Для любого положения числа ε(∀ε>0) мы имеем

— это геометрическая прогрессия со знаком сходится, поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится.

За счет выбора ε можно q-ε>1

Признак Даламбера.

Пусть существует , тогда

1)q 1-ряд расходится

3) q=1- нужны дополнительные сведения.

— сходится => исходный ряд тоже сходится.

2) q>1 аналогично, как признак Коши.

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u₁>u₂>u₃>…>u_n>… и предел его общего члена при n→∞ равен 0, т.е. , то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S≤u₁.

и 2b_n 4b_n ↓0

1) строгое знакочередование

b_n→0 n→∞

2) Рассмотрим ряд из модулей

— расходится, поэтому сходимость у исходного ряда условная.

Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.

Числовая последовательность – функция натурального аргумента: f(n)=x_n

Определение: если по некоторому закону каждом натуральному числу n поставлено в соответствие вполне оптимальное число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность < x_n >.

1) 2,4,6..2n,…(монотонная, неограниченная)

2) 1,0,1,0,…(немонотонная, ограниченная)

Вопрос 2. Ограниченная последовательность.

Послед. x_n называется ограниченной, если существуют два числа m,M такие, что x_n находится в пределах m≤ x_n≤M.

-Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

Источник