Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости

Перпендикулярные плоскости, условие перпендикулярности плоскостей.

Эта статья о перпендикулярных плоскостях. Сначала дано определение перпендикулярных плоскостей, показаны обозначения и приведены примеры. После этого сформулирован признак перпендикулярности плоскостей и условие перпендикулярности двух плоскостей. В заключении детально разобраны решения характерных задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные плоскости – основные сведения.

Определение перпендикулярных плоскостей дается через угол между пересекающимися плоскостями.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам.

Для обозначения перпендикулярности используют символ вида «Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 001. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-001. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 001.». То есть, если плоскости Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. alpha. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-alpha. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка alpha.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. beta. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-beta. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка beta.перпендикулярны, то можно кратко записать Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 002. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-002. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 002..

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. pict001. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-pict001. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка pict001.

Если плоскости Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. alpha. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-alpha. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка alpha.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. beta. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-beta. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка beta.перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. alpha. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-alpha. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка alpha.перпендикулярна к плоскости Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. beta. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-beta. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка beta.или плоскость Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. beta. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-beta. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка beta.перпендикулярна к плоскости Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. alpha. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-alpha. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка alpha.. Поэтому перпендикулярные плоскости Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. alpha. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-alpha. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка alpha.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. beta. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-beta. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка beta.часто называют взаимно перпендикулярными.

В качестве примера перпендикулярных плоскостей можно привести плоскости стены и пола в комнате.

Перпендикулярность плоскостей – признак и условие перпендикулярности.

На практике часто приходится определять, перпендикулярны ли две заданные плоскости. Для этого можно найти угол между заданными плоскостями, и если он будет равен Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 90. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-90. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 90., то по определению плоскости будут перпендикулярными.

Также существует признак перпендикулярности двух плоскостей, который часто используется для доказательства перпендикулярности двух плоскостей. В его формулировке участвуют перпендикулярные прямая и плоскость. Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей в виде теоремы.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.

Из этого признака напрямую следует, что если плоскость перпендикулярна к линии пересечения двух заданных плоскостей, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Теперь рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей, которое удобно применять для проверки перпендикулярности плоскостей, заданных в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. Определение нормального вектора плоскости позволяет доказать следующее необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей.

Для перпендикулярности двух пересекающихся плоскостей необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы этих плоскостей были перпендикулярны.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат. Если Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n1 coords. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n1 coords. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n1 coords.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n2 coords. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n2 coords. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n2 coords.— нормальные векторы плоскостей Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. alpha. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-alpha. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка alpha.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. beta. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-beta. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка beta.соответственно, то необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n1. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n1. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n1.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n2. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n2. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n2.имеет вид Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 003. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-003. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 003.. Таким образом, если Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n1 coords. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n1 coords. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n1 coords.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n2 coords. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n2 coords. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n2 coords.— нормальные векторы плоскостей Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. alpha. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-alpha. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка alpha.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. beta. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-beta. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка beta.соответственно, то для перпендикулярности плоскостей Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. alpha. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-alpha. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка alpha.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. beta. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-beta. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка beta.необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n1. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n1. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n1.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n2. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n2. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n2.равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 003. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-003. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 003..

Разберем решения нескольких примеров.

Перпендикулярны ли плоскости, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 004. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-004. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 004.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 005. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-005. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 005.?

Чтобы ответить на вопрос о перпендикулярности заданных плоскостей, найдем координаты нормальных векторов этих плоскостей и проверим выполнение условия перпендикулярности этих векторв.

Общее уравнение плоскости Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 004. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-004. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 004.позволяет сразу записать координаты нормального вектора: Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 006. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-006. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 006..

Чтобы определить координаты нормального вектора плоскости Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 005. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-005. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 005., перейдем от уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости: Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 007. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-007. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 007.. Таким образом, Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 008. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-008. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 008.— нормальный вектор плоскости Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 005. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-005. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 005..

Вычислим скалярное произведение векторов Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 006. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-006. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 006.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 008. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-008. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 008.: Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 009. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-009. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 009.. Так как оно отлично от нуля, то векторы Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n1. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n1. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n1.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n2. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n2. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n2.не перпендикулярны, следовательно, заданные плоскости не перпендикулярны.

нет, плоскости не перпендикулярны.

Убедимся, что скалярное произведение нормальных векторов указанных плоскостей равно нулю – это будет доказательством перпендикулярности плоскостей. Для этого сначала нам нужно найти координаты нормальных векторов Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n1. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n1. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n1.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. n2. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-n2. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка n2.плоскостей АВС и ABD соответственно.

Нормальным вектором плоскости АВС является векторное произведение векторов Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. AB. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-AB. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка AB.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. AC. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-AC. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка AC., а нормальным вектором плоскости ABD является векторное произведение векторов Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. AB. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-AB. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка AB.и Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. AD. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-AD. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка AD., то есть,
Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 012. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-012. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 012.

Заметим, что можно было по координатам заданных точек получить общие уравнения плоскостей АВС и ABD (смотрите статью уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки), из них найти координаты нормальных векторов этих плоскостей, после чего проверить выполнение условия перпендикулярности нормальных векторов плоскостей.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №11. Перпендикулярность плоскостей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей в виде прямой а, не принадлежащими одной плоскости. Перпендикуляры к ребру двугранного угла образуют линейный угол двугранного угла. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Если угол между пересекающимися плоскостями равен 90 градусом, то плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Следствие из признака перпендикулярности плоскостей: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Прямоугольный параллелепипед – фигура, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей в виде прямой а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. Прямая а, которая является общей границей полуплоскостей, называется ребром двугранного угла (рис. 1а и 1б).

Двугранный угол с ребром CD, на разных гранях которого отмечены точки A и B называют двугранным углом CABD.

Перпендикуляры к ребру AO и BO образуют линейный угол двугранного угла AOB (рис. 1в). Так как луч ОА перпендикулярен прямой CD и луч OB перпендикулярен прямой CD, то плоскость АОВ перпендикулярна к прямой CD. Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Так же как и плоские углы, двугранные углы могут быть прямыми, острыми и тупыми.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и А1О1В1 (рис. 1г). Лучи ОА и О1А1, лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО1, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены лучи OB и O1B1. Поэтому углы АОВ и А1О1В1 равны как углы с сонаправленными сторонами.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 7b14311e 9a4a 455f bdec 8a36eb11a4ed. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-7b14311e 9a4a 455f bdec 8a36eb11a4ed. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 7b14311e 9a4a 455f bdec 8a36eb11a4ed.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 876ec6fd 9860 440e ab23 8ffa3e6e4fda. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-876ec6fd 9860 440e ab23 8ffa3e6e4fda. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 876ec6fd 9860 440e ab23 8ffa3e6e4fda.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 55e22d8c 3a32 4569 856d b70f7c2198b6. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-55e22d8c 3a32 4569 856d b70f7c2198b6. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 55e22d8c 3a32 4569 856d b70f7c2198b6.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 70c2dbc5 6dc9 42ef a850 618959e19a1e. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-70c2dbc5 6dc9 42ef a850 618959e19a1e. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 70c2dbc5 6dc9 42ef a850 618959e19a1e.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Если один из этих двугранных углов равен фи, то другие три угла равны соответственно 180 градусов минус фи, фи и 180 градусов минус фи (рис. 2 а). В частности, если один из углов прямой, то и остальные три угла прямые. Если угол между пересекающимися плоскостями равен 90 градусом, будем называть такие плоскости перпендикулярными (рис. 2б).

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 135042d9 d7b3 4a45 a7ad 0fb2b96a01c6. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-135042d9 d7b3 4a45 a7ad 0fb2b96a01c6. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 135042d9 d7b3 4a45 a7ad 0fb2b96a01c6.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. c9233dad f8a6 4048 b841 e83f1dc038fb. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-c9233dad f8a6 4048 b841 e83f1dc038fb. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка c9233dad f8a6 4048 b841 e83f1dc038fb.

Для доказательства теоремы рассмотрим плоскости альфа и бетта такие (рис. 3), что плоскость альфа проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости бетта и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что плоскости альфа и бетта перпендикулярны. Плоскости альфа и бетта пересекаются по некоторой прямой АС. При этом прямая АВ перпендикулярна прямой АС, так как по условию прямая АВ перпендикулярна плоскости бетта, это означает, что прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости бетта.

Проведем в плоскости бетта прямую AD, перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD — линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей альфа и бетта. Но угол BAD равен 90 градусов так как прямая АВ перпендикулярна плоскости бетта. Следовательно, угол между плоскостями альфа и бетта равен 90 градусов. Что и требовалось доказать.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 53496cc7 72de 437b 85ab 3ce1fa1fd70e. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-53496cc7 72de 437b 85ab 3ce1fa1fd70e. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 53496cc7 72de 437b 85ab 3ce1fa1fd70e.

Из этой теоремы вытекает важное следствие:

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

На рисунке 4 представлен прямоугольный параллелепипед. У этой фигуры все боковые ребра перпендикулярны основанию.

Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1, а боковые ребра АА1,BB1,CC1 и DD1 перпендикулярны к основаниям. Отсюда следует, что ребро АА1 перпендикулярно к ребру АВ, т. е. боковая грань АА1В1В является прямоугольником. То же самое можно сказать и об остальных боковых гранях.

Таким образом, прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами:

1) В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней — прямоугольники.

2) Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

3) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются длины трех ребер, имеющих общую вершину.

Докажем последнее свойство.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. 8b91562f 67dd 427e bbee 4b78c710b2c5. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-8b91562f 67dd 427e bbee 4b78c710b2c5. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка 8b91562f 67dd 427e bbee 4b78c710b2c5.

Так как ребро СС1 перпендикулярно к основанию ABCD, то угол АСС1, прямой. Из прямоугольного треугольника АСС1, по теореме Пифагора получаем

Следствием из этого свойства является то, что диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Стоит отметить, что если у прямоугольного параллелепипеда все три измерения равны, то он называется, а все его грани являются равными друг другу квадратами.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 (рис. 5) боковая грань DD1C1C – квадрат, DC равно 4 см, BD1 равно 6 см. Найдите BC и докажите, что плоскости BCD1 и DC1 B1 взаимно перпендикулярны.

Сначала найдем BC. Воспользуемся тем свойством прямоугольного параллелепипеда, что квадрат его диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Тогда диагональ BD1 в квадрате равна AD в квадрате плюс DD1 в квадрате плюс DC в квадрате. BD1 – известно из условия, DD1 и DC – стороны квадрата и тоже известны из условия, тогда отсюда мы можем выразить ребро AD, которое ребру BC.Отсюда находим, что BC равно 2 сантиметрам.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей BCD1 и DC1 B1 воспользуемся признаком перпендикулярности плоскостей. Этот признак звучит следующим образом: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Заметим, что плоскость BCD1 проходит через диагональ грани DD1 C1CCD1. Эта диагональ перпендикулярна плоскости DC1 B1 в соответствии с признаком перпендикулярности прямой и плоскости, так как CD1 перпендикулярна второй диагонали квадрата – C1D и перпендикулярна ребру прямоугольного параллелепипеда C1 B1. Что и требовалось доказать.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. b412e0fd 8f6f 4ee3 b884 1d14a3647b0f. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-b412e0fd 8f6f 4ee3 b884 1d14a3647b0f. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка b412e0fd 8f6f 4ee3 b884 1d14a3647b0f.

Тестовый вопрос №2. В прямом двугранном угле дана точка A. Расстояния от точки A до граней угла: AA1=6 см и AB1=8 см. Определите расстояние от точки A до ребра двухгранного угла.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. a4335b5b 27af 4984 8472 31f75e42fb2a. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-a4335b5b 27af 4984 8472 31f75e42fb2a. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка a4335b5b 27af 4984 8472 31f75e42fb2a.

Отрезки AA1 и AB1 перпендикулярны граням двугранного угла, поэтому AA1BB1 – прямоугольник. Искомое расстояние – диагональ этого прямоугольника, которую найдем с помощью теоремы Пифагора: сантиметров.

Тестовый вопрос №10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длины рёбер: AB = 2, BC=3, AA1 = 4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C​1​​.

Решение. Нарисуем рисунок.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. ea2587a4 554f 4262 bdce 92e272c654fd. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-ea2587a4 554f 4262 bdce 92e272c654fd. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка ea2587a4 554f 4262 bdce 92e272c654fd.

В рассматриваемом прямоугольном параллелепипеде проведем отрезок BC​1​​. Затем построим плоскость на прямых BC​1​​ и AB. Так как плоскости прямоугольного параллелепипеда AA1D1D и BB1C1C параллельны, поэтому искомым сечением является прямоугольник ABC1D1.

Источник

Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости

Статья раскрывает понятие о перпендикулярности прямой и плоскости, дается определение прямой, плоскости, графически иллюстрировано и показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. Сформулируем признак перпендикулярности прямой с плоскостью. Рассмотрим условия, при которых прямая и плоскость будут перпендикулярны с заданными уравнениями в плоскости и трехмерном пространстве. Все будет показано на примерах.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения

Прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Верно то, что и плоскость перпендикулярна к прямой, как и прямая к плоскости.

Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. image004 p8gLTo6. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости фото. Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости-image004 p8gLTo6. картинка Как доказать что плоскость перпендикулярна плоскости. картинка image004 p8gLTo6.

Например, если прямая перпендикулярна к плоскости, тогда возможно провести только одну прямую, благодаря которой две смежных стены комнаты пересекутся. Прямая считается перпендикулярной к плоскости потолка. Канат, расположенный в спортзале рассматривается в качестве отрезка прямой, который перпендикулярен плоскости, в данном случае полу.

При наличии перпендикулярной прямой к плоскости, угол между прямой и плоскостью считается прямым, то есть равен 90 градусов.

Перпендикулярность прямой и плоскости – признак и условия перпендикулярности

Для нахождения выявления перпендикулярности необходимо использовать достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости. Оно гарантирует выполнение перпендикулярности прямой и плоскости. Данное условие считается достаточным и называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости.

При условии параллельности хоть одной из прямых плоскости, считается, что вторая прямая также перпендикулярна к данной плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости рассматривается еще со школы, когда необходимо решить задачи по геометрии. Рассмотрим подробнее еще одно необходимое и достаточное условие, при котором прямая и плоскость будут перпендикулярны.

Данное доказательство основывается на необходимом и достаточном условии перпендикулярности прямой и плоскости, направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Данное условие применимо для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, так как достаточно найти координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора в трехмерном пространстве, после чего производить вычисления. Используется для случаев, когда прямая определена уравнением прямой в пространстве, а плоскость уравнением плоскости некоторого вида.

Необходимо произвести проверку выполнимости условия. Получаем, что

Ответ: прямая и плоскость перпендикулярны.

Чтобы ответить на вопрос перпендикулярности, необходимо, чтобы было выполнено необходимое и достаточное условие, то есть для начала нужно найти вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости.

Ответ: прямая и плоскость не перпендикулярны.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *