Как доказать что отображение линейно
Линейные отображения: определение, примеры, свойства
Определение линейных отображений
Напомним основные определения, связанные с понятием отображения (функции, оператора).
— инъективным, если разным элементам множества соответствуют разные образы: ;
— сюръективным, если для каждого элемента из множества имеется хотя бы один прообраз: ;
— биективным (взаимно однозначным), если оно инъективно и сюръективно одновременно.
Пусть и — линейные пространства (над одним и тем же числовым полем). Отображение называется линейным, если
2. и любого числа (из данного числового поля).
2. Условия аддитивности и однородности можно заменить одним условием линейности отображения:
и любых чисел и из данного числового поля.
3. При линейном отображении образ линейной комбинации является линейной комбинацией образов:
4. Взаимно однозначное линейное отображение является изоморфизмом.
Примеры линейных отображений
Свойства линейных отображений
Пусть — линейное отображение.
1. Если векторы линейно зависимы, то их образы также линейно зависимы.
4. Композиция линейных отображений является линейным отображением.
Однородность отображения доказывается аналогично.
5. Если линейное отображение обратимое (взаимно однозначное), то обратное отображение — линейное.
Докажем, например, аддитивность обратного отображения
6. Линейное отображение конечномерного пространства однозначно задается образами базисных векторов.