Как доказать что два вектора перпендикулярны
Перпендикулярность векторов
Мы можем выяснить, будут ли два каких-либо вектора взаимно перпендикулярными. Для этого нужно воспользоваться координатами векторов и некоторыми приемами, описанными в данной статье. Информация о перпендикулярности будет полезной для решения некоторых задач физики и математики.
Координаты вектора на плоскости, равного по модулю и перпендикулярного данному
Пусть на плоскости заданы координаты какого-либо вектора. Из этих координат получим координаты двух дополнительных векторов, перпендикулярных первоначальному вектору. Все три вектора будут иметь равные длины и располагаться в плоскости xOy.
Алгоритм получения координат перпендикулярных векторов
Вектор на плоскости xOy, перпендикулярный данному вектору получают так:
Графический пример
Рассмотрим небольшой графический пример (рис. 1).
На плоскости проведены три вектора: один красный и два черных и, отмечены их координаты. Рассмотрим подробнее координаты двух векторов: \(\vec\) и \(\vec\).
Векторы, изображенные черным цветом, перпендикулярны красному вектору.
Условие перпендикулярности векторов
Взаимную перпендикулярность двух векторов можно проверить, вычислив их скалярное произведение. Этот способ проверки можно применять для векторов, расположенных как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.
Векторы будут перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.
Пусть, известны координаты двух векторов и пусть каждый вектор имеет ненулевую длину.
Запишем условие перпендикулярности векторов.
Для двумерного случая:
\[ \large \boxed < a_
Для трехмерного случая:
\[ \large \boxed < a_
Пользуясь любой из этих формул, можно определить одну неизвестную координату вектора.
При этом, должны быть известными остальные координаты этого вектора и все координаты второго вектора.
Примечание:
Есть такое правило: Количество неизвестных должно равняться количеству уравнений.
Чтобы однозначно определить значение неизвестной, в уравнение должна входить только одна неизвестная. Остальные величины должны быть известными.
Перпендикулярные векторы в физике
В физике перпендикулярность некоторых векторов достаточно важна.
Вот несколько примеров:
Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения
Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.
Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.
При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.
Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?
Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.
Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.
Вторая часть доказательства
Условие перпендикулярности на координатной плоскости
Применим на практике и рассмотрим на примерах.
Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.
Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.
Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному
Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.
Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.
Рассмотрим доказательство на примере.
Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам
При решении применяется понятие векторного произведения векторов.
Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.
Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :
Как доказать что два вектора перпендикулярны
Сформулируем ряд базовых определений.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора 
направляющими, и для них выполняется соотношение: 
Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем пункте 4.
Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы 
своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).
1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если
Геометрически два вектора складываются по двум правилам:
а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;
б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.
Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.
При λ>0 – вектор 
сонаправлен ; λ противоположно направлен ; | λ|> 1 – длина вектора увеличивается в λ раз; | λ| 1 – длина вектора уменьшается в λ раз.
4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l ), вектор 
задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A ’ и B ’.
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:
1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть 
;
2.) проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;
3) проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.
Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.
5. Скалярным произведением 
векторов и 
называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть
Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения 
Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть 
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :
С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы 
на прямолинейном участке пути.
Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):
Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).
Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной тонны творога?
Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10, можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений которых необходимо найти. В MathCAD скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего оператора панели инструментов Matrix 
Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты начала
Угол φ между и 
находим по формуле (2.29), то есть
– 
перпендикулярен векторам и ;
– векторы 
образуют правую тройку (рис. 2.15).
Примечание. Определитель (2.25) раскладывается по свойству 7 определителей
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат
Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны 
Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю
Также с помощью векторного произведения можно определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.
— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O , A , B ;
Следовательно, момент силы относительно точки O представляет собой векторное произведение
Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по формуле (2.32).
Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения
Теорема 2.7. Если три вектора 
заданы своими координатами, то их смешанное произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из координат векторов- сомножителей соответственно, то есть
Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен
Решение. Найдем координаты векторов
По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на векторах 
равен 
(единиц объема)
Рассмотрим очень важный вопрос о разложении вектора по базису. Приведем следующие определения.
получим выражение вектора 
через остальные векторы 
Линейно независимыми называют векторы, если равенство (2.37) выполняется только тогда, когда все
Базисом n – мерного пространства En называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.
Произвольный вектор 
n – мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса таким образом:
Линейное пространство называется конечномерным и имеет размерность n , если в этом пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая, что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.
Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых
В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.
Перпендикулярные прямые – основные сведения
Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.
То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.
Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.
Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности
Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.
Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.
Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.
Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, А В и А С перпендикулярны.
Ответ: прямые перпендикулярны.
Решение
Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.
Ответ: прямые не перпендикулярны.
Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.
Ответ: прямые перпендикулярны.
Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.
Необходимое и достаточное условие было выполнено.
Ответ: прямые перпендикулярны.
Ответ: заданные прямые перпендикулярны.
Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.
Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.
Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.